基于多無人機系統的編隊包含控制

趙學遠,周紹磊,王帥磊,閆 實

(海軍航空大學 控制工程系,山東 煙臺 264001)

0 概述

隨著通信技術、機器人技術以及無人飛行器和水下航行器技術的進步,多智能體系統的協同控制引起了人們的廣泛關注[1-3]。作為協同控制的重要分支,研究人員分別對一致性問題、包含問題、編隊控制問題進行了研究,如文獻[4]研究了基于路徑規劃的多無人機系統編隊控制問題,并給出了控制器的設計算法。一致性問題作為協同控制的基礎組成部分,要求與多智能體狀態達成一致[5-6]。

包含問題是指作為跟隨者的智能體的每個狀態量,由多個領導者對應狀態量構成的凸包內變化。文獻[7]依賴于鄰居智能體信息設計了分布式一致性控制器,解決了連續時間和離散時間下多智能體系統的包含問題。文獻[8]研究了有限時間內的拉格朗日多智能體系統的包含控制問題。但上述研究得出的結論是在領導者不進行通信的前提下得出的。

編隊控制問題是指多智能體系統在控制器作用下形成預先給出的期望編隊。近年來,將多智能體的一致性理論成果用于解決編隊控制問題成為人們研究的熱點[9-10]。文獻[11]解決了具有雙積分動力學系統模型的多智能體編隊控制問題,并與之前在機器人領域界的研究方法進行了比較。文獻[12]設計了基于事件觸發機制下的控制器,節約了系統的通信帶寬,同樣實現了多智能體系統的編隊控制。

編隊包含控制問題作為以上兩個問題的結合,要求領導者形成期望編隊隊形,而跟隨者在所形成的編隊內部運動,因此編隊包含控制問題在有人機-無人機系統作戰、多枚導彈協同突防等領域具有廣泛的應用前景。而文獻[13]僅研究多智能體的包含控制問題,領導者不能按照需求形成期望編隊。目前也有部分文獻解決了編隊包含控制問題,如文獻[14]提出多領導者能夠形成期望編隊,跟隨者在編隊構成的凸包內運動,但所采用方法過于復雜,需要求解多個復雜的線性矩陣不等式。總之,多數文獻還只是研究編隊控制問題或者包含控制問題,如文獻[15-16]不存在多個領導者,且只是解決了多智能體系統的編隊控制問題,未解決包含控制問題。而文獻[7]則只是解決了包含控制問題,未涉及編隊控制。但無論是編隊控制問題還是包含控制問題,都可以看作是編隊包含控制問題的特例,因此研究編隊包含控制問題更具有實際意義。

本文研究了具有多領導者的多無人機系統編隊包含控制問題,利用一般通信拓撲條件下Laplacian矩陣特殊性質,將編隊包含控制問題化簡為兩個低階子系統的漸進穩定性問題,以解決多無人機時變編隊包含控制問題。

1 基礎知識

為便于后文對多無人機系統編隊包含控制的研究,給出部分需要用到的引理。

引理1如果有向圖G包含一條有向生成樹,則0是圖G對應的Laplacian矩陣L的一個特征值,且1為特征值0對應的特征向量,其余N-1個特征值均具有正實部[17]。

特別地,如果0是Z的單特征根,則矩陣Y是列滿秩的,矩陣EY的特征值是Z的非零特征值。

2 問題描述

考慮由N架無人機構成的多無人機系統,多無人機系統內部的通信結構描述為有向圖G。本文主要研究多無人機的時變編隊包含控制問題,故將單架無人機視為質點,第i架無人機的動力學系統模型描述為:

(1)

(2)

假設1為分析方便,假設無人機在三維空間內的運動相互解耦,那么在一維空間的結論可以順利推廣至三維空間。

根據無人機要完成任務的不同,將式(2)中的無人機分為領導者和跟隨者。假設式(2)中包含M(M

從L的結構可知,L3是有向圖GE對應的Laplacian矩陣。為了使領導者形成期望時變編隊,關于領導者之間的通信拓撲圖,本文進行如下假設:

假設2GE有一條有向生成樹。

在假設2成立的前提下,類比于引理2有如下引理成立:

引理4對于引理3中定義的矩陣EM,存在一個對稱正定矩陣Q和一個正數α,使得[18]:

(EM)TQ+QEM>αQ

(3)

其中,0<α<2×min{Re(λ(EM))}。

假設3對于跟隨者,至少有一個領導者有一條路徑可到達。

在假設3成立的前提下,有如下引理成立:

領導者的期望編隊隊形描述為:

(4)

其中,hi(t)=[hiz(t),hiv(t)]連續可微。

(5)

其中,r(t)稱為編隊中心軌跡。

(6)

本文基于一致性算法設計如下控制器:

(xi(t)-xj(t)),i∈F

(7)

ui(t)=K1(xi(t)-hi(t))+

(xj(t)-hj(t)))+wi(t),i∈E

(8)

其中,K1、K2和K3為待求的反饋矩陣,wi(t)為輔助控制函數。

將控制器式(7)和式(8)代入式(2)并整理,可得:

(L1?BK2)xF(t)+(L2?BK2)xE(t)

(L3?BK3)xE(t)-(L3?BK3)hE(t)-

(IN-M?BK1)hE(t)+(IN-M?I)w(t)

(9)

3 問題分析和控制器設計

令ηi(t)=xi(t)-hi(t),i∈E,得:

(L3?BK3)ηE(t)+(IN-M?A)hE(t)+

(10)

因此,領導者的編隊形成問題轉化為系統式(10)的一致性問題。

令ξi(t)=ηi(t)-ηi+1(t),得:

(EM?BK3)ξE(t)+(E?A)hE(t)+

(11)

因此:

ηM+1(t)=ηM+2(t)=…=ηN(t)

(12)

(13)

(EM?BK3)ξE(t)

(14)

式(13)、式(14)是漸進穩定的。

φF(t)=(L2?I)xE(t)+(L1?I)xF(t)

(15)

(16)

進而由引理5可得引理6成立。

引理6多無人機系統式(2)在控制器式(7)和式(8)的作用下,對于任意的有界初始狀態,能夠實現編隊包含控制。

(17)

當式(17)成立時,具有多個領導者的多無人機系統實現時變編隊包含控制問題,簡化為式(17)中的兩個系統的漸進穩定性問題。為實現式(17)的漸進穩定性問題,控制器設計步驟如下:

1)選取矩陣K1,使得:

(18)

2)根據第1)步中求得的K1,選定標量參數α,求線性矩陣不等式(19),得到可行解P1:

(19)

其中,0<α<2×min{Re(λ(EM))},S1=A+BK1。

3)根據第1)步中求得的K1,求解線性矩陣不等式(20),得到可行解P2:

(20)

其中,λ=min(λ(L1))。

4)設計反饋矩陣K2=-BTP2,K3=-BTP1。

證明對式(15)求導可得:

(L2L3?BK3)xE(t)-(L2L3?BK3)hE(t)-

(L2?BK1)hE(t)+(L2?I)w(t)+

(L1?(A+BK1))xF(t)+

(21)

當系統式(12)中的領導者形成期望編隊時:

(22)

根據引理1可知:L3L1=0。

因此:

(23)

又因為式(18)成立,所以系統式(21)是漸進穩定的,等價于系統式(24)是漸進穩定的。

(24)

選取Lyapunov函數為:

(25)

令K3=-BTP1,對式(25)沿著系統式(11)求導可得:

(26)

其中,S2=(EM)TQ+QEM。

根據引理4可得:

(27)

選取Lyapunov函數為:

(28)

令K2=-BTP2,對式(28)沿著系統式(24)求導可得:

(29)

4 仿真結果與分析

本文考慮由8架無人機構成的多無人機系統,其中,跟隨者的標號集合為F={1,2,3,4},領導者的標號集合為E={5,6,7,8},在假設1成立的前提下,每架無人機在一維空間動力學系統模型由式(2)描述。無人機在三維空間運動,其初始狀態為:

x1=[1 -1 2 1 3 -4]T

x2=[2 -1 -2 1 3 2]T

x3=[1 -1 2 1 3 -4]T

x4=[2 -1 -2 1 3 2]T

x5=[0 1 -1 2 -3 4]T

x6=[1 1 3 -1 2 0]T

x7=[-1 3 1 -1 2 4]T

x8=[0 1 -3 -1 2 -1]T

領導者的期望編隊隊形為:

hix(t)=[hi1xhi2xhi3x]T,i∈E

其中,hi1x=[hi.zhi1v]T,hi2x=[hi2zhi2v]T,hi3x=[hi1z3hi3v]T分別表示在三維空間中的期望編隊,本文令:

8架無人機系統內部通信拓撲結構如圖1所示。

圖1 多無人機系統拓撲結構Fig.1 Topology of multi-UAV system

從圖1中可得到相應的Laplacian矩陣為:

按照控制器設計步驟設計控制器,通過步驟1)求得:

K1=[-4 0]

選取a=0.9,求解步驟2)中的線性矩陣不等式,可得:

解步驟3)中的線性矩陣不等式,可得:

通過步驟4),可得:

K2=[-0.261 1 -0.752 0]

K3=[-0.090 2 -0.882 5]

多無人機系統在控制器式(7)和式(8)的作用下,領導者將形成時變編隊,跟隨者將在由領導者構成的凸包內移動。假設無人機在三維空間運動相互解耦,那么領導者在三維空間的運動狀態相似,其中一維空間作為領導者的無人機實際位置與期望編隊位置誤差狀態,實際速度與期望編隊速度誤差狀態趨向于一致的過程如圖2和圖3所示。由定義1可知,當領導者位置誤差與速度誤差都達成一致時,領導者形成了期望的時變編隊。

圖2 領導者與期望編隊位置誤差Fig.2 Position error of leader and expected formation

圖3 領導者與期望編隊速度誤差Fig.3 Speed error of leader and expected formation

從圖2和圖3可以看出,領導者的位置與期望位置誤差以及速度與期望速度誤差均在7 s時趨于保持一致,意味著領導者已經形成了期望的時變編隊隊形。

將8架無人機的位置在三維空間坐標中表示,其中,圖4為t=1 s時的無人機空間位置,圖5為t=10 s時的無人機空間位置,圖6為t=15 s時的無人機空間位置。

圖4 1 s時無人機空間位置Fig.4 UAV space position at 1 s

圖5 10 s時無人機空間位置Fig.5 UAV space position at 10 s

圖6 15 s時無人機空間位置Fig.6 UAV space position at 15 s

從圖4可以看出,當t=1 s時,領導者仍未形成期望的編隊隊形,跟隨者也未在領導者構成的凸包內運動,與圖2和圖3中顯示的在t=1 s時,領導者位置誤差與速度誤差均未達成一致相呼應。從圖5和圖6可以看出,多無人機實現了時變編隊包含控制,其中領導者在外圍形成了一個時變的平行四邊形編隊,隨著時間變化,領導者構成一個平行四邊形,但隨著時間變化,平行四邊形也發生變化,這與圖2和圖3顯示領導者的位置誤差與速度誤差均已經達成一致。與此同時,跟隨者則在作為領導者的4架無人機構成的平行四邊形內運動。

為更清晰地驗證多無人機系統在控制器作用下形成的時變編隊包含控制,將t=15 s時無人機在三維空間中的位置的不同視圖在圖7～圖9中展示。其中,從圖7～圖9可以看出,領導者構成了平行四邊形,而跟隨者的運動也未超出領導者構成的凸包。

圖7 15 s時無人機空間位置視圖1Fig.7 UAV space position view1 at 15 s

圖8 15 s時無人機空間位置視圖2Fig.8 UAV space position view2 at 15 s

圖9 15 s時無人機空間位置視圖3Fig.9 UAV space position view3 at 15 s

5 結束語

本文通過對具有多個領導者的多無人機系統時變編隊包含控制問題進行研究,設計一致性分布式控制器。在控制器作用下,無人機系統能夠形成期望的編隊包含控制,通過變量代換和矩陣特殊分解,將編隊包含控制問題簡化為低階系統的漸進穩定性問題,使得各狀態量更具有實際物理意義。但本文研究仍存在一些不足,當拓撲結構發生變化時,按照本文設計的控制器無法實現編隊包含控制,下一步將對該問題進行研究。