推理：讓數(shù)學(xué)思考言而有據(jù)

強(qiáng)振宇

[摘要]推理是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中內(nèi)隱性思維的主要形式，它包括直覺性的合情推理和邏輯性的演繹推理，其中合情推理又是學(xué)生推理的主要方式。教學(xué)“面積單位進(jìn)率”時(shí)，通過鼓勵(lì)學(xué)生觀察、歸納、猜想、計(jì)算等活動，在情境中誘發(fā)合情推理，在多元表征中發(fā)展演繹思維，在拓展中合演互動，不斷培養(yǎng)學(xué)生推理能力，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動經(jīng)驗(yàn)。

[關(guān)鍵詞]推理能力;合情推理;演繹推理

[中圖分類號]G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

[文章編號]1007-9068（2020）23-0030-02

推理能力是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的一個(gè)核心概念，“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式”。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)推理，培養(yǎng)學(xué)生一定的推理能力是培育學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容。下面以“面積單位的進(jìn)率”教學(xué)為例，談?wù)勁囵B(yǎng)推理能力貫穿在整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中的實(shí)踐與思考。

一、基于現(xiàn)實(shí)：在情境中誘發(fā)合情推理

合情推理是指從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果。它不是憑空想象，而是根據(jù)一定的事實(shí)、情境，基于一定的知識經(jīng)驗(yàn)做出的探索性的判斷，是數(shù)學(xué)猜想，是一種創(chuàng)造性的思維活動。因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要給學(xué)生提供必要的數(shù)學(xué)事實(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽提出猜想。

[教學(xué)片段1]

師：公園里有一塊長方形草坪，從數(shù)學(xué)角度看草坪的介紹，缺了些什么？

生：介紹不完整，數(shù)字后面缺單位。

師（出示：米、分米、平方米）：請?jiān)诶ㄌ柪锾钌虾线m的單位。

師：米、分米，還有厘米，都是我們認(rèn)識的長度單位。每相鄰兩個(gè)長度單位之間的進(jìn)率是10。平方米、平方分米、平方厘米是我們剛學(xué)習(xí)的面積單位。對照長度單位，你們有什么問題？

生：面積單位有沒有進(jìn)率？

生。：每相鄰兩個(gè)面積單位之間的進(jìn)率是多少？師：面積單位也有進(jìn)率。這節(jié)課我們就一起研究“面積單位進(jìn)率”。先猜一猜1平方分米等于多少平方厘米。

生4：1平方分米=10平方厘米。

生s：1平方分米=100平方厘米。

教學(xué)時(shí)有意識地創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)的長度單位，啟發(fā)學(xué)生主動想到面積單位之間的進(jìn)率關(guān)系，把平面圖形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)遷移過來，激發(fā)學(xué)生“無疑有疑，有疑而思解”，達(dá)到“解疑而心悅”。喚起學(xué)生對面積單位進(jìn)率的猜想，是順應(yīng)學(xué)生憑借“線”到“面”的直覺和經(jīng)驗(yàn)做出的合情數(shù)學(xué)表達(dá)，消除多數(shù)學(xué)生對學(xué)習(xí)進(jìn)率產(chǎn)生的困惑，自然引發(fā)學(xué)生合乎邏輯的主動學(xué)習(xí)。正如波利亞所言：“只要數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程稍能反映出數(shù)學(xué)的發(fā)明創(chuàng)造的話，那么就應(yīng)當(dāng)讓猜測、合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢谩?/p>

二、多元表征：在活動中發(fā)展演繹推理

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)通過多樣化的活動培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，提出：在觀察、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證等活動中，發(fā)展演繹推理，學(xué)生能進(jìn)行有條理地思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過程與結(jié)果，將內(nèi)在的思維活動與外部的數(shù)學(xué)表達(dá)能力結(jié)合起來。因此，教師要立足教材，留足空間，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、比較、計(jì)算、推理等多種活動，自主驗(yàn)證猜想進(jìn)而發(fā)現(xiàn)相鄰面積單位之間的進(jìn)率。這樣既發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力，又激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

[教學(xué)片段2]

師：對于面積單位平方分米與平方厘米之間的進(jìn)率，有說是10的，也有說是100的，這只是我們的猜想，要知道哪個(gè)猜想正確，需用事實(shí)說話。看，這是一個(gè)邊長1分米的正方形，它的面積是多少？（1x1=1平方分米）如果用平方厘米做單位，你們有辦法知道它的面積是多少平方厘米嗎？比一比誰的方法多。

表征1（擺一擺）：用面積1平方厘米的小正方形擺。沿著橫邊一排可以擺10個(gè)，沿著豎邊擺10排，共擺了10x10=100（個(gè)）。因此面積1平方分米就是100平方厘米。

表征2（量一量）：用直尺量正方形的邊長，邊長是10厘米。因此這個(gè)正方形的面積也就是10x10=100（平方厘米）。

表征3（換算）：正方形的邊長是1分米，因?yàn)?分米=10厘米，所以這個(gè)正方形也就是邊長10厘米的正方形，面積是10x10=100（平方厘米）。

師：老師要為你們點(diǎn)贊。你們用了不同的數(shù)學(xué)方法得到相同的結(jié)果，那就是邊長1分米的正方形面積.是1平方分米，也就是100平方厘米。

師：誰能很快說出1平方米=（）平方分米？

生：正方形的邊長是1米，面積是1平方米。因?yàn)?米=10分米，所以這個(gè)正方形也就是邊長10分米的正方形，正方形面積10x10=100（平方分米）。

師：老師這里就有一個(gè)邊長1米的正方形，它的面積就是1平方米。我們一起用面積單位1平方分米的小正方形擺一擺，沿橫邊一排可以擺10個(gè)，沿豎邊擺這樣的10排，一共就可以擺10x10=100（個(gè)）。因此面積1平方米就是100平方分米。

師：面積單位從大到小排列是平方米、平方分米、平方厘米，通過剛才的研究，能發(fā)現(xiàn)什么？

生：相鄰兩個(gè)面積單位之間的進(jìn)率是100。

師：相鄰兩個(gè)長度單位之間的進(jìn)率是多少？與相鄰兩個(gè)面積單位之間的進(jìn)率相比，要注意什么？

學(xué)生聯(lián)系相鄰的兩個(gè)長度單位之間的進(jìn)率，對相鄰兩個(gè)面積單位平方分米、平方厘米之間的進(jìn)率進(jìn)行猜測后，教師就放手讓學(xué)生進(jìn)行操作交流，鼓勵(lì)學(xué)生用自己的方法、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來證明進(jìn)率關(guān)系。結(jié)果，學(xué)生有的根據(jù)長方形和正方形面積公式推導(dǎo)，有的想到擺的方法，有的想到量邊長計(jì)算面積，還有的想到直接將1分米換算成10厘米進(jìn)行面積計(jì)算。這些方法不僅有助于學(xué)生確信一個(gè)事實(shí)“1平方分米=100平方厘米”，更重要的學(xué)生在主動探索1平方分米等于多少平方厘米過程中，演繹推理過程有理有據(jù)，可視可感，不同思維程度的學(xué)生能找到不同的表征方式，從而增加了合情推理結(jié)論的“可靠性”。同時(shí)，這對接下來類比遷移推理學(xué)習(xí)1平方米等于多少平方分米也十分有利。

三、遷移延伸：在拓展中合演互動

數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程是一個(gè)不斷提出猜想、驗(yàn)證猜想的過程，是合情推理和演繹推理相輔相成、相互為用的過程。合情推理為演繹推理確定目標(biāo)和方向，演繹推理為合情推理提供保障。教師不但要學(xué)生能夠大膽猜想探索新知的合情推理，更要小心驗(yàn)證、仔細(xì)論證的演繹推理，讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

[教學(xué)片段3]

師：相鄰兩個(gè)面積單位之間的進(jìn)率是100，那面積單位平方米與平方厘米之間又有怎樣的關(guān)系？

生：面積單位平方米到平方分米進(jìn)率是100，平方分米到平方厘米又是100，所以面積單位平方米到平方厘米進(jìn)率肯定不是100了，是100個(gè)100，就是10000。

生2：1平方米=10000平方厘米。正方形的邊長是1米，面積是1平方米。因?yàn)?米=100厘米，所以這個(gè)正方形也就是邊長100厘米的正方形，正方形面積為100x100=10000平方厘米。

師：對著面積1平方米的正方形，一起想象100個(gè)100是什么意思。

生g：就是100個(gè)100平方厘米的小正方形。

師：對！要注意平方米與平方厘米之間的關(guān)系不是100。現(xiàn)在我們知道了1平方分米是等于100平方厘米。如果用100個(gè)1平方厘米的小正方形擺成一行是什么圖形？面積是多少？圖形的長是多少？寬是多少？

為了防止學(xué)生的思維定式和探索欲望的下降，拓展延伸階段分別提出了兩個(gè)現(xiàn)實(shí)的、富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的推理和思考。學(xué)生利用合情推理發(fā)現(xiàn)的結(jié)論“1平方米=100平方分米，1平方分米=100平方厘米，得出1平方米=10000平方厘米”是一個(gè)典型的三段式推理。學(xué)生將1米換算成100厘米進(jìn)行面積的計(jì)算，對著面積1平方米的正方形一起想象，又增加了演繹推理結(jié)果的正確性，合情演繹有根有據(jù)。“擺成的是一個(gè)長1米、寬1厘米的長方形，面積是100平方厘米”，再次呈現(xiàn)長度與面積之間測量的對應(yīng)關(guān)系及二維空間觀念的培養(yǎng)，幫助學(xué)生進(jìn)一步明晰“形變面積不變”的面積二維計(jì)算道理。

史寧中教授認(rèn)為：實(shí)施智慧教育就是要重視過程的教學(xué)，而推理的過程就是其中的一個(gè)方面。作為數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)十大核心概念之一的“推理能力”，教師要時(shí)刻針對教學(xué)內(nèi)容精心設(shè)計(jì)引發(fā)思考的數(shù)學(xué)問題，巧妙設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，充分尊重學(xué)生，安排好各種學(xué)生活動，讓學(xué)生展現(xiàn)思維，感悟道理、規(guī)律和方法，逐步到達(dá)推理能力的培養(yǎng)目標(biāo)——言必有據(jù)，合乎邏輯。

（責(zé)編 金鈴）