求精 求新 求同 求實

【摘?要】人教版高中數學新教材已于2019年下半年在部分省區市推行試用，這是核心素養導向下的高中數學教材變革，充分體現了整體性、過程性、聯系性、選擇性、融合性、實踐性的特點。研究者以人教版高中數學新教材“三角函數”為例，對新教材的課程結構、內容順序、知識銜接等內容進行分析，為落實數學核心素養，實現數學育人奠定基礎。

【關鍵詞】新教材;舊教材;三角函數;課程結構

【作者簡介】呂增鋒，正高級教師，寧波大學兼職教授。

【基金項目】浙江省高等教育“十三五”第二批教學改革研究項目“HPM視野下的課程教學設計研究”（jg20190132）

人教版高中數學新教材已于2019年下半年在部分省區市推行試用，按照教材主編章建躍博士的說法，本次新教材是核心素養導向下的高中數學教材變革，充分體現了整體性、過程性、聯系性、選擇性、融合性、實踐性的特點[1]。筆者研讀了新教材的數學必修1與必修2，發現新教材在總體布局與細節處理上彌補了舊教材的很多不足，亮點頗多。下面筆者以“三角函數”這一章節為例，談談新教材的一些亮點，以期給教師的課堂教學提供有益的參考。

一、求精：優化整合教學內容，凸顯核心主題

高中數學新教材通過“一刪、二移、三連通”的做法，從知識系統的高度確立了三角函數的整體架構，避免了知識的碎片化，在實現單元教學內容的精選上，凸顯了“函數”大單元下的“三角函數”這一核心主題。

首先，新教材刪去了“三角函數線”這部分的內容。三角函數線作為解決三角函數問題的有力工具，其優點在于能夠把三角函數的值通過有向線段直觀地呈現出來，提供了用幾何視角研究三角函數性質的新思路。新教材把這部分內容刪去，筆者認為可能是基于三角函數線的實質只是單位圓模型的一種幾何表征的角度考慮，舍棄三角函數線直接借助單位圓模型，利用任意角三角函數的定義不僅能夠更直觀的獲得三角函數的相關性質，比如，周期性、單調性、奇偶性等，還能畫出三角函數圖象。因此，新教材的內容編排更符合學生的認知。

其次，新教材把“解三角形”這部分內容移到“平面向量”中，也就是說“解三角形”不再屬于“三角函數”章節。這也恰恰說明了新教材尊重數學史實的編寫思路。從數學發展史看，三角學與任意角三角函數并不是一回事，三角學源于天文學，后來主要用于平面三角的測量、測繪工作，于是就有了解三角形的問題;任意角三角函數的誕生主要是為了研究圓周運動，作為刻畫周期現象的一種函數模型。當然，三角學中也定義了三角函數，但僅僅局限于銳角三角形，而任意角三角函數也不是銳角三角函數的簡單推廣。因此，把“解三角形”從“三角函數”中分離出來，有助于凸顯三角函數的本質?！敖馊切巍比谌搿捌矫嫦蛄俊闭鹿澮彩潜容^合理的，主要原因是：一是正弦定理、余弦定理可以借助平面向量實現簡單的推導與證明;二是平面向量可以作為解三角形的工具;三是可以充分彰顯平面向量是溝通幾何、代數、三角的橋梁的作用。

最后，新教材把“三角恒等變換”放在“三角函數”章節，實現了三角函數知識系統的上下連通。舊教材是把“三角恒等變換”放在“平面向量”之后，不可否認學生學習了平面向量之后確實有助于兩角差余弦公式的推導與理解，有助于凸顯平面向量的工具作用，但割斷了三角恒等變換與三角函數的聯系，阻礙了學生對三角函數的連續性認知。

二、求新：立足勻速圓周運動，發展數學核心素養

本次教材的變革是以核心素養為導向的一次創新，教材的編寫過程圍繞如何落實數學核心素養進行創新思考。對于“三角函數”而言，其最主要的任務就是發展學生數學建模核心素養，而新教材采取的策略是立足勻速圓周運動，構建從現實情境跨越到三角函數定義、圖象、性質、公式的建模之路。

例如，銳角三角函數與任意角三角函數是兩回事，既不能把任意角三角函數看成是銳角三角函數的推廣（或一般化），又不能把銳角三角函數看成是任意角三角函數在銳角范圍內的“限定”[2]。但舊教材在章節開頭表述“我們已經學過銳角三角函數，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數值的函數。你能用直角坐標系中角的終邊上點的坐標來表示銳角三角函數嗎？”，這樣使得不少學生誤認為“任意角三角函數是銳角三角函數的推廣”。雖然，舊教材最后利用單位圓來定義任意角三角函數，但還是借助銳角三角函數的概念，并且沒有對單位圓可以定義任意角三角函數的合理性、科學性做出明確的表述。由于受到銳角三角函數的影響，一些學生對三角函數值出現負數的情況不能理解，在求特殊角三角函數值時還是要作直角三角形。為此，新教材直接利用質點的勻速圓周運動來構建任意角三角函數模型。如圖1，單位圓O上的點P以A為起點做逆時針方向旋轉，建立一個數學模型，刻畫點P的位置變化情況。該題通過對質點P的運動位置的刻畫來探究角與P點坐標之間的對應關系，從而自然獲得任意角三角函數的定義，讓學生對終邊所在的象限決定三角函數值的正負的理解更深刻。

由此可見，證明中所采用的方法不能偏離單元的主題，既然三角函數的性質及相關公式都是圓的性質的表征，那么借助同樣的單位圓來進行三角函數公式的推導、證明，不僅符合新教材的求同理念，而且能讓學生對數學知識有一個整體的認知。

四、求實：尊重生活現實真相，凸顯問題的嚴密性

新教材強調以反映學生所熟悉的現實的事實為素材創設問題情境，這不僅體現在三角函數的教學引入環節，還體現在三角函數的應用中。在“三角函數”這一章節內容中，舊教材設置了溫度變化曲線、畫y=|sinx|圖象、太陽高度角問題、潮汐問題等。由于畫y=|sinx|圖象應用屬性不強，而太陽高度角問題對于學生來說太過于陌生，難以理解，因此，新教材只保留溫度變化曲線與潮汐問題。但同樣的潮汐問題，新教材在問題的表述與數據的設置上更加嚴密，更加符合現實。海水受日月的引力，在一定的時候發生漲落的現象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭;卸貨后，在落潮時返回海洋，下表（略）是某港口某天（舊教材是“某季節每天”）的時刻與水深關系的預報。雖然新教材的“某天”和舊教材的“每天”，只是一字之差，但更符合客觀事實，體現了新教材的嚴謹性。因為，潮汐是在月球和太陽引力共同作用下形成的海水周期性漲落現象，而太陽、月球和地球的相對位置都是在變化的，導致每天漲潮和落潮的時間也不一樣，基本上每天漲落潮的時間比前一天推遲約48分鐘，每半個月輪回一次[3]。所以，新教材的表述更準確、嚴謹。

新教材本著求精、求新、求同、求實的精神，對課程結構、內容順序、知識銜接等內容，按照“函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動”四條主線對高中數學知識進行重新串聯、整合、重構，形成了新的主題單元，為落實數學核心素養，實現數學育人奠定了基礎。

參考文獻：

[1]章建躍.核心素養導向的高中數學教材變革（續3）：《普通高中教科書·數學（人教A版》的研究與編寫[J].中學數學教學參考，2019（25）：5-10.

[2]章建躍.為什么用單位圓上點的坐標定義任意角的三角函數[J].數學通報，2017（1）：15-18.

[3]呂增鋒.教材中一道應用題引發的現實思考[J].中學數學雜志，2008（3）：18-19.

（責任編輯：陸順演）