除數或分母為零時的概述之商榷

常秀芳

（山西大同大學數學與統計學院，山西大同 037007）

清晰、準確、無誤的數學概念不僅有助于理解問題時不會發生歧異，而且還體現在數學推理中具有嚴密的邏輯性、條理性、精確性和簡潔性，更會促使問題解決時善于創新[1-3]。

1 除法的定義

定義1已知兩個數a、b，如果存在一個數q，使得q與b的乘積等于a，即bq=a，那么這種運算叫做除法。記作

a÷b=q,

讀作“a除以b(或b除a)等于q”，數a叫做被除數，數b叫做除數，數q叫做數a與b的商，符號“÷”叫做除號[2]。

2 除法運算的封閉性

從定義即可知道，如果bq=a，則a÷b=q，那么在這種運算關系中，很明確地說明了除法是乘法的逆運算，也就是已知積與一個因數求另一個因數的運算。

2.1 商的存在性

當除數不為零時，商是唯一存在的。

特別地，當除數為零時，因為除數為零，即b=0 時，那么

①當被除數a≠0 時，由于任何數乘以0 都不可能等于數a，所以a÷0 的商是不存在的；

②當被除數a=0 時，因為任何數乘以0都等于0，所以a÷b的商是不確定的，可以為任何的數。

2.2 商的唯一性

數的四則運算，每一個學生都能夠掌握，而在沒有學習負數時，我們知道，中小學在減法運算中規定被減數不小于減數。這樣，加法、減法與乘法運算是封閉，和、差(如果存在)與積都是唯一的。但在除法中為了排除商(如果存在)不是唯一或不存在的情況，于是也需規定在除法中，除數不能是零即可。

在整數范圍內，除法運算不封閉，其也不總是可以施行。例如，就不存在一個與2 相乘等于7 的整數，這說明整數集對于除法運算是不封閉的。但是，如果兩個數有整數的商存在，那么這個商一定是唯一的。

定理1在除法運算中，若有整商存在，那么商唯一。即若a÷b=q，則商q是唯一的。

證明假設a÷b的商不唯一，有兩個不同的商q和q′，即q≠q′，

由除法的定義知

bq′=a，bq=a，

因此0=a-a=bq-bq′=b(q-q′)，

而b≠0，故q-q′=0 即q=q′，這與假設產生了矛盾。所以a÷b的商不能有兩個不同的商，于是a÷b的商是唯一的。

3 分數與除法聯系

3.1 分數的定義

定義2形如的數叫做分數，其中n是大于1的自然數，叫做分母；m是大于1的自然數，叫做分子；中間的橫線叫做分數線[2]。

3.2 分數與除法的關系

分子相當于被除數，分母相當于除數，分數線相當于除號，分數值相當于商。在除法中，除數不能為零，在分數里分母也不能為零。

分數與除法是有區別的，分數是一個數，除法是一種運算。

4 除數或分母為零是有意義的

在空間解析幾何中，方程

若有一個為0，不妨m=0，而n、p≠0時，方程為

則該直線是平行于坐標平面oyz。

若有兩個為0，不妨m=0，n=0，而p≠0時，方程為

則該直線是平行于坐標軸z軸。

此時分母為零，應用了除法概念中除數為0，被除數也為0，商存在的特性，從而分數值存在。

綜上可知，分母為零并不是沒有意義。

5 除數或分母為零概述的商榷

在中小學，除法中，當除數為零時，或在分數中遇到分母為零時，它和減法中被減數要不小于減數一樣，便于中小學生的認知，應該給學生灌輸的是我們暫時不考慮這種情況，也可以說現在我們規定的除數或分母不為零，我相信學生一定能夠接受的。

然而，學生在中小學階段的一些教材教參中，甚至絕大部分教師都認為除法或分數中除數與分母為0是沒有意義的。這樣使學生經過十幾年來定勢的影響，到后續的學習造成很大的干擾。本人認為商不唯一或不存在，貿然直接來個沒意義，這是極其荒誕的，對科學是極其不負責任的、不嚴謹的，必須予以修正。