PageRank思想在若干數學課程教學中的滲透

鄭華 孫宇鋒

[摘 要] 在數學模型、數值分析、數學軟件等信息與計算科學專業課程中滲透PageRank的數學思想，可以用來在教學過程中形成鏈條式的教學模式，使學生進一步明確學習目標、激發學習興趣以及拓展學習視野，提高學生學習動力和提升教學效果，使學習更有深度、廣度和寬度，進而輻射科學計算后續相關專業課程。

[關鍵詞] PageRank;鏈條式教學;課程融合

[基金項目] 教育部2017年度“產學合作協同育人”項目（201701044035、201701044085）;廣東省2016年度“教育教學質量工程”建設項目

（大學生實踐教學基地立項No：46）;韶關學院第十九批教育教學改革研究重點項目“基于大數據創新能力培養的《專業核心

技能訓練》課程教學改革研究與實踐”（SYJY20181908）;2018年韶關學院“質量工程”建設項目（科學計算中的若干問題No：7）

[作者簡介] 鄭 華（1982—），男，廣東韶關人，計算數學博士，韶關學院副教授，研究方向為高性能計算;孫宇鋒（1963—），男，河北邢臺人，基礎數學碩士，韶關學院數學與統計學院教授，主要從事微分方程、數學文化與數學史研究。

[中圖分類號] G642? ? [文獻標識碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2020）30-0294-02? ? [收稿日期] 2019-09-23

一、介紹

數學模型、數值分析、數學軟件等是信息與計算科學專業的重要專業課，這些課程良好的教學效果直接為該專業學生進一步學習和解決科學計算問題、順利完成專業人才培養方案的要求打下基礎。因此，在關聯性緊密的信息與計算科學專業課程教學過程中，如果能借助合適的科學計算模型以及數學思想把多門課程融合，探索課程之間相應理論的關聯性，以鏈條式教學的模式在不同的問題情境中多次呈現類似的數學思想，進而不斷呈現相關課程內容中隱含的關鍵要素，有利于學生掌握并遷移于新的情境，提高其認知的靈活性，使學生進一步明確學習目標、激發學習興趣以及拓展學習視野，加強對相關課程知識體系的貫通和全面掌握。

二、PageRank簡介

一個實際問題的建模及解決往往是很復雜的，需要各方面的專家長期協作，逐步取得進展。因此，要把問題引入到教學中來，精選問題就成了關鍵[1]。PageRank是Google搜索中的核心算法，對于按用戶提交的關鍵詞搜索得到的網頁，基于這些網頁在互聯網中相互之間的浩瀚鏈接關系，PageRank算法對網頁進行等級評分（稱為PR值）排序，其主要思想是同時考慮各網頁被鏈接數量以及各網頁本身的重要性。PageRank算法計算各網頁PR值的基本步驟為：1.從互聯網獲取表示網頁之間鏈接關系的鄰接矩陣;2.對鄰接矩陣進行修正得到Google矩陣;3.計算Google矩陣的主特征向量（即按模最大的特征值對應的特征向量）;4.把主特征向量進行歸一化后得到各網頁的PR值。

三、PageRank和“循環比賽的名次”的建模過程教學

在數學模型的教學過程中，如果能把數學建模方法與鮮活的現實問題情境相聯系，就能加強理性與感性認知的有機聯系，促進對數學建模方法本質的深刻理解，增強數學建模方法的靈活運用和廣泛遷移。“循環比賽的名次”是數學模型[2]中的離散模型之一，其關注的背景問題是日常生活中的比賽排名問題（比賽只有勝負，沒有平局）。最簡單的思路是按照各個參賽隊的總勝場數進行排名，但從比賽結果對應的競賽圖角度看，在雙向連通圖的情形下無法對所有參賽隊進行排序。因此，在數學模型課的“循環比賽的名次”建模思想的講授中，同時給學生展示PageRank的建模思路，可以有效地幫助學生進行對比，通過科學計算前沿問題的拓展，加深對所學知識的理解。

四、PageRank和冪法的推導過程教學

在數值分析[3]的特征值計算理論中，冪法對應的是計算大規模稀疏矩陣的主特征值和主特征向量，這與PageRank算法流程第（3）步針對的數學問題一致。從該數學問題的描述上看，跟高等代數課程中學習的矩陣特征值理論有所區別，這里只需計算矩陣的1個特征值及其對應的特征向量。根據上節的分析，可結合PageRank模型的背景，給學生闡明計算主特征值和主特征向量在實際應用中的必要性，確實有些應用問題只需要計算矩陣的1個特征值信息（而不是全部的特征值信息），進而幫助學生擺脫高等代數特征值理論的純理論束縛，加深對冪法背景的理解，拓展學生的學習視野。

在算法構建上，冪法的推導思路是不斷用給定矩陣乘以初始向量（即出現了矩陣乘冪的運算），然后借助算法假設得到冪法的迭代格式以及推導其收斂性理論，這個過程涉及到高等代數課程較為抽象的線性空間和向量線性相關性理論，并且，其中的關鍵在于如何想到利用矩陣乘冪提取出矩陣的主特征值和對應特征的向量。因此，對于在大學一年級階段數學基礎課學得不好的學生，理解起來有些困難，會被略顯枯燥的數學推導束縛進而影響對算法思想的掌握。由于冪法的推導思路和PageRank模型的思想是類似的，借助PageRank模型的簡單版本——“循環比賽的名次”，就可以從“如何顯現每場比賽的勝負價值”這個角度入手，借助鄰接矩陣的意義和矩陣乘法規則，給學生展示冪法中矩陣乘冪運算的推演。在這個過程中，把生活化以及科學前沿的案例融入較抽象的算法推導，能快速讓學生把握數學推導的關鍵思想，進而加深對冪法的理解。

五、PageRank和稀疏矩陣實驗教學

稀疏矩陣的存儲和運算是數學軟件課程關注的內容之一，在計算機上對稀疏矩陣（尤其是大規模問題）進行操作的過程中，一般采用三元數組存儲的方式，并且應盡量避免矩陣乘矩陣的運算。以MATLAB為例，如果局限在MATLAB中講解稀疏矩陣運算的相關函數（如sparse、sprand、spdiags、speye等），部分學生對此可能不會有深刻的體會，容易形成為了應付期末考試而去機械記憶這些函數的不良學習習慣。考慮到PageRank模型中的Google矩陣正是由大規模稀疏矩陣修正得到的，把該實例引入數學軟件課程的上機實驗，結合實際問題進行算法實現，給相關內容的教學帶來了生氣，可以消除學生對復雜代碼的厭煩情緒，讓學生更能感受到課程的實用性。

對于稀疏矩陣的存儲，在講解三元數組存儲方式原理的基礎上，結合PageRank模型中Google矩陣規模的演變過程，讓學生了解大規模稀疏矩陣的實際背景，認識到學習稀疏矩陣存儲的必要性。其中，可以在互聯網上下載來源于實際應用的大規模Web鄰接矩陣數據包，作為學生上機實驗的操作對象。進一步地，由于PageRank模型中的Google矩陣被個性化向量修正后是完全稠密的矩陣，因此不能在算法實現中進行顯式存儲，以此作為大規模稠密矩陣存儲的反例，為下一步稀疏矩陣的運算格式做好鋪墊。

對于稀疏矩陣的運算，以大規模的Web鄰接矩陣為例，用MATLAB的spy函數查看矩陣稀疏結構在矩陣乘矩陣運算中的被破壞程度，可以使學生快速理解在PageRank算法實現中Google矩陣不能直接存儲的原因，同時加強對“避免矩陣乘矩陣”這個稀疏矩陣基本運算規則理念的理解。同時，基于計算機內存限制和PageRank算法中的矩陣乘冪運算要求，需要把矩陣乘冪運算轉化為矩陣乘向量，進而才推導出冪法實現的迭代過程。結合PageRank算法流程進行講解，能使學生對數值分析中以迭代格式來實現冪法有更好的理解.

六、結論

信息與計算科學專業著重培養學生解決科學計算、軟件開發等實際問題的能力，把科學計算中的前沿問題與該專業數學模型、數值分析、數學軟件等專業課相結合，在這些課程中滲透PageRank數學思想，圍繞這一典型綜合案例，以連貫的模型建立、算法設計、算法實現帶動相關數學理論的理解，有效地幫助學生在宏觀上把所學的知識關聯起來，提高對專業知識的多角度理解，使學習更有深度、廣度和寬度，提高學生的學習效率，提升教學效果，同時輻射科學計算后續相關專業課程。由于眾多應用數學類的課程相互之間都有一定的關聯性，本文的教學研究思路可推廣到其他應用數學類的課程中。

參考文獻

[1]韓旭里.數值計算與數學建模結合教學的實踐[J].數學教育學報，2008（3）：74-75.

[2]姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型[M].北京：高等教育出版社，2018.

[3]李慶揚，王能超，易大義.數值分析[M].北京：清華大學出版社，2008.

The Infiltration of the Idea of PageRank in the Teaching of Some Mathematical Courses

ZHENG Hua，SUN Yu-feng

（School of Mathematics and Statistics，Shaoguan University，Shaoguan，Guangdong 512005，China）

Abstract："Mathematical Model"，"numerical Analysis"，"Mathematical Software" and other information and computational science courses infiltrate the mathematical thought of PageRank，which can be used to form a chain teaching model in the teaching process，so that students can further clarify their learning objectives，stimulate their interest in learning and expand their learning horizons，improve their learning motivation and improve their teaching effect，and make their learning more deep，broad and wide，and then it will be helpful for the follow-up related professional courses in calculation science.

Key words：PageRank;chain teaching;courses integration