高中數學主題教學研究熱的冷思考

【摘?要】在《普通高中數學課程標準（2017年版）》頒布之后，主題教學成為高中數學教學研究的熱點話題。通過近幾年的文獻分析，研究者發現對內容的深度分析、對情境的合理創設、對“教、學、評”一致性的研究，是當前高中數學主題教學研究中尚未妥善解決的問題，也是需要思考的重要課題。

【關鍵詞】主題教學;內容分析;情境創設;“教、學、評”一致性

【作者簡介】任念兵，高級教師，新青年數學教師工作室創始成員，主要研究方向為高中數學課堂教學與命題研究。

【基金項目】上海市浦東新區2018年教育科學研究項目重點課題“基于高中數學核心素養的中觀教學設計與實踐研究”（A201806）

史寧中教授認為，要落實培養學生數學核心素養的教育目標，至少應當遵循兩個原則：一是把握數學知識的本質，二是設計并且實施合理的教學活動。教材編寫和教學設計都應充分關注這兩個原則。由于數學內容很難通過一節課或一個知識點就把數學的本質表述清楚，因此，在教學設計中，應當把一些具有邏輯聯系的知識點放在一起進行整體設計[1]。這個數學教學觀點，也就是《普通高中數學課程標準（2017年版）》（下文簡稱《課程標準》）在教學實施建議中所倡導的整體教學觀，主題教學設計正是落實整體教學觀的課堂教學實施方案。

主題教學與單元教學、項目學習、深度學習的含義一致（本文統稱為主題教學），是相對課節教學而言的，就是從關注一節課、一節課的教學到關注更大范圍（如一個單元、一章、一個主題）的教學[2]253-260。類似的提法還有結構化設計、中觀設計、學材再重構等，都是著眼于大立意、大情境、大任務、大問題，從關注零散的知識點到關注系統的“知識團”，從碎片化教學走向整體教學。

《課程標準》頒布以來，主題教學在一線教師群體中逐漸形成了較為廣泛的理念認同，并呈現出如火如荼的研究態勢。筆者在中國知網（CNKI）數據庫中以篇名含“單元”或“主題”，以及全文含“數學”為檢索條件進行搜索，再逐篇篩選出關于高中數學主題教學的論文。其中，將針對某個具體主題進行論述的文章歸入“案例分析”類，泛論主題教學的特征、原則等內容的文章歸入“理論論述”類。筆者在撰寫本文時，由于只檢索到2020年1—4月發表的論文，因此將篇數乘以3作為2020年論文數的估計值，統計情況見表1。雖然“單元教學”的提法在20世紀90年代就已經廣泛流傳開來，但是在高中數學教學領域以“主題”“單元”結構進行整體設計的研究是近幾年才開始的，較早發表且具有代表性的論文是2016年呂世虎等發表的《單元教學設計及其對促進數學教師專業發展的作用》。高中數學主題教學的研究論文從2017年開始大幅度地逐年增長，其中有4篇是師范大學的碩士論文。

數學教育類期刊也為主題教學研究熱“推波助瀾”。例如一些期刊進行“單元教學設計”專題征稿，或者舉辦“單元—課時教學設計征文大賽”等。近幾年中國人民大學復印報刊資料《高中數學教與學》策劃主題教學專題，介紹教育教學的研究成果，例如該雜志2018年第12期、2020年第4期刊登有關“單元教學”的文章，2018年第7期、2019年第1期、2020年第1期刊登有關“深度學習”的文章等。各地教研機構也在大力支持和推動主題教學的研究，以“主題教學”“單元教學”為研究內容的省、市級教育科學規劃課題如雨后春筍般涌現;上海市教育委員會教學研究室還專門組織人員編寫了《高中數學單元教學設計指南》（人民教育出版社，2018），等等。

基于課程標準解讀[2]253-260和主題教學論文的研究，筆者就當前主題教學的研究熱做一些冷思考，與正在研究主題教學的同行們探討。

一、對數學內容的深度分析是主題教學成敗的關鍵

理解數學是教師教好數學的前提，從中學數學學科的整體結構、核心內容和重要思想上整體把握和認識數學教學內容，是主題教學研究的首要工作。

注重對教學內容的理解和把握是我國中學數學教師的優良傳統，尤其是改革開放以來，涌現出一大批對數學內容解讀有創見、教學成績突出的優秀教師，他們總結出不少教學名言和教學主張。例如北京的孫維剛老師倡導結構教學法，提出“八方聯系、渾然一體、漫江碧透、魚翔淺底”的教學主張，注重新舊知識之間的聯系，站在系統的高度把握數學的結構;江蘇的李庾南老師踐行“自學、議論、引導”教學法近40年，曾榮獲首屆（2014年）基礎教育國家級教學成果獎一等獎，而其成功的秘訣之一就是整體理解教學內容的“學材再重構”;上海的曾容老師強調在教學中要弄清楚“是什么、為什么、還有什么”的問題?！笆鞘裁础笔亲穼祵W學科的內在邏輯，研究脈絡和研究方法是什么;“為什么”是追問概念、公式的內在動因，為什么要研究這些概念和公式;“還有什么”是追溯核心問題的歷史蹤跡（縱向聯系），追求數學知識的通透理解（橫向聯系），等等。因此，主題教學具有廣泛的實踐基礎和深厚的歷史積淀，當前的主題教學研究在一定程度上是對優良傳統的繼承、發揚和深化。另一方面，回歸學科是近年來國際數學教育界的主流話題和趨勢，MPCK、MKT等數學學科教學知識的研究自從20世紀末引入我國后，對數學內容的深度理解成為很多教師的專業追求。因此，優良傳統和外來理念的疊加，使得主題教學經《課程標準》的倡導之后，得到了一線教師積極的響應。

主題教學基于對數學內容的整合，對教師理解數學的能力提出較大的挑戰。主題教學要求教師具備較高的數學元認知水平，能夠對數學理論體系具有廣泛的了解，具有用高觀點解釋初等數學的能力;能夠梳理主題（單元）的邏輯脈絡（章建躍博士稱為數學研究的“基本套路”），并能洞察顯性知識背后的隱性知識（又稱“默會知識”）。所以，教師能否深度分析數學教學內容，是決定主題教學成敗的關鍵。

比如，在“數列”的主題教學中，教師可以對“等比數列前n項和”做如下“瞻前顧后”的剖析。

（1）“瞻前”分析——為什么不能類比等差數列前n項和公式的推導方法來研究等比數列求和？從形式上看，等差數列前n項和公式的推導方法（倒序相加法）不能簡單地類比到等比數列中來。但是等差數列、等比數列求和都是通過消去相同的項，使得和式中的項數減少：等差數列求和的倒序相加法Sn+Sn，實際上是通過“配對”將不同數的和轉化為相同數的和，從而減少項數;等比數列求和的方法除了錯位相減法（教材選擇的方法），還有迭代遞推、利用合分比定理、裂項相消等方法。它們都合乎消項的邏輯，但是不太利于類比等差數列求和的思路。Sn-qSn則是通過“錯位”消去兩式中的公共項，從而減少項數。因此，這些數列求和的方法看似形式不同，但本質上都是通過運算技巧達到消項的目標。

（2）“顧后”分析——如何理解等比數列求和的思想方法對后續學習的價值。從思想內涵上看，數列求和的本質是消項。數列是離散的函數，而連續函數的定積分，根據牛頓-萊布尼茨公式，可以求出原函數后作差，因此從運算技巧上看，數列求和的根本方法是“裂項相消”（差分求和）。等差（比）數列的求和都可以利用適當的裂項技巧來實現相消。在歷年的高考數學壓軸題中，數列不等式a1+a2+…+an

又如，在“圓錐曲線”的主題教學中，教師可以對“圓錐曲線的性質”做如下縱橫聯系的剖析。一般地，研究圓錐曲線性質的思路為整體性質→局部特征→與系統環境的關系。整體性質是指圓錐曲線體現出的整體特征，包括對稱性、頂點、范圍等;局部特征是指圓錐曲線相關要素體現出的特征，比如圓錐曲線上的點與焦點構成的線段（三角形）的性質等;與系統環境的關系是指圓錐曲線與其他曲線的位置關系，典型的問題是圓錐曲線與直線的位置關系，圓錐曲線中某些特殊弦的研究都可以歸入這類關系中。橢圓、雙曲線、拋物線性質的研究也都遵循這樣的研究思路。

相較于教材章節主題，跨章節的主題教學設計，對教師深度分析、整合數學內容的能力提出了更高的要求。從目前已發表的論文來看，涉及跨章節主題基本只有《課程標準》中介紹的“函數單調性”（案例36），鮮見其他跨章節主題的研究。這從另一個側面說明，整體把握數學內容對于主題教學研究的重要性。

章建躍博士認為，教師對課程內容的理解水平不高，在挖掘數學內容蘊含的育人價值方面缺乏意識和能力，是當前教學設計出現偏差的主要原因[3]。倘若教師缺乏一定的數學元認知能力，那么在主題教學設計中就只能停留在數學內容的表面理解上，在內容分析時依然是堆砌零散的點狀知識而不能整合為“知識團”。無論教學設計的外在包裝是表格還是所謂的“思維導圖”，只要教師不能挖掘內容背后的隱性知識，都將無法幫助學生整體把握內容，不可能真正實現思維的可視化。

就當前高中數學主題教學研究的相關論文來看，深度分析數學內容的文章較少，浮于表面的空泛議論偏多;甚至有“蹭熱點”的文章“用新瓶裝舊酒”“穿新鞋走老路”，離主題教學的要求相差較遠，這是值得有志于主題教學研究的同行們思考的問題。

二、對問題情境的合理創設是主題教學實施的要素

哈爾莫斯說：“問題是數學的心臟?！痹跀祵W的發生和發展過程中，問題可以分為兩類：一類是促使概念、原理、理論產生的原始的問題，哲學上稱為“本原性問題”;另一類是在理論發展過程中派生出來的與自然科學沒有直接關系的問題，稱為“派生性問題”[4]。任何重要概念、定理的產生都有其背景、根源，這些問題既有可能是本原性的，也有可能是派生性的，它們都可以作為驅動中學數學課堂的問題載體，也是主題教學設計的問題來源。

主題教學重在對內容的深刻把握，但有些隱性知識并不適合“告知”學生，教師需要設計適當的問題串來幫助學生理解知識，于是問題的選取就成為難點所在。因此，合理創設問題情境是主題教學順利實施的關鍵。另外，主題教學仍然要通過課時教學去落實，而在每個課時的具體教學過程中，教學流程、方法手段和技術手段等，與過去的課時教學相比并沒有實質性變化，最大的區別體現在對教學內容的整合與設計上，因此整合內容、設計主題問題是凸顯主題教學特點的重要一維。

在主題教學中創設問題情境，應盡量選取可以在多個課時使用的較為綜合性的情境素材，設計主題系列學習活動（問題串），使整個主題的教學顯得更為連貫。比如在“數列”主題教學中，謝爾賓斯基三角形就是值得嘗試的主題問題。在數列概念引入、等比數列、遞推數列、數列求和等課時教學中，教師都可以圍繞謝爾賓斯基三角形來創設問題情境。

問題情境的創設沒有一定之規，不能生搬硬套，不同類型的數學內容需要用不同的方式來處理，或娓娓道來，或開門見山，或引發認知沖突，或利用邏輯演繹。比如，從具體的例子出發，可以歸納出一般結論、引發猜想，可以打開思路、引出證明，因此從特殊到一般是創設問題情境的常見思路。然而，事物往往具有兩面性，在中學數學中也常常會有這樣的問題，即抽象、一般的情形可能比具體、特殊的情形更直觀、更容易解決，“點到直線的距離”即為一例。很多教學設計類論文在設計“點到直線的距離”課例時，都是先給出直線的方程（系數給定）和直線外一點的坐標，然后求點到直線的距離，試圖通過特殊問題的解決尋找一般的思考路徑。但實際上，相對于字母表示形式，具體系數形式的直線方程和點的坐標，對于該問題的解決并不能起到簡化和啟迪思維的作用，兩者在思維量上是沒有任何本質差異的，有時候具體數字的特殊性反而可能會導致思路的異化（特殊系數下的特殊直線會產生特殊解法）。著眼于“直線與方程”的主題設計，教師可以從內容的內在邏輯聯系上開門見山地創設“點到直線的距離”的教學情境，并提出問題，教學片段如下。

師：在解析幾何中，用代數方法研究幾何對象，用方程表示直線后，通過方程研究兩條直線的位置關系——相交、平行和重合。對于相交直線，我們可以定量研究它們的夾角;若兩條直線平行，如何定量刻畫兩條直線的位置關系？

生：用距離定量刻畫兩條平行直線的位置關系。

師：由于兩條直線平行時，一條直線上任意點到另一條直線的距離即為兩條平行線之間的距離，因此我們將研究點到直線的距離。

《課程標準》提出，情境創設和問題設計要有利于發展學生的數學學科核心素養，教學情境包括現實情境、數學情境、科學情境，每種情境又分為熟悉的、關聯的、綜合的。對于主題教學而言，在問題情境創設方面，應著重研究關聯的、綜合的情境。為高中數學的每個教學主題配套主題問題，這也是需要廣大同行冷靜思考的系統化工程。

三、對“教、學、評”一致性的思考是主題教學研究的歸宿

《課程標準》在實施建議中，不僅提出了“教”的建議，倡導主題教學，而且提出了“重視學”的要求，要求教師把教學活動的重心放在促進學生學會學習上，積極探索有利于促進學生學習的多樣化教學方式，豐富作業的形式，提高作業的質量，提升學生完成作業的自主性、有效性。同時，《課程標準》還提出了評價建議、高考命題建議等?！敖獭薄皩W”“評”構成了教學的完整閉環，主題教學對培育學生的數學核心素養是否有效，也應從“教、學、評”一致性角度進行研究。

對應主題教學，教師可以考慮圍繞核心概念或重要方法的“知識團”來命制創新試題，力圖讓那些注重整體理解數學、把握數學本質的學生能夠考出高分，而舍本逐末不求甚解，埋頭刷題、大搞題海戰術的學生則“望題興嘆”。倘若真能做到這一點，以高考引導教學，以評價來撬動教育改革之錨，主題教學才能真正落實、深入人心，核心素養才能真正落地、遍地開花。

比如，在教學中，教師可以圍繞中學數學中的“距離”概念，梳理概念的內涵和外延，溝通初高等數學中距離概念的本質，在高三復習課上設計“距離”主題教學[5]，并相應地配備考查學生對距離概念深度理解的創新題（參見《課程標準》案例23距離問題），檢驗主題教學的效果。

除了配合主題教學的“評價”研究，有關“學”的研究還比較少，在已發表的論文中，筆者只看到過一篇《高中數學單元作業設計與實施》（李家齊，2019）涉及主題教學中如何“促進學生學會學習”。思考“教、學、評”的一致性，是主題教學亟待研究的重要課題，也是值得同行們冷靜思考的第三個問題。

系統的力量在于“整體大于部分之和”，主題教學著力于挖掘數學內在的系統的力量，因而能有效地提高教學效率。當前，高中數學主題教學的研究方興未艾，廣大一線教師以飽滿的熱情對主題教學進行教學實踐和設計研究，而在“教研成果”大量涌現的繁榮、熱鬧的背后，對教學內容的深度分析、對情境的合理創設、對“教、學、評”一致性的研究等問題，正擺在主題教學研究者面前，需要我們靜下心來，在理解教學、理解數學、理解學生上下大功夫才能妥善解決。

參考文獻：

[1]史寧中，林玉慈，陶劍，等.關于高中數學教育中的數學核心素養：史寧中教授訪談之七[J].課程·教材·教法，2017（4）：8-14.

[2]史寧中，王尚志.普通高中數學課程標準（2017年版）解讀[M].北京：高等教育出版社，2018.

[3]章建躍.數學學習與智慧發展[J].中學數學教學參考，2015（19）：4-10.

[4]曹廣福，張蜀青.問題驅動的中學數學課堂教學（理論與實踐卷）[M].北京：清華大學出版社，2018.

[5]任念兵，汪健.芻議在高三復習課上“玩概念”：以“距離”概念為例[J].數學通報，2015（7）：27-29.

（責任編輯：陸順演）