證券投資組合的非線性規劃案例分析

（安徽大學 經濟學院，安徽 合肥 230000）

1.引言

隨著我國資本市場的不斷完善和經濟的持續發展，“投資”“理財”等觀念越來越得到大眾的認可，大多數人紛紛進入股市以期所持資產能夠增值。市場是多變的存在著許多不確定因素，單一資產投資常常不能滿足投資者的預期，因此許多投資者開始選擇構建投資組合進行資產的配置[1]。在構建投資組合進行資產配置時，考慮如何使組合的風險與收益滿足投資者的需求以獲取預期回報至關重要。不論是在投資收益很好還是很壞的時候，都應該始終堅持一種正確的投資策略，只有這樣才能使長期投資回報最大化。想要在長期投資中回報最大化風險最小化，就需要堅持正確的投資方法，合理的構建投資組合。投資者大都是理性的經濟人，他們的目的均是在獲取最大收益的同時兼顧可承受的風險水平，即均遵循馬科維茲投資組合理論進行資產配置[2]。根據前人的實證研究結果：在一個投資組合當中若資產的數目小于5，隨著資產數量的增加，組合的整體風險會明顯下降；而資產數量超過5并繼續增加時，其風險下降的速度將越來越慢；當加入組合中的資產數量超過20時，組合的風險幾乎不會再下降[3]。考慮到這種影響，為了盡可能在分散風險的同時簡化計算，本文認為投資組合中包含10支證券是比較合適的。這里首先選取10個不同行業，然后在每一行業中各選取一種收益率排名靠前的資產，最終在上交所以及深交所上市的股票中選取了以下10支股票作為樣本數據進行分析研究，分別為老鳳祥（600612）、上汽集團（600104）、貴州茅臺（600519）、歐菲光（002456）、保利地產（600048）、博信股份（600083）、民和股份 （002234）、中國平安 （601318）、三全食品（002216）、海爾智家（600690）。 所選的股票均屬于不同的行業、具有不同的交易規模，流通性較好，具有一定的代表性，最重要的是每支股票的數據均比較完整。

2.理論介紹

2.1 基本思路

馬柯維茨投資理論認為單一資產的總風險是固定的，僅依靠其自身無法達到降低風險的效果，而資產組合則不同，只要組合中包含任意兩種收益呈負相關的資產，組合的整體風險將會下降。這一理論可以很好的解釋為何要進行組合投資的問題[3]。其基本思路包括均值-方差分析方法和投資組合有效邊界模型。這里依據均值—方差分析方法，即在投資組合中把價格視為隨機變量，用它的均值來衡量收益，用它的方差來衡量風險，篩選出能夠最大程度分散組合風險并保持較高收益率的資產組合，再根據風險和預期收益的約束條件把組合中各證券所占比例作為變量，那么求解各資產的占比問題就被歸結為一個線性約束下的二次規劃問題。

2.2 單一證券的收益與風險

在資本市場中，每個金融資產都具有能代表其收益率和風險的指標。這里定義單個證券的收益率為 Rt，風險為,則,這里 Pt代表資產在t時刻的價格，Pt-1代表資產在t-1時刻的價格，D0代表資產在這段時間內的紅利。σt則可用該證券未來收益的可能值與期望收益的離散程度來表示。

2.3 組合的收益與風險

假設n種不同證券構成投資組合X，其中投入第i種證券的資金在總投資金額中所占的比例 Xi，i=1,2,…，n，可稱為第 i種證券的投資權重[3]。則組合的收益率可用組合的收益除以投資總額。在數值上，證券組合收益率等于其組合中各個證券收益率的加權平均值[4],根據數學期望的性質，可以得到投資組合的預期收益為

風險為

3.基于lingo的實證分析

3.1 選取有效市場組合

收集整理上文中選定的十支股票在2014年11月至2016年11月（共25個月）期間每個月最后一個交易日的收盤價，用Pit表示第i種（i=1,2，…，10）證券在第 t（t=1,2，…，25）月的收盤價，數據來源于國泰安數據庫和東方財富[6]。計算出十支股票每個月的對數收益率。從中可以看出保利地產、三全食品、民和股份、貴州茅臺和老鳳祥的對數收益率相對較高；從對數收益率的平穩性來看，三全食品和貴州茅臺的對數收益率變化相對平緩。接下來，可以用圖形進行具體的直觀判斷分析：

圖1 對數收益率

可以從圖1中看出，貴州茅臺和老鳳祥收益率的月份波動不大，收益率增幅較穩定，多為正值，表明它們的收益增長平穩，市場占有率較高。根據波士頓矩陣原理，可將這兩只股票列為明星產品，具有較大的投資價值。因此可以考慮將這兩只股票納入投資組合當中。民和股份、保利地產的對數收益率相對較高，基本為正值，而歐菲光和上汽集團的對數收益率相對較低且浮動較大，這就說明前兩只股票收益率更平穩且更高，投資價值也更大，在構建投資組合時可以考慮。

針對選取的十支股票，利用Eviews10計算了它們之間的相關系數，從表1中可以看出，三全食品和保利地產之間的相關系數為-0.0995,三全食品和貴州茅臺的相關系數為-0.0979，民和股份和老鳳祥之間的相關系數為-0.0302，根據風險分散效應，在一個投資組合中若存在相關系數為負的兩支股票，則整體組合的非系統性風險將會降低，從而起到分散總風險的作用。這些負的相關系數表明這些股票之間存在著風險分散效應，故股票可以納入構建組合的考慮范圍。除此之外，保利地產和民和股份之間的相關系數為0.07494，中國平安和民和股份的相關系數為0.02924，它們之間的相關系數較小，也可以構建投資組合，起到分散風險的作用。綜上考慮，我們選取保利地產、貴州茅臺、民和股份、三全食品、中國平安和老鳳祥這六只股票來構建投資組合。

3.2 機會約束下建立多元非線性規劃

投資組合的構建遵循馬科維茨投資組合理論，這里可將其轉化為一個優化問題：

（1）給定收益的情況下風險最小化[8]

（2）給定風險的情況下收益最大化[8]

在上述論述中，我們已經挑選了六支有效股，在證券組合中，證券組合的權重可正可負。當證券權重xi>0時，一個正的權重表示買入這種證券[7]；當證券權重xi<0時，一個負的權重表示賣空此種證券，賣空是指投資者從別處借來一定數量的某種證券，并在規定時期歸還同樣數量的某種證券。結合我國實際，滬深證券交易所都禁止買空和賣空的交易行為，因此，我們令權重X均大于等于0。在已知六支股票的組合收益rx、方差協方差矩陣 Λ＝（σik）6×6以及組合中各個資產的期望收益向量（r1,r2,…r6）后，求解組合中資產的權重向量可以建立下述多元非線性規劃：minσ2＝XTΛX

這里的預期收益率參照大盤收益，僅將其定義為近似于大盤的收益率。通過對2014年至2016年上證指數的平均月收益率數據的查找以及計算得到上證指數的平均月收益率為0.013027，所以令上式中的預期收益率E(rx)=0.013027。

表1 方差—協方差矩陣

3.3 lingo求解最優投資組合的資產權重

這里令 X1，X2，X3，X4，X5，X6分別代表保利地產，三全食品，民和股份，中國平安，貴州茅臺，老鳳祥，通過Lingo運行上述多元非線性規劃[5]，運行結果見表2，由表2可得出各資產投資權重，并按照該權重進行投資所構成的投資組合即為最優投資組合[9]。由表可以看出，中國平安所占權重為0，因此在六支股的有效組合中，我們只選取其中的五只作為最優股，其中投資于老鳳祥的金額最大，占初始投資金額的三分之一以上，投資于三全食品的金額最小，這些都是由其對應的風險以及收益決定的。

表2 運行結果

4.績效評估

4.1 證券組合的投資回報率

自有資金3000萬，在2016年11月30日開始投資，計劃投資3年，2019年11月29日結束投資，投資期間不發生投資變動。

根據馬科維茨投資組合理論計算得出證券組合中每股的權重，最終確定我們的投資組合包含5支股票：保利地產、三全食品、民和股份、貴州茅臺、老鳳祥，根據權重計算每支股票的投資金額，再確定每支股票的持倉量，最后得出持股總量為429627股，實際投入金額為：999.9709萬元。2019年11月29日投資結束，即按照29日的收盤價賣出股票。投資期內證券組合的月平均收益率為1.11%，根據投資前后的股票價差可以計算得出構建的投資組合收益約為772.11萬元，投資成本約為999.97萬元，則投資回報率約為77.21%。

4.2 證券組合的風險

圖2為證券組合與滬深300的收益率波動情況，由圖可以看出，兩者的收益率波動趨勢基本相同，但是證券組合的波動相對平緩。分別計算兩者收益率的方差、標準差，證券組合收益率的方差為0.00169，標準差為0.04113；滬深300收益率的方差為0.00228，標準差為0.04778。由此也可以看出來證券組合的風險比滬深300的小。

圖2 投資期內收益率的波動

4.3 結論

根據馬科維茲組合理論原理，運用lingo進行多元非線性規劃所夠構建的證券投資組合是可行的。有上述分析可知，若投資者在2016年末進行投資，他可以通過分析前3年各股票的收益率及風險情況，選擇構建一個有效資產組合，在此基礎上通過均值—方差分析法選出最優投資組合，再運用lingo軟件回歸得出最優組合中各資產的占比情況，由此確定投資金額。對于模型中E(rx)的選取則具有一定的主觀性,這里假定投資者是風險中性的理性人[10]，僅將其定義為近似于大盤的收益率，不同的選取方法對于模型回歸的結果可能會造成影響。由于模型中的變量選取有限，因此本文對資本市場中偏好投資規模較小的投資人選取有效投資組合、確定各資產投資金額具有一定的借鑒作用和實用價值。