“五家共井”問(wèn)題的算法實(shí)現(xiàn)

程璞

摘 要：我國(guó)是最早研究不定方程的國(guó)家之一，最古老的不定方程問(wèn)題是《九章算術(shù)》中的“五家共井”問(wèn)題。本文通過(guò)對(duì)“五家共井”問(wèn)題的算例分析、算法描述及上機(jī)實(shí)踐，將這一古老數(shù)學(xué)問(wèn)題與計(jì)算機(jī)技術(shù)相結(jié)合，讓學(xué)生感受算法學(xué)習(xí)的巨大作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué);不定方程;算法

不定方程是數(shù)學(xué)數(shù)論的一個(gè)分支，它有著悠久的歷史與豐富的內(nèi)容。所謂不定方程是指解的范圍為整數(shù)、正整數(shù)、有理數(shù)或代數(shù)整數(shù)的方程組，其未知數(shù)的個(gè)數(shù)通常多于方程的個(gè)數(shù)。我國(guó)是最早研究不定方程的國(guó)家之一，最古老的不定方程問(wèn)題是《九章算術(shù)》中的“五家共井”問(wèn)題，比古希臘丟番圖方程早300多年，繼《九章算術(shù)》之后的《張丘建算經(jīng)》中對(duì)不定方程的論述體現(xiàn)了很高的水平，書(shū)中的“百雞問(wèn)題”是一個(gè)影響至今的不定方程問(wèn)題，另外，《孫子算經(jīng)》中的“物不知數(shù)”問(wèn)題等都是在這方面的杰出成果，體現(xiàn)了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的偉大成就，是世界數(shù)學(xué)史中的瑰寶！

“物不知數(shù)”與“百雞問(wèn)題”在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（蘇教版）》（必修3）中以例題或習(xí)題的形式出現(xiàn)，下面以《九章算術(shù)》中的“五家共井”問(wèn)題為例談不定方程的算法實(shí)現(xiàn)。

問(wèn)題：“今有五家共井，甲二綆（提水用的井繩）不足如乙一綆，乙三綆不足如丙一綆，丙四綆不足如丁一綆，丁五綆不足如戊一綆，戊六綆不足如甲一綆，各得所不足一綆，皆逮，問(wèn)井深綆長(zhǎng)幾何。”

這道題譯成白話文是：有一口甲、乙、丙、丁、戊五家共用的水井，不知道井有多深?，F(xiàn)在用這五家的提水繩來(lái)測(cè)量井深，若用甲提水繩的2倍測(cè)，還差乙提水繩的長(zhǎng);用乙提水繩的3倍測(cè)，還差丙提水繩的長(zhǎng);用丙提水繩的4倍測(cè)，還差丁提水繩的長(zhǎng);用丁提水繩的5倍測(cè)，還差戊提水繩的長(zhǎng);用戊提水繩的6倍測(cè)，還差甲提水繩的長(zhǎng)。問(wèn)：井深與提水繩長(zhǎng)各是多少？

下面我們從以下幾個(gè)步驟探析改題的算法解決過(guò)程。

1 感悟算理——“算理”是學(xué)生走向“算法”的橋梁

算理顧名思義是實(shí)施計(jì)算方法的原理，只有把握了算理，才能據(jù)此尋求算法。若只告訴學(xué)生怎么算，忽略理解算理的環(huán)節(jié)，如同建造“空中樓閣”，沒(méi)有穩(wěn)固的根基容易使學(xué)生“知其然而不知其所以然”，也就失去了獨(dú)立思考和深層感悟的寶貴機(jī)會(huì)。

這題學(xué)生很自然地想到列方程解決，可設(shè)井深為x，甲、乙、丙、丁、戊的提水繩長(zhǎng)分別為a、b、c、d、e，由五組數(shù)量關(guān)系列五個(gè)方程：

由于未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)，可以取無(wú)數(shù)組解，但常識(shí)告訴我們，井深x一般在50寸到1000寸之間，且a、b、c、d、e均為正整數(shù)，故方程組有有限組解。

據(jù)此產(chǎn)生如下算法：將x看成“已知數(shù)”，用可能的x值（50到1000間的正整數(shù)）——代入試驗(yàn)，若a、b、c、d、e均為正整數(shù)，則這組數(shù)為方程組的解。由于

因此，只需判斷其中一個(gè)未知數(shù)為正整數(shù)，即可確定其它未知數(shù)均為正整數(shù)。這里取a為待檢變量，故需找到x與a之間的關(guān)系，將方程化簡(jiǎn)為265x=721a

2 描述算法——找準(zhǔn)“算理”與“算則”的結(jié)合點(diǎn)

在構(gòu)思了算法之后，必須清楚準(zhǔn)確的將所設(shè)計(jì)的求解步驟記錄下來(lái)，即描述算法，常用的描述算法的方法有自然語(yǔ)言，流程圖，程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言和偽代碼等。自然語(yǔ)言通俗易懂，直接明了;流程圖直觀形象，能體現(xiàn)算法過(guò)程的結(jié)構(gòu)特征，但除了非常簡(jiǎn)單的算法外，這種描述方法使用起來(lái)非常不方便;偽代碼將各個(gè)流程圖的結(jié)構(gòu)用接近程序語(yǔ)言的算法語(yǔ)句表述，是介于自然語(yǔ)言和程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言之間的算法，它采用某一程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言的基本算法，操作指令可以結(jié)合自然語(yǔ)言設(shè)計(jì)。至于算法中自然語(yǔ)言成分的多少，取決于算法的抽象級(jí)別，抽象級(jí)別高的偽代碼自然語(yǔ)言多一些。它極小化了描述算法的不必要的技術(shù)環(huán)節(jié)，是比較合適的描述算法的方法。

3 上機(jī)實(shí)踐——檢驗(yàn)算法的“試金石”

針對(duì)上面的算法過(guò)程，接下來(lái)必不可少的步驟就是上機(jī)檢驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，可及時(shí)修改，指導(dǎo)運(yùn)行處正確結(jié)果。這樣不僅能夠驗(yàn)證程序的正確性，也能提高學(xué)生的實(shí)際操作能力，更深刻地感受算法的特點(diǎn)，體會(huì)算法與計(jì)算機(jī)天然內(nèi)在的聯(lián)系。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中指出：“本模塊中的算法內(nèi)容是將數(shù)學(xué)中的算法與計(jì)算機(jī)技術(shù)建立聯(lián)系，形式化地表示算法，在條件允許的學(xué)校，使其能在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。”算法學(xué)習(xí)可以與計(jì)算機(jī)等信息技術(shù)課程很好的聯(lián)系在一起。同時(shí)，通過(guò)計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)算法，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題還可以讓學(xué)生看到算法的可行性，應(yīng)用性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)算法的積極性。

參考文獻(xiàn)：

[1] 蘇教版高中數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)組.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（必修3）[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2019.