一道模考壓軸題引發的探究

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學 830002)

一、題目呈現

二、分析解答

分析本題從表象看考查解斜三角形，一般綜合需要應用正弦定理、余弦定理、面積公式、三角公式等知識作答.但是從考試統計數據發現此題得分率很低，僅0.12，是什么原因造成的呢？深入研究才發現，解答本題不能走套路，它必須以平面向量為背景的中線性質為突破口，否則解答難以推進.沒有角B的對邊AC的數據，正、余弦定理無法派上用場.

評注本題在曾經的解斜三角形的高考題、模考題基礎上進行了創新，巧妙地將平面向量融入題中，體現了平面向量的工具性.本題將正、余弦定理進行了靈活考查，具有很好的復習教學價值，深入探究可以鞏固解斜三角形的方方面面知識，總結提升解題方法，形成解題技能，達到觸類旁通的效果，避免題海戰術給復習帶來的繁重負擔.

三、變式探究

解斜三角形作為每年高考必考的內容，非常重要，往往依托于三角形及其內部的一些邊角關系，就三角函數、正弦定理、余弦定理、射影定理、面積、周長、相關圓的半徑等進行考查，往往有一定的區分度，變式研究非常必要.

評注本題與原題而言，本質是一樣的，但是中線的向量性質應用更具有隱蔽性.學生思維受阻的可能性增加，必須等價轉化為原題.

評注求面積有較強的提示性，將問題等價轉化為求邊BC.培養學生解題的目標意識，以及公式的合理選擇.

評注求三角形內切圓半徑須用到等積法，自然要尋找三邊之長，同樣能實現考查意圖，主干知識得到檢測.

評注求三角形外接圓半徑與原題的難度相當，僅需再向前一步，應用正弦定理中的比值常數作答.

解在△ABD中,

(為節省篇幅，以下變式不再作答)

評注以上八種變式，借助三角形的角平分線或高線，復習了三角函數的定義式、正弦定理、余弦定理、同角三角函數的基本關系、和差角公式、誘導公式、面積公式.考查的知識點沒有變，但是問題顯得新穎，能培養學生的創新意識，提高實戰中的應變能力.

四、教學反思

1.梳理三角形中的一些重要向量關系

本題深刻反映了平面向量的工具性.平面向量能將代數和幾何聯系起來，通過向量運算還能反應幾何位置關系，如：平行、垂直、中點等.關鍵問題是學生不明白三角形中平面向量關系式的幾何含義，反之也不完全清楚如何用平面向量表達三角形中一些特殊位置關系.正如此題，學生不知道如何應用條件“中線AD”.鑒于此，我們有必要梳理一下三角形中的重要的知識.

2.深刻認識一題多變

一題多變重點在于對某個問題進行多層次、多角度、多方位的探索.一題多變對培養學生發散思維有極大地幫助,是培養學生創新思維的重要手段.當然，恰當與否的一題多變，在教學中當然起著不同的作用.

設計一題多變首先應該體現數學的遞進性.對教材的題目進行了大膽的組合和拓廣，由易到難，由數字到字母，由具體到抽象，這恰恰是學生應掌握的重點和難點.一題多變不僅鍛煉了學生用類比的方法去思考和學習，而且促進學生對解決問題的思路理解得更為透徹.每一變都應體現層層遞進，步步深入，環環相扣的密切聯系.

數學中的一題多變設計還應體現知識的一定規律和一定的關聯，便于學生解題時思維的連貫.用題目的相近性、相關性培養學生的觀察能力，了解數學從簡單到復雜，從一般到特殊的探索規律.再用不同的思路去分析，不僅使得學生對思考的問題由淺入深，而且極大的鍛煉學生類推能力和梳理思路歸納的能力.設計時還應該注意盡可能不多給信息，不要讓學生感覺到題目在堆砌拼湊.多用簡單明了的符號或者圖形，讓學生可以從不同的角度去審題，找到自己認為有用的信息來解決問題.設計時還有很重要的一點，就是應該能夠體現命題的前瞻性.

落實“一題多變”，可以對題目的“條件”“結論”“條件與結論”之間的關系進行聯想、類比、推廣，進而得到一系列新的題目，甚至得到一般性的結論.在這個過程中，學生會逐步把握題目的本質.這樣可以起到“做好一題，帶活一片”的效果.