一類分數(shù)階微分方程的數(shù)值解法

羅 芳，王振芳

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，山西大同 037009)

在過去的幾十年里，分數(shù)階微積分有了顯著的發(fā)展，這可以從許多專門的數(shù)學(xué)文獻中看出。相應(yīng)地，分數(shù)階微分方程廣泛地應(yīng)用到科學(xué)和工程等領(lǐng)域，許多學(xué)者研究了分數(shù)階微分方程解的存在與唯一性[1-3]。而大多數(shù)分數(shù)階微分方程無法求得精確解析解，因而必須使用數(shù)值的方法。

針對區(qū)間(0,L)上的非線性分數(shù)階初值問題，提出了移位Chebyshev 配置法。非線性微分方程在N個Chebyshev 點上進行配置，得到N個方程，連同n個初始條件一起得到具有(N+n)個方程的非線性代數(shù)方程組。然后利用適當?shù)姆椒ㄇ蠼狻?/p>

1 介紹

1.1 分數(shù)階微積分

定義1σ階Riemann-Liouville分數(shù)積分定義為

算符Jσ具有性質(zhì)：

定義2σ階Caputo分數(shù)導(dǎo)數(shù)定義為

其中m-1 ＜σ≤m,m∈N[4-5]。

Caputo導(dǎo)數(shù)具有線性性，即

其中上限函數(shù)「σ」 表示大于或等于σ的最小整數(shù)，N0={0,1,2,…}[3]。

1.2 Chebyshev多項式

所謂標準Chebyshev 多項式是當區(qū)間為[-1,1]，權(quán)函數(shù)為時，由序列{1,t,…,tn,…}正交化得到的多項式，并且滿足遞推關(guān)系：

及正交性

對于[-1,1] 上的任意連續(xù)函數(shù)u(t)，均可按Ti(t),i=0,1,2,…,表示為：

1.3 移位Chebyshev多項式的性質(zhì)

當區(qū)間為x∈[0,L]時，將(7)中的t利用代替，則可得所謂移位Chebyshev 多項式TL,i(x)=相應(yīng)地TL,i(x)的遞歸關(guān)系為:

其中TL,0(x)=1 且TL,1(x)=-1。而i次的移位Chebyshev多項式TL,i(x)由下式給出

其中TL,i(0)=(-1)i且TL,i(L)=1。

其正交性為

任何在[0,L]上平方可積可積函數(shù)u(x)，均可用移位的Chebyshev多項式表示為

其中，系數(shù)ai為

實際中常常只用到前N+1項。即

現(xiàn)在來處理移位的Chebyshev-Gauss 插值。用0 ≤j≤N表示區(qū)間(-1,1) 上標準Chebyshev-Gauss點，且

顯然，xL,N,j,0 ≤j≤N是TL,N+1(x)的零點。

設(shè)PN(0,L)是次數(shù)不超過N的所有多項式的集合。標準Chebyshev-Gauss 公式意味著，對于任何φ∈P2N+1(0,L),有

1.4 移位Chebyshev多項式的分數(shù)階導(dǎo)數(shù)

定理1設(shè)TL,i(x)是移位的Chebyshev多項式，則

證明利用關(guān)系式(5)、(6)，可以證明這個定理[2,4]。

定理2Chebyshev 多項式Caputo 意義上ν階的分數(shù)導(dǎo)數(shù)由下式給出

證明利用關(guān)系式(5)、(6)、(12)，可以證明這個定理，詳見文獻[2,4]。

2 分數(shù)階初值問題的數(shù)值方法

考慮如下非線性分數(shù)階微分方程

滿足初始條件

其中，

的數(shù)值解法。其中dk,k=1,…,n的值描述u(x)的初始狀態(tài)，f(x,u)是定義在平面(x,u)的區(qū)域D上函數(shù)，且區(qū)域R(h,K)為滿足不等式：

的點(x,u)∈D的集合，其中h和K為常數(shù)。

定理3設(shè)f(x,u(x))為定義在區(qū)域D上的實連續(xù)函數(shù)，在D上關(guān)于u滿足Lipschitz條件，即

這樣，對任意(x,u)∈D,|f(x,u) |≤M＜∞，且令

則在區(qū)域R(h,K)中存在問題(19)、(20)的唯一的連續(xù)的解u(x)。

證明詳見文獻[1]。

為了使用移位的Chebyshev 配置法來求解方程(19)、(20)。令

然后，利用公式(18)可以由展開系數(shù)aj明確地表示導(dǎo)數(shù)k=1,…,n,移位Chebyshev 配置法求方程(19)、(20)近似解的標準是找到uN(x)∈SN(0,L)，使得

在配置點xL,N,k,k=0,1,…,N-1 處是準確的。換句話說，我們必須在N個移位Chebyshev 多項式的根xL,N,k處配置方程(19)、(20)，立即有

且初始條件寫成

這構(gòu)成了一個關(guān)于N+1個展開系數(shù)aj(j=0,1,…,N)的含有N+n個方程的超定非線性代數(shù)方程組，可以用任何數(shù)值方法(如最小二乘法)求解。

3 結(jié)論

根據(jù)移位的Chebyshev 多項式特點，給出了移位Chebyshev 多項式分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的顯式表達式。此外，利用Chebyshev-Gauss 多項式近似給出了一類分數(shù)階微分方程的數(shù)值解法。相應(yīng)的也可以應(yīng)用勒讓德多項式或其它正交多項式。