圓錐曲線中“設點熱”后的點差法命題背景探究

◇ 山東 李 佳

解析幾何的命題背景眾多,究其原因會發現是解析幾何的二級結論頗多,且各類推導運算量頗大.本文節選了解析幾何中的一大熱點——“點差法”,剖析“點差法”命題背后的本質,并對教學中的相關問題進行反思.

1 命題的背景和原則

解析幾何是高中數學課程中的經典內容,而圓錐曲線更是解析幾何中的重要曲線,它充分體現了解析幾何的基本思想,是高考的必考內容,這類問題往往以把關題的形式出現.在《2019年浙江高考數學考試說明》里對圓錐曲線的考試要求中也提到：會解決直線與橢圓、拋物線的位置關系的問題;了解方程與曲線的對應關系,會求簡單的曲線方程.

結合高中數學核心素養,在圓錐曲線的試題中,主要考查學生的邏輯推理、數學運算、直觀想象這三個核心素養.因此關于圓錐曲線的試題,其綜合性比較強,可以有效考查學生分析問題及解決問題的能力.本文將結合命題的相容性、準確性、多元性等原則,以“設點熱”后的點差命題為例,談談筆者對命題設計的理解.

2 真題呈現

例1(2019 年浙江卷)如圖1 所示,已知點F(1,0)為拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點,過點F的直線交拋物線于A,B兩點,點C在拋物線上,使得△ABC的重心G在x軸上,直線AC交x軸于點Q,且點Q在點F右側,記△AFG,△CQG的面積分別為S1,S2.

圖1

(1)求p的值及拋物線的準線方程;

分析高考中關于圓錐曲線的命題視角有很多,在這之中又以橢圓、拋物線與直線的位置關系的命題居多.在求解此類問題時,我們一般的解題思路為“設線”或“設點”,那么在具體的運算過程中,到底是選擇設線好,還是選擇設點好呢?

解(1)p＝2;拋物線的準線方程為x＝－1.

(2)因為y2＝4x,設A(t2,2t),由焦點弦性質得：xAxB＝1,所以

所以

當且僅當(x－2)2＝3時等號成立,解得或即代入則G(2,0).

從拋物線的命題角度來考慮,為什么在拋物線中“設點”更好呢? 那是因為在拋物線上,設A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB與x軸交于點E(x0,y0),則總有x1x2＝x20,所以在拋物線中,點與點之間是有非常明確的一個定量關系,這就是為什么我們在研究拋物線與直線位置關系的相關題目時喜歡用“設點”來研究.

自從文科和理科合并以后,拋物線的引入,引起了一場“設點熱”,因此同樣的一個想法,我們能不能在橢圓或者雙曲線中也用設點來研究呢?

3 橢圓和雙曲線中“設點”做法的研究

橢圓和雙曲線中點的研究,又往往和向量關聯在一起,從而想到對定比點差法的研究.

定比點差法的原理：假設A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓上不同的兩點,且不關于坐標軸對稱,并且則

又因為

這里考慮到①②的結構,我們對③④進行降維處理,③－λ2可得

關于定比點差法的研究,目前對這個問題已經出現了兩類經典問題,一類就是比例系數特殊化,即對點差法的理解與應用,還有一類就是定比分點特殊化,即圓錐曲線中的一個定點、定值問題.

3.1 演繹推理(1)——比例系數特殊化

考慮比例系數特殊化,即當λ＝1時,式子⑤為

整理即得

這個實際上就是點差法.

從代數角度來看,“點差法”實際上可以看成是定比點差法的一種特殊情況,而更深層次來看更是一種消元思想的體現.

假設D是線段AB的中點,則,設kAB＝k,則

根據端點關系來消元,在運算過程中可以消掉變量y1,y2.

例2橢圓的上頂點為B,右頂點為A,作一條平行于AB的直線l交橢圓于C,D兩點,記AC與BD的斜率分別為kAC,kBD,求kAC·kBD的值.

解析

根據題設可得：B(0,1),A(2,0),C(x1,y1),D(x2,y2),則,

從而

3.2 演繹推理(2)——定比分點特殊化

除了可以將比例系數特殊化外,還可以將定比分點特殊化,即P為x軸或y軸與直線的交點,我們以與x軸的交點為例,設P(m,0),此時直線AB可設為(y1－y2)x＋(x2－x1)y＝x2y1－x1y2,這里給出3種不同的求解方法.

解法1因為所以A,B,P三點共線,所以交叉相乘再平方,得

解法2令y＝0,則x2y1－x1y2＝m(y1－y2),我們去求它的對偶式x2y1＋x1y2,

接下來就可以根據

去求解x2y1,x1y2的值,利用結構關系達到消元的目的.

解法3因為,

所以

以上就是定比分點特殊化以后的3種不同的求解方式,都體現了一個減元的思想.

綜上所述,在設點研究定比點差法的命題背景下,體現了兩類經典問題：1)點差法的理解與應用;2)圓錐曲線中的定點、定值問題.思想層面統一體現為減元、消元思想以及方程的思想,數學核心素養層面,主要體現對數學運算及邏輯推理的培養.