基于Kanai-Tajimi譜的高架交界墩橫橋向地震動響應分析

唐朝榮，葛新廣

(1.廣西路橋集團勘察設計有限公司，廣西 南寧 530200；2.廣西科技大學 土木建筑學院，廣西 柳州 545006)

0 前 言

高架橋具有施工簡單、節省土地及造價低的特點，而受到工程界的歡迎，全國隨處可見此類橋梁，但該類橋梁結構屬于典型的“頭重腳輕結構”，地震動對其安全影響較大[1-2]。通過對近30年的大地震橋梁破壞情況的統計研究表明，作為搶險救災生命線的橋梁工程在每次大地震中都受到嚴重破壞，導致救災工作不力，其中高架柱式橋墩更容易發生根部的剪切破壞[3]，如2008年我國汶川地震中數座高橋發生了側向倒塌。橋梁結構抗震安全性設計及分析一直是世界各國橋梁工程亟需解決的問題之一[4]。

我國橋梁眾多，且是個地震多發的國家，橋梁抗震一直是工程界的研究重點[2-3]。宋黎明等[5]利用Sap2000軟件研究了高烈度地震區薄壁墩剛構橋梁在時程地震動曲線下的響應分析，研究表明地震作用下，墩頂側向位移大、墩底地震動剪力大。何雄君等[6]對蘭州西固黃河大橋的橫向抗震體系進行了研究，基于Sap2000軟件及人造地震波激勵下的分析表明，在不同約束條件下，斜拉橋的地震動響應會不同，且擋塊可顯著降低墩底內力。以上研究，地震輸入均為地震動時程，即為確定性激勵，而實際地震動具有時間、地點和強度的隨機性。研究橋墩基于隨機激勵下的地震動響應分析至關重要。

自從20世紀40年代開始，隨機激勵模型已成為研究結構地震動響應的重要手段[7-8]。Kanai[9]和Tajimi[10]通過對大量地震時程記錄的研究提出了過濾白噪聲激勵模型，即為K-T譜隨機模型，該模型將基巖看做白噪聲隨機激勵，而場地土看做過濾器，可比較準確地模擬地震動對地面運動的影響，該模型也是其他復雜地震動模型的基礎，有個廣泛的工程的應用[11-12]。

大跨度橋梁的主橋與引橋過渡的交界墩，受力復雜，是地震中震害比較嚴重的部位。本文以廣西一城市高架橋的交界墩為研究背景，研究其基于隨機地震動激勵下的地震動響應，以指導橋梁抗震設計。

1 工程概況

廣西柳州某高架橋，依據《公路橋梁抗震設計規范》(JTGB02-2013)[13]，按7度設防，場地土為中硬土。主橋采用3跨預應力連續剛構箱梁橋(55 m+90 m+55 m)，橋寬為19.75 m，單箱雙室截面；引橋采用橫向7片20 m跨度的簡支小箱梁組成。主橋中墩采用雙薄壁墩，主、引橋交界墩采用邊長為2.0 m的正方形的雙柱墩，墩高27.5 m。主橋采用球形橡膠支座，引橋采用板式橡膠支座。交界墩參數如圖1所示。

圖1 交界墩構造圖及計算簡圖(單位：cm)

2 橋墩地震動運動方程

2.1 基本計算參數

根據結構動力學的離散原則，交界墩以系梁和蓋梁為橫向系，立柱為豎向系，其等效成雙柱三橫梁的框架結構，利用結構力學求出其橫向抗側剛度k1-k3。根據橫向系的拉結作用，交界墩最后等效成如圖2中所示的m1-m3的3個質點，質點質量取橫向系和對應立柱的質量。橋墩采用鋼筋混凝土材料，其阻尼按瑞雷阻尼計，阻尼比取0.05。上部結構通過支座與交界墩蓋梁相連，故主橋及引橋分別等效成2個集中質點；引橋側質點的質量取20 m跨度簡支梁的總質量的50%。抗側剛度k4、k5分別按照所采用支座的力學參數計算獲得;支座的采用橡膠材質，通過阻尼比來計算c4及c5；本文研究阻尼比變化對橋墩響應的影響，c4及c5參數待定。

結構地震動計算參數見表1。

表1 結構振動基本參數

2.2 橋墩地震動方程

由結構動力學，建立橋墩結構基于地震動的矩陣方程：

(1)

地震動采用Kanai-Tajimi隨機激勵模型，其濾波方程為[9-10]：

(2)

(3)

(4)

式中，Sδ為地震動強度常數，δ(τ)為Dirac函數。

令：

(5)

聯立式(1)～(3)：

(6)

式中：

式中，o1為元素為零的行向量。

3 橋墩結構動力響應統一表達式

引入狀態變量：

(7)

方程(6)改寫為：

(8)

式中:

基于復模態法[7]，方程(8)存在左、右特性向量U、V和特征值矩陣P使之復模態解耦，即特征向量P為對角陣，其與特征值矩陣存在如下關系：

(9)

式中，P的實部為正值。

引入復模態廣義變換[7]：

y=Uz

(10)

式中，z為復模態廣義變量。

將式(10)帶入式(8)：

(11)

左特征向量VT左乘式(11):

(12)

式(12)經整理為：

(13)

把式(9)帶入式(13)，并整理為：

(14)

由于P為對角陣，則式(14)有分量形式：

(15)

式中，zi,ηi,pi分別為z,η,P的分量。

由式(5)、(7)、(10)及(15)，則橋墩第k個質點處的位移xk和速度：

(16)

(17)

式中，uk為右特征向量矩陣的第k行向量，橋墩各個質點處響應的強度系數：

λk,i=uk,iηi

(18)

式中，uk,i為U的第k行第i列元素。

為便于后文推導，由式(16)、(17)可統一表示為：

(19)

式中，l代表響應量，其第i個響應分量為：

(20)

式中，各響應的強度系數sl,i見式(18)。

4 橋墩質點響應的方差計算

由式(19)及隨機振動的協方差定義[7]，響應Sl的協方差為：

(21)

由式(20)，則式(21)中的分量：

(22)

把式(4)帶入式(22)：

(23)

利用Dirac 的函數性質，式(23)改寫為：

(24)

對式(24)積分：

(25)

由式(39)及(43)，基于Kanai-Tajimi譜的橋墩質點處動力響應協方差：

(26)

由隨機振動理論[9]可知，當τ=0時，橋墩第j個質點的位移、速度的響應方差：

(27)

(28)

公式(27)～(28)給出了橋墩各質點處位移及速度的解析解且為完全平方法解(CQC)，且表達式較為簡明。

5 算 例

本項目按7度設防，場地土為中硬土，則K-T譜的參數為ξg=0.8,ωg=16.5rad/s，S0=0.0069m2/s3。 阻尼是耗能的，因此，分析橋墩支座的阻尼比對橋墩各質點側向位移及橋墩內力的影響。橋墩支座阻尼分別取0.05、0.1、0.15、0.2、0.25工況下的位移和速度對比圖如2～3。

由圖2～3可見，隨著橋梁支座阻尼比的增加，橋墩各質點的位移、速度協方差均較大減小，因此，支座阻尼對于橋墩抗震效果影響明顯。

圖2 橋墩質點位移方差與支座阻尼比關系

圖3 橋墩質點速度方差與支座阻尼比關系

6 結 論

通過對高架橋交界墩在地震動下的動力方程的精確建模，給出了其在K-T譜隨機激勵下位移和速度的簡明解析解，結果如下。

1)利用隨機振動理論對橋墩基于隨機地震動激勵下的振動響應進行分析，可較準確地描述橋墩實際經受地震的響應，為其安全性設計提供依據。

2)本文將K-T譜的濾波方程與橋墩的動力方程聯立，可將復雜的地震動激勵精確轉化為白噪聲激勵，簡化分析，提高計算效率。

3)橋墩支座阻尼比對橋墩變形及內力影響較大，抗震設計應采用阻尼比較大的支座。

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