基于Copula-CVaR的農(nóng)場利潤與經(jīng)濟風險統(tǒng)計方法

黨榮

摘要：針對農(nóng)場的作物產(chǎn)量及農(nóng)業(yè)收入受到多方面因素的影響，提出了一種用于計算農(nóng)場利潤和經(jīng)濟風險的統(tǒng)計模型。該模型在已有統(tǒng)計理論的基礎上采用條件風險值（CVaR）來評估地理多樣化的有效性。CVaR用于基準化損失，Copula函數(shù)用于建模邊際收益之間的聯(lián)合分布。結(jié)果表明，地理多樣化對于小麥農(nóng)場投資組合是可行的農(nóng)業(yè)風險管理方法，可以在控制風險的同時實現(xiàn)其最佳預期收益。通過與傳統(tǒng)的多元正態(tài)分布模型相比，基于Copula的均值CVaR模型更能模擬極端損失，為農(nóng)業(yè)風險管理提供了新的思路。

關鍵詞：農(nóng)場利潤;地理多樣化;CVaR;Copula函數(shù);投資組合

Abstract： A statistical model for calculating farm profit and economic risk was presented in view of the influence of various factors on farm crop yield and agricultural income. On the basis of the existing statistical theory， the model used the conditional value-at-risk （CVaR） to evaluate the effectiveness of geographical diversification. CVaR was used to benchmark losses， while the Copula function was used to model the joint distribution of marginal revenues. The results showed that geographic diversification could be a feasible agricultural risk management method for wheat farm portfolio managers， which could achieve the optimal expected returns while controlling the risk. Compared with the traditional multivariate normal distribution model， the average CVaR model based on Copula could better simulate extreme losses， providing an innovative solution for agricultural risk management.

Key words： farm profit;geographical diversification; conditional value-at-risk （CVaR）; Copula? functions; portfolio

氣候多變性極大地影響了農(nóng)業(yè)生產(chǎn)以及農(nóng)業(yè)收入。據(jù)統(tǒng)計，發(fā)展中國家約1/4的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)受損與極端氣候相關的災害有關，極端干旱也會導致農(nóng)作物產(chǎn)量顯著下降[1]。為了減輕并盡可能減少極端氣候事件引發(fā)的農(nóng)業(yè)產(chǎn)量和相關財政損失，需要采取農(nóng)業(yè)適應戰(zhàn)略。

經(jīng)典的均值方差投資組合優(yōu)化通過對有效投資組合進行優(yōu)化，以最大程度地減少方差并降低總體財務風險[1]。盡管經(jīng)典的均值方差方法被廣泛應用，但它也有局限性。例如，方差度量是一種不考慮共同運動方向的對稱度量[2]。將方差最小化以與投資組合收益分布的上行風險相同的方式懲罰下行風險是一個問題，因為相對于收益低于預期的資產(chǎn)，收益高于預期的資產(chǎn)被認為是一種風險狀況。為了解決這個問題，引入了其他基于風險的度量方法，如用風險值（Value-at-risk，VaR）和條件風險值（Conditional value-at-risk，CVaR）來代替經(jīng)典的均值方差方法。研究推薦CVaR作為替代風險的衡量標準，因為基于CVaR的優(yōu)化投資組合只會對損失（即下行風險）進行懲罰，而不對收益（即上行風險）進行懲罰[3]。

基于歷史數(shù)據(jù)的模擬方式假設未來收益的分布與過去相似，且在大多數(shù)情況下數(shù)據(jù)點相對較少。因此，使用蒙特卡洛方法，以類似于歷史模擬的方式計算CVaR，同時也基于從歷史數(shù)據(jù)中獲取參數(shù)的模型隨機生成方案。與傳統(tǒng)方法相比，需要更有效地捕捉邊際收益尾部的非線性相互依賴關系，以獲得對CVaR的準確估計。傳統(tǒng)的方法通常依賴于使用多元正態(tài)分布模型（M-normal），該分布假定所考慮的變量是正態(tài)的。然而，農(nóng)產(chǎn)品價格和作物產(chǎn)量已經(jīng)被證明是非正態(tài)分布，因此，任何不考慮這一重要數(shù)據(jù)限制方面的方法都可能導致錯誤的結(jié)論。Copula函數(shù)可以分析多元數(shù)據(jù)中的非線性，能夠提供一種替代的統(tǒng)計方法來建模多元數(shù)據(jù)集的聯(lián)合分布，從而允許人們獨立地指定被測變量之間的邊際分布及其依賴結(jié)構。基于Copula的模型因在多元聯(lián)合分布建模方面的獨特優(yōu)點，已廣泛應用于許多領域，如保險和金融風險建模[4，5]、水文與水資源[6]、發(fā)電站可靠性分析[7]以及農(nóng)業(yè)和降水預報[8，9]。

雖然Copula方法在一般的金融風險研究和投資組合分析中是一個被廣泛應用的工具[10]，但在農(nóng)業(yè)風險管理和農(nóng)作物保險方面的應用相對較晚。盡管如此，這些研究也特別值得借鑒。例如，趙玉等[11]提出了基于混合Copula模型的水稻保險費率厘定，該方案借助核密度估計方法和混合Copula模型研究了水稻產(chǎn)量和價格風險因子的聯(lián)合分布，同時還厘定了產(chǎn)量、價格和收入3種保險的純費率;王國棟等[12]研究了基于Copula函數(shù)的經(jīng)濟作物收入保險費率測算方法，該方法以甘肅省蘋果為研究對象，運用Copula函數(shù)和蒙特卡洛方法測算了不同保障水平下的收入保險費率，提出了包括制定差異化費率、控制高保障水平下保費補貼比例等建議;Larsen等[13]提出了一種Copula的均值CVaR模型，以美國小麥種植業(yè)為例，考察采用地理多樣化戰(zhàn)略降低風險的潛在收益。該文獻應用多元阿基米德Copula模型，并將其與傳統(tǒng)的多元正態(tài)模型作為基準工具進行了比較。從農(nóng)場邊際收益的角度來看，均值CVaR優(yōu)化結(jié)果表明，地理多樣化在風險管理策略中是有效的。多元正態(tài)分布模型導致在給定的農(nóng)業(yè)盈利水平下低估了農(nóng)場面臨的最低相關風險水平。然而，迄今為止，地理多樣化戰(zhàn)略在農(nóng)業(yè)中的有效性研究較少。為了解決這一需求，特別是對于農(nóng)業(yè)依賴的國家，本研究調(diào)查了地理多樣化在小麥種植的投資組合管理中的效用，旨在分析地理多樣化戰(zhàn)略在降低農(nóng)業(yè)經(jīng)營風險中的有效性。為了證明基于Copula的均值CVaR模型是一種穩(wěn)健的統(tǒng)計方法，將其用于量化給定風險水平所需的最佳多樣化數(shù)量，并比較了傳統(tǒng)多元正態(tài)分布模型和Copula模型在極端損失模擬中的差異。

1 方法論

由于中國小麥種植范圍較廣，種植區(qū)地理多樣化的有效性，包括風險管理策略中的均值CVaR優(yōu)化，還未在農(nóng)業(yè)環(huán)境特別是小麥栽培區(qū)域中得到檢驗。因此，本研究在模擬方法中利用Copula方法來計算相應的CVaR值。該方法允許根據(jù)聯(lián)合分布隨機生成農(nóng)場邊際收益的情景。

以某省3個不同地理區(qū)域的農(nóng)場為例（分別命名為KF、ZK、NY），以農(nóng)場盈利能力衡量的邊際收益，即總收入超過總成本占總收入的比例表示。第[i]個區(qū)域的邊際收益[ri]（[i]=1，2，3）計算如下：

1.1 條件風險值

假設[f（x，y）]表示一個取決于決策[x]的損失函數(shù)，該決策將從現(xiàn)實投資組合的可行集合X和隨機向量[y]中選擇。令[Ψ（x，α）]的損失函數(shù)[f（x，y）]不超過某個閾值[α]的概率。VaR函數(shù)[αβx]是在置信度[β]處的損耗分布百分位數(shù)，定義為：

式中，[p（y）]為隨機向量[y]的概率密度函數(shù)，可以看出，在相同的置信水平下，CVaR是VaR的一個較大的界。CVaR提供了比VaR更一致的風險度量，并且通常在投資組合優(yōu)化的環(huán)境中能得到更有效的結(jié)果。此外，CVaR可以表示為一個凸函數(shù)，允許構建投資組合優(yōu)化問題，該問題可以通過線性規(guī)劃技術被有效地解決。雖然VaR在最優(yōu)投資組合方法中起到了一定的作用，但也暴露了一些內(nèi)在的限制。因此，高損失的風險可以通過最小化CVaR而不是最小化VaR來降低，因為一個低CVaR的投資組合也必須有低的VaR[14]。

1.2 投資組合優(yōu)化問題

假設1個投資組合由[n]個生產(chǎn)區(qū)域組成，邊際收益[r1，...，rn]為隨機百分比，邊際預期收益[E[ri]]是分配給生產(chǎn)區(qū)域的總面積，[wi]是決策向量或權重。在農(nóng)業(yè)部門的背景下，農(nóng)場的投資組合優(yōu)化問題是在給定的特定風險水平[β]的情況下最大化投資組合的預期收益（所有邊際預期收益之和乘以相應權重）。投資組合優(yōu)化問題可以表述為：

1.3 計算條件風險值

1.4 Copulas函數(shù)

如上所述，使用蒙特卡羅模擬法計算CVaR需要了解投資組合中所有邊際收益的聯(lián)合分布[15]。為了滿足這一要求，建議將聯(lián)合分布函數(shù)[F（x1，...，xn）]表示為：

2 結(jié)果與分析

為解決基于最優(yōu)Copula統(tǒng)計模型的農(nóng)業(yè)投資組合優(yōu)化問題而生成的模型結(jié)果，下面在應用模型和相關問題的背景下提供了物理解釋。與極端氣候條件有關的邊際收益的波動首先被描述出來。Copula模型選擇的結(jié)果將用多元Copula函數(shù)來描述，并建立了傳統(tǒng)的多元正態(tài)分布模型，且對二者進行了比較。最后， 討論了均值CVaR優(yōu)化和最優(yōu)投資組合分配結(jié)果，這些結(jié)果來自不同置信水平的模型。圖1顯示了每個小麥種植區(qū)的歷史邊際收益。邊界收益的增加和降低表明，對應農(nóng)業(yè)區(qū)可能有潛在的高收益率，但也可能有潛在的極低收益率。因此，從匯總統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析得出的直觀結(jié)論是，在ZK種植小麥可能會獲得更穩(wěn)定的效益，并降低一些風險。

2.1 Copula模型

作為模型構建的第一步，將歷史邊際收益擬合到理論分布曲線上。3種歷史邊際收益數(shù)據(jù)都可以用廣義邏輯分布進行適當描述，估計參數(shù)包括密度、累積分布函數(shù)、分位數(shù)圖、概率圖，通過對這些參數(shù)的分析來確定邊際分布結(jié)果。在建立最優(yōu)Copula統(tǒng)計模型之后， 應用基于Copula的蒙特卡羅仿真，并從選定的每個區(qū)域獲得了2 700個邊際收益的模擬，即對27個樣本的樣本量進行了100次重復模擬。為了便于比較，研究還使用了傳統(tǒng)的多元正態(tài)分布模型來生成另一組使用蒙特卡羅模擬技術的模擬數(shù)據(jù)。在這種情況下，假定邊際收益服從多元正態(tài)分布，即單個邊際收益分布及其依存關系被假定為正態(tài)，這3組隨機模擬的數(shù)據(jù)（已轉(zhuǎn)化為真實值）最終用于地理多樣化分析和解釋。

2.2 平均CVaR有效邊界

在目標風險約束下，對期望收益最大化的農(nóng)場投資組合的均值CVaR進行優(yōu)化。表1顯示了3種常見置信水平下的最優(yōu)投資組合示例（即置信水平分別為90%、95%和99%）。根據(jù)定義，CVaR風險度量將結(jié)果與0進行比較，因此它可能有正值和負值。

為了比較不同分布假設下均值CVaR的最佳值，為每個置信水平選擇了預期收益的相同目標。基于Copula的投資組合比傳統(tǒng)的多元正態(tài)分布投資組合產(chǎn)生了更高的均值CVaR。因此，表1的結(jié)果表明，如果邊際收益的聯(lián)合分布正確地遵循由Copulas建模的非正態(tài)分布，則農(nóng)場主很可能低估了通過均值CVaR衡量的最小風險水平給定的預期收益。由于邊際收益明顯不符合正態(tài)分布，因此應根據(jù)Copula模型來衡量風險水平。

從圖2可以看出，與多元正態(tài)分布模型相比，基于Copula的模型邊界值明顯更高。這是因為基于Copula的模型能夠考慮到尾部的相關性，而多元正態(tài)分布假設尾部相關性系數(shù)為零，因此忽略了聯(lián)合分布尾部的共同運動。因此，依賴傳統(tǒng)多元正態(tài)分布假設的投資組合優(yōu)化方法可能保護效果較差，而基于Copula的模型更適合那些擔心自己的農(nóng)場盈利能力遭受極端損失的農(nóng)場。由此可以推斷，在所有考慮的置信度水平上，Copula能夠比多元正態(tài)分布模型更好地衡量風險。這是因為，通過構造方法，Copula比多元正態(tài)分布模型更靈活地對每個變量對的依賴關系進行了建模。為了檢驗這一點，還檢驗了2種模型的保存能力，以模擬變量對之間的依賴關系。顯然，與多元正態(tài)模型相比，Copula方法能夠保留所有變量對的依賴性。

相對于基于Copula的邊界，每個區(qū)域的單一投資組合如圖3所示。由圖3可以看出，目前在KF和NY地區(qū)種植小麥的農(nóng)民的盈利能力低于有效邊界水平，而ZK區(qū)則處于邊界曲線上。在給定的下行風險水平下，地域多元化可能會提高KF和NY區(qū)的盈利能力，但不會提高ZK區(qū)的盈利能力。因此，在ZK種植小麥可能面臨最大的風險，因為它位于邊界曲線的最高點，但是也有可能達到最高的獲利能力。此外，在這種情況下，生產(chǎn)商可能會決定通過地理多元化來降低利潤率，以降低相對較大的下行風險。

3 結(jié)論

使用基于Copula的方法計算了均值CVaR，與傳統(tǒng)的多元正態(tài)分布模型相比，Copula統(tǒng)計方法能夠靈活地對包括非正態(tài)分布在內(nèi)的不同類型邊緣數(shù)據(jù)集的聯(lián)合分布進行建模。使用蒙特卡羅模擬方法中的場景來計算CVaR標準，并通過最大化給定目標水平CVaR的預期邊際收益來實現(xiàn)投資組合優(yōu)化。因此，基于Copula的模型更適合于評估農(nóng)場盈利能力以及經(jīng)濟風險。

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