統整經驗：從結構到建構

【摘 要】統整作為課程實踐的一種重要方式，引領著師生不斷經歷課程的再創造、教學的再改革、實踐的再出發。教師可以引導學生從已有經驗出發，通過統整內容與方式加強個體與群體的關聯，不斷豐富學習體驗，持續優化認知結構，完成從外在內容結構的認知到內在認知結構的建構，從而實現經驗的增長與思想的生長。

【關鍵詞】統整;經驗;結構;建構;解決問題的策略（假設）

【中圖分類號】G623.5? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2020）49-0051-05

【作者簡介】王嵐，清華大學附屬中學廣華學校（北京，100124）副校長、小學部校長，正高級教師，江蘇省數學特級教師。

【背景】

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：在呈現作為知識與技能的數學結果的同時，重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程。在數學問題解決過程中，如何基于已有經驗展開過程的體驗，將實際問題抽象為數學問題，透過數學現象聚焦數學本質，從而引導學生從認識內容結構走向建構認知結構呢？

事實上，每個學生都是帶著自我建構的全部經驗走進課堂的。數學課堂需要有效激活學生的已有經驗，鼓勵他們自主創造經驗，引領他們相互分享經驗，從而使他們在原有經驗與新創經驗之間建構起關聯，在直接經驗與間接經驗之間建立起聯結，最終實現個體經驗的升級與群體經驗的升華。這就需要教師基于核心問題串設計專題任務單，引導學生從原有經驗出發，嘗試新創經驗，并積極分享經驗，進而提煉經驗并應用經驗，最終形成經驗的生長鏈與思想的輻射場。筆者以蘇教版六上第68～71頁的內容為載體，以“解決問題的策略（假設）”為研究專題，進行了如下嘗試。

【教學過程及分析】

一、情境再現，引出策略

課件出示烏鴉喝水、曹沖稱象、司馬光砸缸這三幅學生特別熟悉的故事畫面。

師：咱們今天的數學課，用語文的方式開始。你能用最簡短的詞語或句子介紹每一幅圖所描繪的場景嗎？

生：烏鴉喝水;曹沖稱象;司馬光砸缸。

師：這三幅圖中的烏鴉、曹沖和司馬光都遇到了一個具有挑戰性的——問題，他們都通過思考想出了解決問題的辦法——策略，最終把問題——解決了。（板書：解決問題的策略）是啊，解決問題需要策略，運用策略可以更好地解決問題。今天這節數學課，我們繼續研究——解決問題的策略。

本節數學課以看圖說話導入，激發了學生的好奇心與求知欲，引導學生聚焦“解決問題的策略”這一核心話題。

二、自主探究，聚焦策略

1.在研究“倍比關系”的過程中初步感知假設的策略。

師：小明也遇到了一個具有挑戰性的問題。（出示課件，如圖1）

師：面對“小杯和大杯的容量各是多少毫升”這個具有挑戰性的問題，你敢不敢自己嘗試解決一下？

學生紛紛表示愿意接受挑戰。各小組成員先理解題意，獨立思考，在白板上寫下解題過程后，相繼進入討論環節。教師巡視課堂，指導學生將部分作品貼在黑板上。

大杯和小杯的容量都需要學生求出，看似有一定的難度，但如果我們將視線放到學生的整個數學學習歷程，就會發現學生已經有過解決此類問題的經驗。蘇教版五下第13頁就已經出現過“和倍問題”類型的實際問題，只不過當時是用方程進行解答的。而將挑戰的權利還給學生，面對這一新的問題情境，學生就有可能調動自己的學習經驗，跨越原有“用方程解答”的思維定勢，在多樣的思路與不同的表達中深度聚焦數學的本質與方法的本源。

師：各個小組都展示了他們組的不同作品。黑板上的11份作品都完全不同嗎？仔細觀察，這些作品中有哪些在思路上是一脈相承的，可以分為一類？

請四位學生上黑板對11種解題方法進行分類，其他學生幫助補充與調整。

師：在大家的齊心協力下，我們把這11份作品分成了三類。提出第一類方法的同學緊緊抓住數量之間的關系，運用方程來解決實際問題。能否派一個代表來和大家分享一下你們是怎么想的？

生1：我個人認為當兩個條件都不知道時可以列方程來解答，首先題目給我們的條件是大杯的容量是小杯的3倍，我們可以把小杯的容量設為x毫升，那大杯的容量就是3x毫升，之后我們列方程3x+6x=360，再通過解這個方程得到x=40，再根據題意，40×3=120，得出小杯的容量是40毫升，大杯的容量是120毫升。

師：思路特別清晰，表達也很簡潔，大家理解了嗎？

生：理解了！

師：我們再來聚焦另外兩類沒有用方程來解題的同學，他們都不約而同借助了一些工具，如示意圖和線段圖。看懂需要智慧，分享需要勇氣。誰愿意和大家聊聊其中一類解題思路？

生2：我們其實都用了畫圖的策略。不同的是，有的同學用簡筆畫來表示，有的同學用線段圖來表示。其實我們表達的意思是一樣的，大杯的容量是小杯的3倍，我們可以把1個大杯看成3個小杯。

師：我特別喜歡“看成”這個詞，就是把1個大杯假設成3個小杯，請繼續。

生2：然后把假設成的3個小杯和題目中原有的6個小杯加在一起，一共就是9個小杯，它們的總量是360毫升，用360÷9=40（毫升），就求出每個小杯的容量，再用小杯的容量乘3就算出大杯的容量。你們聽懂了嗎？

其他學生紛紛點頭，表示聽懂了。

師：聽明白的同學可以來總結一下這類方法。

生3：這類方法其實就是把1個大杯假設成3個小杯，這樣就把大、小杯的問題變成小杯的問題了。

師：假設全是小杯，讓問題迎刃而解，是個好辦法！還有一類，哪位代表來分享？

生4：我們是這樣想的，3個小杯的容量等于1個大杯的容量，一共有6個小杯和1個大杯，就相當于一共有3個大杯，一共倒了360毫升果汁，就要除以3，得到每個大杯的容量是120毫升。又因為3個小杯的容量等于1個大杯的容量，因而小杯的容量就是120÷3=40（毫升）。你們聽懂了嗎？有什么問題要問我嗎？

生5：這個3是什么意思？我不知道3是從哪里來的。（其他學生紛紛點頭）

生4：3是每3個小杯等于1個大杯，6里面有2個3，因而6個小杯就等于2個大杯，再加上原來的1個大杯，就是3個大杯。還有其他問題嗎？

生：沒有了。

師：有沒有人跟他的思路一樣？

兩位學生舉起了手，教師把這兩位學生的解法也作了展示。

師：他們的解法有什么相同點呢？

生5：都是把小杯全部假設成了大杯。

師：接下來請同學們看黑板，我們把這些解法分成了三類，第一類是方程，第二類是把大杯假設成小杯，第三類是把小杯假設成大杯。仔細思考，還有可以合并的類別嗎？

生6：方程也是把大杯假設為小杯。

師：說得好！那現在我們再次調整，第一類是把大杯假設成小杯，第二類是把小杯假設成大杯。看上去分成了兩類，這兩類有什么相同點嗎？

生7：它們都是把兩個不同的類型轉化成一個相同的類型。

師：是呀，大杯的容量我們不知道，小杯的容量也不知道。我們把兩個未知量假設成了一個未知量。（板書：假設）假設，是一種解決問題的策略。

本環節，通過小組交流推選出小組中具有代表性的作品，并引導學生進行經驗分享。有的學生用了方程解法，有的學生用了算術解法。有相同的思路，內心就會受到鼓舞;有不同的想法，思維就會受到啟發。進而通過分類比較，聚焦解法差異。在觀察、比較、分類中，學生對假設策略的認知也越來越深入。小組內的不同想法，大組間的不同表達，都是教學的最好資源。而學習，就在分享與交流中，在相同與不同中，悄然發生;經驗，也在獨創與共創中不斷進化，在對比與交流中不斷升級。在這樣的過程中，學生個體的經驗、小組內的經驗與班級內的經驗從相互分離到彼此融合，形成了從單一經驗到多種經驗的物理疊加，最終實現了從單維經驗到多維經驗的化學提煉。

2.在聚焦兩個量關系的過程中逐步深化假設的策略。

師：同學們，剛才的這些算法都是把兩個未知量假設成一個未知量。是不是所有情況下的兩個未知量都可以假設成一個未知量呢？

生1：這兩個未知量必須要有一定的關系。

師：這道題的兩個量有什么關系呢？

生：倍比關系。

師：這樣的倍比關系只能用題目中的這句話來表述嗎？還可以怎樣表述？

生2：小杯的容量是大杯的三分之一。

生3：1個大杯的容量等于3個小杯的容量。

生4：小杯的容量和大杯的容量比是1∶3。

師：當然，倍比關系還有其他的表述方法。表述不同，它們之間的關系變了嗎？

生：沒有，還是倍比關系。

3.在研究“相差關系”的過程中優化假設的策略。

師：題目中的40和120這兩個量，除了可以用倍比關系來表達，還可以用什么關系來表達？

生5：大杯比小杯多80毫升。

生6：小杯比大杯少80毫升。

師：如果是相差關系的話，可以這樣表述。（出示課件，如圖2）你還能解決嗎？

學生解題，教師巡視，學生小組討論后將具有代表性的解法在黑板上展示，并讓學生進行分類。

師：我們請提出第一類方法的代表來進行分享。

生1：我們是這樣思考的，大杯和小杯的容量加起來是360毫升，有6個小杯和1個大杯，那我們可以用360-80，就等于把大杯里面多出來的80毫升從總容量里減去了，那個大杯就假設成了小杯，就相當于有7個小杯，280÷7=40，得出每個小杯有40毫升，再根據題意加上80毫升，每個大杯就等于120毫升。大家有什么問題嗎？

生2：為什么要除以7？7是從哪里來的？

生1：本來有6個小杯，從1個大杯里減去80毫升就可以把它假設成1個小杯，總共就有7個小杯了。

生3：為什么要把大杯假設成小杯？

生1：因為題目中有兩個未知量，不好求，所以要把其中一個未知量假設成另一個未知量。

師：把小杯假設成大杯的同學又是怎么想的呢？

生4：請同學們聽我說，因為題目中說大杯的容量比小杯多80毫升，這里面有6個小杯，每個小杯比大杯少80毫升，題目可以假設成6個大杯但少480毫升，用360+480=840，在360里面把差的480毫升補上，現在就有7個大杯共有840毫升，那么每個大杯就有120毫升，再根據題意，就能求出每個小杯的容量是40毫升，同學們聽懂了嗎？還有什么問題嗎？

生5：為什么要用360加上6個80？

生4：因為題目中有兩個量不好求，所以要轉化成一個未知量。

生6：7是從哪里來的？

生4：我們這里是把6個小杯假設成6個大杯，再加上題目中原本的1個大杯，所以現在題目中有7個大杯。

師：我也有一個問題，可以全部假設成小杯，也可以全部假設成大杯。可是，假設成小杯的同學有好多，而假設成大杯的同學很少。為什么大多數同學都選擇假設成小杯呢？

生7：假設成小杯只要去掉1個80，假設成大杯卻要增加6個80，當然是去掉1個80更好算了。

師：同學們不僅找到了各種解題思路，還能進行觀察與比較、選擇與優化，真會思考！

教材例1是倍比關系，例2是相差關系，教學參考用書建議用兩課時完成這部分內容。從兩個例題的關系來看，也是層層遞進的。例1假設前后總量不變但份數在變，例2假設前后總量在變但份數不變。對學生而言，例1有相關經驗與基礎，而例2與之相比可借鑒的經驗較少。本節課以關系為切入點，通過變化兩個例題中數量關系的表達方式將兩課時的內容整合為一個課時，從結構化的角度給學生提供了很好的思維支架。兩者不同的是數量關系的表達方式，相同的則是都要將有關系的兩個未知量假設成同一個未知量。

統整內容，從高位聚焦結構的一致性;統整經驗，從實處彰顯建構的同源性。同樣的分類，同樣的提問，從第一次有困難到第二次漸入佳境，可以感受到學生對于經驗的分享從任務驅動逐步走向興趣驅動。在不斷推進和追問的過程中，學生對假設策略的認識也不斷走向深入。而教師的提問“為什么大多數同學都選擇假設成小杯呢？”，則似在平靜的湖面投擲了一顆石子，在學生思維過程中引發了陣陣漣漪，使學生對經驗的對比分析和策略的優化選擇水到渠成。

三、總結全課，反思提升

師：在以前的學習中，你用假設的策略來解決過問題嗎？

生1：我覺得列方程解決實際問題其實也是在運用假設的策略。

生2：解決“雞兔同籠”問題的時候，可以假設雞也有四條腿，或者假設兔子收起兩條腿。

師：這位同學很形象地表達了假設全部是兔和假設全部是雞的兩種思路。

生3：我們在計算除法時，常常把32看作30來試商。

生4：我還想到小時候遇到的天平上水果的重量問題也可以用假設的策略來求解。

師：是呀，回顧我們的學習過程，假設的策略原來早就在我們的經驗庫里了。而我們今天的自主嘗試、小組分享、全班交流就是升級自己經驗庫的很好路徑。讓我們帶著每個人的獨特發現和共同收獲走進更為廣闊的數學世界！

學習往往不止于課本知識，課堂也往往不限于四十分鐘。本節課以蘇教版六年級教材為素材，引導學生在記憶中尋找、再認與強化，將過程體驗與學習經驗集群化;以內容的整合為載體，以方式的整合為路徑，以經驗的整合為核心，不斷觸發學生個體經驗發展的生長點，不斷關注學生群體經驗升華的銜接點，不斷聚焦學生自主建構的關鍵點。

基于內容的關系結構，聚焦方法的系統結構，并在此基礎上重組、遷移、拓展結構，從關注知識結構走向關注方法結構、關注經驗結構，甚或更進一步地幫助學生完善思維結構，這本身就是一種教學的意義建構。統整經驗，需要從結構到建構，讓學生在共享知識、共享方法、共享經驗、共享成就的過程中最終走向共享“數學地成長”。