讓直線和平面動起來
——迅速解決平行問題

江蘇省江陰市第二中學 劉桂饒

《普通高中數(shù)學課程標準（2017 年版）》指出：直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用圖形理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng)，是高中數(shù)學課程的六大核心素養(yǎng)之一。在立體幾何的教學中，我們應該運用直觀感知、操作確認、推理論證等方法認識和探索空間圖形的性質(zhì)，建立空間觀念。

直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行（以下簡稱線面平行的判定）。用符號表示為：若a α，b α，a ∥b，則a ∥α。利用線面平行的判定定理判定線面平行時，在面α 內(nèi)尋找與a 平行的直線b 是難點。

由兩個平面平行定義得：如果兩個平面平行，那么一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面（以下簡稱面面平行的性質(zhì)）。用符號表示為：若α ∥β，a α，則a ∥β。利用面面平行的性質(zhì)判定線面平行時，找過直線a 且與平面β 平行的平面是難點。

如何突破這些難點，迅速解決相關問題？請看下列幾個案例：

【案例1】如圖1，在四棱錐P-ABCD 中，M，N 分別是AB，PC 的中點，若ABCD 是平行四邊形，求證：MN ∥平面PAD。（江蘇出版社《普通高中課程標準實驗教科書》必修2，第38 頁）

分析方法1：

（1）利用線面平行的判定定理證明MN ∥平面PAD，就是在平面PAD 內(nèi)找到一條直線a 與MN 平行。

（2）猜想直線PA、PD、AD 與MN 平行？但它們與MN 都異面。

（3）平面PAD 內(nèi)哪條直線與MN 平行？

（4）如圖2，嘗試用三角尺平移MN 到面PAD 內(nèi)：點M 到點A；點N 到PD 上，設為E（直觀感知E 為線段PD 的中點）。

（5）由此本題可以取PD 的中點E，通過證明AE ∥MN，從而證明MN ∥平面PAD（證明略）。

分析方法2：

（1）利用面面平行的性質(zhì)證明MN ∥平面PAD，就是要找到過直線MN 且與平面PAD 平行的平面。

（2）過直線MN 且與平面PAD 平行的平面是哪個平面？

（3）嘗試平移平面PAD 到過直線MN。我們可以通過平移直線來實現(xiàn)。

（4）如圖3，平移直線AD 到過點M，交CD 于F（直觀感知F 即為線段PD 的中點）。相交直線MN、MF 所確定的平面NMF 即為所找平面。

（5）由此本題可以取CD 的中點F，通過證明平面NMF ∥平面PAD，從而證明MN ∥平面PAD（證明略）。

【案例2】如圖4，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD ⊥DC，AB ∥DC。

（1）求證：D1C ⊥AC1；

（2）試在棱DC 上確定一點E，使D1E ∥平面A1BD，并說明理由。（2008 年江蘇省高考考試說明，典型題示例第51 頁）

分析：

（1）利用線面平行的判定定理解本題時，發(fā)現(xiàn)無法平移D1E 到平面A1BD 內(nèi)，因為D1E 不確定，點E 未知。如何解決？

（2）逆向思維，平面A1BD 內(nèi)哪條直線與D1E 平行？A1D？A1B？BD？分別平移A1D，A1B，BD 到過點D1（D1E 雖不確定，但其中點D1是已知的）。

（3）如圖5，平移A1D 到過點D1時，與DC 不相交；如圖6，平移BD 到過點D1時，與DC 也不相交；如圖7，平移A1B 到過點D1時，與DC 相交，其交點設為E。

（4）由作法知：A1D1∥AD，A1D1∥平面ABCD，所以A1D1平行于平面ABCD 與平面A1D1EB 的交線BE，從而四邊形ABED 為平行四邊形，所以E 為棱DC 中點，所以當點E 為棱DC 中點時，D1E ∥平面A1BD。

（5）由此本題可以取棱DC 的中點E，通過證明D1E ∥A1B，從而證明MN ∥平面PAD（證明略）。

【案例3】如圖8，已知有公共邊AB的兩個全等矩形ABCD 和ABEF 不在同一平面內(nèi)，P，Q 分別是對角線AE，BD 上的動點，當滿足什么條件時，PQ ∥平面CBE？（江蘇出版社《普通高中課程標準實驗教科書》必修2，第38 頁）

分析方法1：

（1）利用線面平行的判定定理來確定P，Q 兩點。

（2）顯然，EB、BC 與PQ 不平行，CE 呢？（EB、BC 均與PQ異面，三條直線中只可能是CE）

（3）如圖9，沿線段EA 平移CE（AE與CE 有交點），與EA、BD 分別相交于P、Q。

（4）由作法知，A，Q，C 是平面EAC 和平面ABCD 的公共點，所以A，Q，C 三點共線。Q 為AC，BD 的交點，為BD 的中點，此時P 是AE 的中點。所以當P、Q 分別是AE，BD的中點時，PQ ∥平面CBE。（證明略）

分析方法2：

（1）利用面面平行的性質(zhì)來確定P，Q 兩點：平移平面CBE。

回顧與反思：

方法1 和方法2 中結論不同，方法1 的結論僅是方法2 中的一種特殊情況。那么方法1 是不是只找到了一種特殊情況而漏掉了一般情況？讓我們回到方法1 中接著分析：

（5）CE 是面CBE 內(nèi)很特殊的與PQ 平行的直線，面CBE 內(nèi)會不會還有其余直線與PQ 平行呢？是怎樣的直線？

（6）讓我們平移PQ 到平面CBE 內(nèi)看看：點P 到點E；點Q 到直線BC 上（不一定是點C）。

（7）如圖11，取線段BC 除端點外任意一點M，連接EM。沿線段AE 平移EM（AE 與EM 有交點），分別與AE、BD 相交于點P、Q。

（9）如圖12，M 為線段BC 延長線上任意一點，連接EM。沿線段AE 平移EM，分別與AE、BD 相交于點P、Q。同樣，當點P、Q 滿足EP=BQ 時，PQ ∥平面CBE。

（10）如圖13，當M 為線段BC 反向延長線上任意一點時，連接EM，沿線段AE 平移EM，發(fā)現(xiàn)EM 與BD 不相交（此時線段EA、線段EM，均在線段BD 同側，沿線段AE 平移線段EM 時，是遠離線段BD 而去，故與線段BD 不相交）。

綜合以上分析，方法1 可以得到與方法2 同樣的結論：當P，Q 滿足EP=BQ 時，PQ ∥平面CBE。（證明略）

在進行復雜邏輯推理或者數(shù)學運算時，我們可以運用直觀想象來探尋邏輯推理或者數(shù)學運算的方向，把復雜問題簡單化。這樣的課堂能充分發(fā)揮學生的主觀能動性，讓學生積極參與其中，動手操作，從實踐中猜想數(shù)學規(guī)律，進而檢驗猜想的真假，既活躍了數(shù)學課堂的氣氛，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，又讓學生體驗到了數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展了他們的創(chuàng)新意識，形成了數(shù)學直觀。