從將軍飲馬問題談利用軸對稱求最短距離的幾種模型

王 利

（山東省淄博第十八中學 山東·淄博 255047）

傳說古希臘羅馬將軍牽著馬從A地到河邊飲馬，然后回到宿營地B，問怎么走才能使路線最短最短路線問題在生產、科研和日常生活中確實重要且應用廣泛。這個問題在我們中考中也是常考的熱點問題，因此，我們要掌握其分析解決的方法。下面就談談利用軸對稱“求最短距離問題”的幾個模型。

模型1，已知：如圖1，在直線m同側有兩點M、N，在m上找一點P，使PM+PN最小。

圖1

圖2

作法：如圖2，作點M關于直線m的對稱點M＇，連結M＇N交直線m于點P。點P就是符合條件的點。

模型2，已知：如圖3，在直線m同側有兩點M、N，在m上找一點P，使｜PM－PN｜最小。

圖3

圖4

作法：如圖4，連結MN并延長交直線m于點P。點P就是符合條件的點。

模型3，已知：如圖5，在直線m同側有兩點M、N和線段a，在直線m上找兩點P、Q兩點，使PQ=a且MQ+QP+PN最小。

圖5

圖6

作法：如圖6，先將點N向左平移至N＇，使N＇N=a，作N＇關于m的對稱點N＂，連結MN＂交m于點Q，連結QN＇，再過點N作Q N＇的平行線PN交m于點P。點P、Q就是符合條件的點。

模型4，已知：如圖7，在∠AOB內有一點P，在邊OA、OB上找兩點M、N，使PM+MN最小。

圖7

圖8

作法：如圖8，作點P關于邊OA的對稱點Q，過點Q作QN⊥OB于點N，交OA于點M。點M、N就是符合條件的點。

模型5，已知：如圖9，在∠AOB內有一點P，在邊OA、OB上分別找點M、N，使△PMN周長最小。

圖9

作法：如圖10，作點P分別作邊OA、OB的對稱點C、D，連結CD分別交OA、OB于點M、N。點M、N就是符合條件的點。

模型6，已知：如圖11，在∠AOB內有兩點P、Q，在邊OA、OB上分別找點M、N，使PM+MN+NQ最小。

圖11

圖12

作法：如圖12，作點P、Q分別作邊OA、OB的對稱點C、D，連結CD分別交OA、OB于點M、N。點M、N就是符合條件的點。

例1．如圖13，14，在等邊△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一點，M是AD上的一點，AE=2，求EM+MC的最小值。

圖13

圖14

解：∵點C關于直線AD的對稱點是點B，∴連接BE，交AD于點M，則ME+MC最小，過點B作BH⊥AC于點H，則EH=AH－AE=3－2=1，，在直角△BHE中，BE

例2如圖15，16，AB為⊙O的直徑，BC、CD是⊙O的切線，切點分別為點B、D，點E為線段OB上的一個動點，連接OD，CE，DE，已知AB=2 5，BC=2，當CE+DE的值最小時，求的值。

圖15

圖16

解：延長CB到F使得BF=BC，則C與F關于OB對稱，連接DF與OB相交于點E，此時CE+DE=DF值最小，連接OC，BD，兩線相交于點G，過D作DH⊥OB于H。