考慮限制最大收益率因素和死亡因素的權(quán)益指數(shù)年金定價

趙彩霞 安順學(xué)院

一、市場模型

其中W為Rn上的一個布朗運(yùn)動，Zt是一個純過程，其概率分布為υ，跳躍強(qiáng)度為λ(Xt)這里μ(Xt)，σ(Xt)，λ(Xt)滿足如下仿射形式：

仿射跳擴(kuò)散過程X有其特征為χ=(K,H,l,θ,ρ)隨機(jī)利率可表示為隨機(jī)過程X=(Y,V)'的仿射形式，即R(X)=ρ0+ρ1Vt，ρ1=(ρ11，ρ12)。令ρ11=0，則利率模型為:

二、隨機(jī)死亡率條件下的權(quán)益指數(shù)年金的定價

本文根據(jù)Luka Jalen，死亡率與年齡x和時間t有關(guān)，用μ(x,t)表示死亡率，并假設(shè)死亡率μ(x,t)為隨機(jī)的。在死亡率只與年齡有關(guān)的情況下，可以用生存函數(shù)S(x,t)來表示年齡為x的年金持有者，在時刻t后還活著的概率。生存函數(shù)S(x,t)的表達(dá)式為：

本文采用E[S(x,t)]來表示表示投保人到t時刻后還未死亡。同時用τ(x)表示一位年齡為x的人，生命隨機(jī)剩余時間。則E[S(x,t)]可表示為：

限制最大收益率時，在簡單點(diǎn)對點(diǎn)的設(shè)計方法下，T時刻的收益函數(shù)為:

其中RT為指數(shù)增長率，即為參與率。ξ為最大收益率，g為最低保證收益率，β為最低保證收益率比例系數(shù)。

簡單點(diǎn)對點(diǎn)法權(quán)益指數(shù)年金的定價，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的歐式看漲期權(quán)的定價，(5)式為：

根據(jù)折現(xiàn)原理，在風(fēng)險中性測度Q下權(quán)益指數(shù)年金的價格為:

在隨機(jī)死亡率μ(x,t)條件下，權(quán)益指數(shù)年金在t時刻的價格為：

其中，I(x)為一個指示函數(shù)。

由于此年金的收益率與合約持有人的存活時間無關(guān)，所以（6）式可以變形為：

由趙彩霞中定理可知，如果金融市場模型滿足(1)- (3)，則t時刻簡單點(diǎn)對點(diǎn)法下，限制最大收益率時的權(quán)益指數(shù)年金的價格為Ppp(s,t,T,r,V)，則

由（4）式可得：

可以將（7）式變形為：

由李月飛碩士論文，可得如下結(jié)論：

如果一個隨機(jī)過程xt可表示為：

其中函數(shù)A(t,T)和B(t,T)滿足以下常微分方程：

其中，δ(t)，γ(t)和β(t)' β(t)都是時間的函數(shù)。

根據(jù)（9）式可以得到的具體表達(dá)式為：

其中，A(0,t)和B(0,t)為確定的函數(shù)。

所以，（8）式變形為

三、數(shù)值計算與分析

這里假設(shè)利率模型中的ρ0=0，ρ12=1最低保證收益率g為2%，β為90%，參與率α取0.7，最大收益率ξ為0.2。零時刻模型的股票價格S為70,模型的波動率υ分別為0.1,0.2,0.3，合約期限T為5年和10年。為了研究死亡因素對年金價格的影響，假設(shè)年齡分別為20歲和70歲。

表1：年齡與此年金合約價格的關(guān)系

從表1可以看出70歲的購買者的合約的價格要明顯的高于20歲的購買者所持合約的價格。這說明產(chǎn)品持有人的年齡是影響合約價格的重要因素，年齡越大的人死亡風(fēng)險就越大，就越有可能退保，其保單的價格就會越大。

四、結(jié)論

本文在限制最大收益率的前提下，將產(chǎn)品持有人的年齡考慮在內(nèi)，從期權(quán)定價的角度來研究權(quán)益指數(shù)年金價格。限制最大收益率，可以控制合約的價格，吸引更多的購買者；加入投保人的年齡因素，合約的價格也會有很大變化。在更符合實(shí)際的條件下，此年金定價更加的合理，更符合實(shí)際需求。