例說向量坐標運算在解題中的應用

田素偉

(上海市泥城中學 200000)

向量知識是中學數(shù)學中的重要知識，與三角、代數(shù)、幾何有密切的聯(lián)系.向量是融數(shù)與形于一體的知識，既具有幾何形式又具有代數(shù)形式，是中學數(shù)學知識中多種知識的交匯點，成為聯(lián)系眾多數(shù)學知識點的橋梁.在近幾年高考數(shù)學題中以向量為載體的題目越來越多，向量的坐標運算很好地體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想方法.如果在向量的題目中能恰當?shù)乩孟蛄康淖鴺诉\算來解決向量的問題會起到簡化運算的效果，有的題目會起到令人拍案驚奇之感.利用向量的知識培養(yǎng)學生的思維能力，這樣可以加強學生對數(shù)學思想方法的理解，還可以培養(yǎng)學生的思維能力.下面以具體的題目來看一下向量的坐標運算在向量問題中的應用.

解法1設∠AOC=α.

如果我們用上面的解法可以解答這道題，但是，有的學生可能想不到把已知的條件等式兩邊取數(shù)量積，(本題還有其他解法)或者無從下手去解答，能不能用轉化為坐標運算來解決呢？(設置問題情境讓學生認識到各個知識之間的聯(lián)系，體會客觀世界中事物與事物之間普遍聯(lián)系的辯證唯物觀主義觀點)如果適當?shù)亟⑵矫嬷苯亲鴺讼担严蛄康膯栴}轉化為向量的坐標運算，實現(xiàn)問題的轉化與變通，把向量的幾何特征轉化為代數(shù)形式，給解答問題帶來新的思路.這樣可以激發(fā)學生的學習興趣，提高學習效率，在知識的遷移中進行創(chuàng)造性的學習，達到傳授知識與培養(yǎng)學生能力融為一體的目的.下面我們用向量的坐標運算來解答本題.

解法2 以O為原點，OA所在直線為x軸，建立平面直角坐標系.

設∠AOC=θ，

A(1,0),C(cosθ,sinθ),B(cos120°,sin120°)，

讓學生熟練應用建立平面直角坐標系，體會向量坐標運算的優(yōu)勢：思路明確，過程簡捷.這樣可以激發(fā)學生的學習興趣，提高學習效率，在知識的遷移中進行創(chuàng)造性的學習，達到傳授知識與培養(yǎng)學生能力融為一體的目的.

利用向量的坐標運算解決向量問題的優(yōu)勢在于將向量的幾何特征轉化為代數(shù)特征，運算過程也隨之變得簡單化、程序化，從而減少思維難度，起到事半功倍的效果.這樣，把代數(shù)、幾何、三角知識融為一體，深化了基礎知識和 基本技能，激化了學生的思維.

A.7 B.5 C.3 D.1

如果用這種方法來解上海高考題是不是可以呢？以此來激發(fā)學生的學習興趣，提高學習效率，在知識的遷移中進行創(chuàng)造性的學習，達到傳授知識與培養(yǎng)學生能力融為一體的目的.

讓學生經歷主動觀察、大膽猜想、積極驗證，順利得出向量的坐標，突出重點.同時培養(yǎng)學生的觀察能力、推理能力、邏輯思維能力. 通過建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担紫仍O出點的坐標，得出向量的坐標，再轉化為向量的坐標運算.這樣把向量的運算轉化為一種程序化的運算.用建立平面直角坐標系，轉化為向量坐標運算的優(yōu)勢是思路明確，過程簡單，思考的難度小.幫助學生把所學知識納入知識體系，形成良好的認知結構，有益于學生對知識的鞏固、理解和掌握.

借助數(shù)學圖形解決問題，提高學生用數(shù)形結合的思想方法解決問題的能力,本題也是把向量問題利用向量的坐標運算轉化為代數(shù)運算，再解方程即可求解.

解析以A為原點(A與坐標原點O重合)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，設∠DAB=θ，A(0,0),B(8,0),D(5cosθ,5sinθ),P(2+5cosθ,5sinθ)，

評析建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担贸鱿蛄康淖鴺?轉化為向量的坐標運算.使學生理解平面向量的坐標概念,明確求向量坐標的思路.

本題考察向量的數(shù)量積及其運算，利用向量的坐標運算解決向量問題，將向量的幾何特征轉化為代數(shù)特征，把向量的數(shù)量積及其運算問題轉化為代數(shù)問題，再利用三角函數(shù)的性質解決.建立平面直角坐標系，運算過程也隨之變?yōu)榇鷶?shù)化、程序化，從而降低思維難度.把復雜的問題簡單化，起到事半功倍的效果.

向量是融數(shù)、形于一體的知識，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，是中學數(shù)學知識的一個重要交匯點，成為聯(lián)系眾多知識點的媒介.向量的坐標運算很好地體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想方法.以向量為載體的題目越來越多地出現(xiàn)在高考題中.