巧用數形結合打開思維之窗

劉萍

[摘要]數形結合思想是一種重要的數學思想方法。在小學數學教學實踐中，應適當利用數形結合思想，把握好數形結合之度，化難為易，化繁為簡，激發學生學習的興趣，提高學生的學習效率，發展學生的思維能力。

[關鍵詞]數形結合;理解算理;數量關系;解決問題

[中圖分類號]G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號]1007-9068（2020）23-0063-03

數形結合是通過數與形的相互轉化來解決問題的一種思想方法。著名數學家華羅庚先生曾經說過：.“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”在實際教學中，“數”輔助“形”，可將“數”形象化;“形”輔助“數”，可使“數”直觀化。學生在研究數學問題時，由數思形，見形思數，可有效解決問題。數形結合是一種常用的數學思想方法，在教學中適時地滲透數形結合思想，往往會達到事半功倍的效果。下面筆者結合一些教學案例，談談數形結合思想在小學數學教學中的滲透。

一、數形結合，幫助學生理解算理

算理是計算教學的難點，學生只有真正理解算理，才能牢固掌握算法。因此，如何讓學生更好地理.解算理是教師在計算教學中要特別重視的問題。算理很抽象，難以理解，可通過數形結合把它簡單地呈現出來。

[例1]在教學“連續進位加法”時，要筆算“376+284"的結果。如果單純地講哪一位上的數字相加滿十就要向前一位進一，學生會感到困惑，甚至對算理產生懷疑。教師若能利用“格子圖”來輔助講解，問題就會迎刃而解，同時也能讓學生參與到知識的發現和形成過程中，從而對知識的理解更加深刻。

教師出示圖1，引導學生進行計算，先算6個小方格加4個小方格，即10個小方格，這樣就和整十的方格放一起，也就增加了1個十。教師問：“單個的小方格還有沒有剩下的？”生：“沒有。”教師追問：“那個位上的數應該寫0了，再看有幾個表示十的方格？”學生觀察圖形，共同得出：除了原有的7個和8個，剛才又加了1個，一共有16個十。可把10個十換成1個百，給前面的整百加1，剩的6個十，就在十位上寫6。再引導學生觀察整百的方格，原來是3個百加2個百，再.加上1個百就是6個百，百位上是6，結果就是660。

教師結合圖2引導學生總結出“相同數位數字相加滿十就向前一位進一”，這樣學生對算理的理解就更透徹了。

[例2]一位教師在講過2、5.3的倍數的特征后，有學生質疑：“為什么2、5只判斷個位，而3則需要各個數位上的數加起來才可以判斷呢？”因為整十數肯定都是2、5的倍數，所以只要看個位即可，這個學生不難理解。而3的倍數怎樣判斷呢？教師以54為例：54里面有5個十和4個一，而判斷它是否為3的倍數，只要把5和4加起來就行了，找一找5個一藏在哪里？學生百思不得其解，這時教師借助正方體圖很好地解決了這個問題。教師出示了5個十加4個一：每個十都分成3個3，余1，5個十就余5。這時只要判斷這5個正方體加上原來的4個是不是3的倍數即可。（如圖3）

教師接著引導學生思考：判斷一個三位數是不是3的倍數，為什么只要看百位、十位、個位上的數相加的和是否為3的倍數就可以了？再次引發學生的思考。

至此，數形結合，通俗易懂，形象直觀，使學生對3的倍數的特征不僅知其然還知其所以然，將學生的思維引向深處。

二、數形結合，幫助學生直觀地解決數學問題

學生由于年齡的局限，他們對符號、運算性質的推理可能會產生一些困難，如果適時地讓學生自己在紙上涂一涂、畫一畫，可以拓展學生解決問題的思路。數形結合能夠把一些抽象的數學問題具體化，把復雜的問題簡單化，幫助學生找到解決問題的關鍵。

[例3]在二年級下冊，學完“有余數的除法”后，讓學生用這一知識來解決按規律排列的問題。在解決這類問題時，更需要關心的不是商，而是余數。怎樣讓學生理解余數1的含義呢？這里就需要結合圖示來引導學生理解。

當學生用除法計算出結果后，結合直觀圖（如圖4）讓學生理解：余數是1時，對應著一組小旗中的第1面旗，根據排列規律，這面小旗應該是黃色的;余數是2時，對應著一組小旗中的第2面旗，根據排列規律這面小旗應該是紅色的;余數是0，也就是整除時，對應著一組小旗中的最后1面，根據規律這面旗是紅色的。這樣通過數形結合，可讓學生理解余數與旗子顏色的關系，進而建立解決問題的模型。

[例4]對于“分數的初步認識”，教材是在看圖的基礎上對分數進行描述的。有這樣的一道題：媽媽買回一塊蛋糕，弟弟吃了這塊蛋糕的二，哥哥吃了剩下的二，兄弟倆都說對方吃得多，你認為呢？如果讓學生通過計算去解決，在現階段是做不到的，此時不妨引導學生用畫圖的方法來解決。畫一個圓形表示蛋糕，弟弟吃了二，就是要將這個圓平均分成5份，弟弟吃了其中的2份，先將它涂上顏色。那還剩下3份，哥哥吃了，3份中取2份，結果很清楚了：兩人吃得同樣多。

通過數形結合，把復雜的數學問題變得簡單明了，從而輕松解決問題。

三、數形結合，使概念掌握得更扎實

對小學生來說，許多數學概念比較抽象，很難理解，對此，教師可通過數形結合展開概念的教學，利用圖形創設一定的問題情境，通過對圖形的分析，幫助學生理解數學概念。

[例5]在“質數與合數”的教學中，許多學生對質數和合數概念的理解比較模糊，在判斷時容易混淆。若僅憑教師的告知，而沒有讓學生親身經歷概念的生成過程，那么學生對質數與合數的理解會比較膚淺。因此在教學中，教師要根據學生的認知特點，采取數形結合的教學策略，讓學生“人人都動手，動手有收獲”，引導學生積極思考、踴躍辯論，促進學生對質數和合數深刻理解與主動建構。

比如，在講質數和合數的概念時，教師安排了小組合作拼長方形的活動。首先為每個小組提供不同數量的小正方形（如3個、7個、8個、11個、12個、16個、20個、24個），讓學生擺出長方形。

通過操作實踐，讓學生從拼長方形個數的“形”的分類過渡到按一個數的因數個數分類的“數”的分類上來，感悟圖形操作與數字之間蘊含的聯系，既實現質數和合數判斷方法的教學，又滲透“在實踐中感悟數學問題”和“借助數形結合的直觀操作探索抽象數學問題”的思想。通過這種數與形的結合，幫助學生豐富“質數與合數”概念的理解，不再是教師硬邦邦地把知識灌輸給學生，而是讓學生在動手操作中理解概念。

[例6]在教學“分數的意義”時，教師要為學生創造探究的條件，讓學生在動手折一折、涂一涂的過程中進一步探究分數的意義，使學生獲得直接的感官認識。在認識一時，學生通過分月餅初步感知了一的意義后，教師再安排一個找圓的二的活動，讓學生從觀察實物上升到抽象圖形的認識。認識一時，讓學生利用一張正方形紙來折一折、涂一涂。學生根據不同的折法，所呈現的這張紙的一也不同。通過這種方式可發展學生的求異思維，拓寬學生的解題思路。同時讓學生感悟：盡管折法不同，但都是把同一張紙平均分成了4份，其中的1份用一表示。

學生在探究中手腦并用，建立起清晰的表象，“數”的思考，“形”的創設，既激發了學生的學習興趣，又有效地提高了學生的思維水平。

四、數形結合，幫助學生理解抽象的數量關系對于一些抽象的數學問題，教師如果只是一味地讓學生分析題意，用語言表達數量關系，即使教師講得天花亂墜，學生也只是一頭霧水，難以明白。如何突破學生的認知障礙呢？教師應針對學生的認知規律和思維特點，引導他們充分利用直觀的“形”，把抽象的數量關系形象具體化，從而理解抽象的數量關系。

[例7]二年級下冊第五單元“混合運算”的一道題：“一共要烤90個面包，已經烤了36個，每次能烤9個。剩下的還要烤幾次？”對于二年級學生來說，題目信息復雜，一時難以下手。教學中，教師可用色條圖（如圖6）表示出信息和問題，幫助學生直觀理解問題，梳理信息，為后面學習用線段圖表示信息和問題做好鋪墊。

在“怎樣解答”環節中，進一步借助色條圖分析數量間的關系，簡明而直觀地了解“要解決問題，必須要先解決隱藏的問題（中間問題）一“剩下多少個面包需要烤？”然后再解決“每次烤9個，烤幾次？”最后引導學生進行解決策略的總結：想好先算什么，即找出中間問題。通過數形結合，呈現較為具體直觀的數學符號，有利于分析題中的數量關系，迅速找到解決問題的方法，提高學生分析問題和解決問題的能力。

[例8]學習“分數應用題”時，有這樣的一道題：姐妹倆共有故事書52本，姐姐的本數的二和妹妹的本數的一相等，姐妹倆各有故事書多少本？這是一道題中出現了不同單位“1”的分數問題，對學生的思維具有挑戰性。教師可引導學生利用線段圖（如圖7）梳理數量關系，轉化單位“1”，用分數來解答問題。

利用圖形分析和解決問題事半功倍，原因在于它能使抽象的數量關系形象化，同時使得學生理解了題中的數量關系，提高了解題的正確率，提升了思維水平。

小學數學教學中，如果教師能適當利用數形結合思想，把握好數形結合之度，不但能激發學生的學習興趣，還能化難為易、化繁為簡，提高學生的學習效率，發展學生的思維能力。在教學中，教師要注意數形結合思想的滲透，為學生尋得一枝合適的“長篙”，引領學生的思維向更深處漫溯，讓他們在數學的世界里快樂地歌唱！

（責編 黃春香）