探究非自治—捕食者-兩互惠食餌模型的動(dòng)力學(xué)行為

【摘 要】 捕食者-食餌系統(tǒng)是當(dāng)前全球數(shù)學(xué)界數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)研究中的重要內(nèi)容，特別是在綠色發(fā)展理念的引導(dǎo)下，全球都大力倡導(dǎo)節(jié)能減排、治理全球環(huán)境的時(shí)代背景下，捕食者-食餌系統(tǒng)已經(jīng)開始廣泛受到國(guó)內(nèi)外生態(tài)學(xué)家與數(shù)學(xué)家的重視。文章就對(duì)非自治—捕食者-兩互惠食餌模型的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究，希望能對(duì)相關(guān)人士的研究工作提供參考。

【關(guān)鍵詞】 非自治—捕食者;互惠食餌模型;動(dòng)力學(xué)行為

“我們要建設(shè)的現(xiàn)代化是人與自然和諧共生的現(xiàn)代化。”當(dāng)前，在綠色發(fā)展理念下，全球都大力倡導(dǎo)節(jié)能減排，希望能推進(jìn)全球環(huán)境的治理，實(shí)現(xiàn)人與自然和諧共生。而要想實(shí)現(xiàn)這一目的，首先必須加強(qiáng)生態(tài)研究，推動(dòng)形成人與自然和諧發(fā)展的現(xiàn)代化建設(shè)新格局。在生態(tài)學(xué)中，最受人們關(guān)注的問(wèn)題就是物種多樣性問(wèn)題，而在物種多樣性問(wèn)題中，物種的共存以及持續(xù)性生存問(wèn)題是其重要的組成部分。目前，隨著人們對(duì)地球生物圈開發(fā)力度的加大，很多物種逐漸成為瀕危物種，甚至一部分永久消失了，為了保持地球生物物種的多樣化，實(shí)現(xiàn)人與自然的和諧共生，研究非自治—捕食者-兩互惠食餌模型的動(dòng)力學(xué)行為就變得十分重要且十分緊迫。

一、數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)簡(jiǎn)析

數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)是一門研究數(shù)學(xué)與生物學(xué)的交叉學(xué)科，這一學(xué)科是借助數(shù)學(xué)相關(guān)的知識(shí)、理論和方法去描述、分析并解釋自然生態(tài)環(huán)境中的一些生態(tài)現(xiàn)象、生態(tài)問(wèn)題，從而探索出相應(yīng)的生物學(xué)問(wèn)題。在該學(xué)科的研究中，探索的方式方法有很多種，但目前最常用的就是借助數(shù)學(xué)知識(shí)、理論和方法構(gòu)建相應(yīng)的生態(tài)模型，把原本復(fù)雜的生物種群關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后借助相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)和理論對(duì)其動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行分析。通過(guò)這樣的研究，能有效促進(jìn)生態(tài)學(xué)理論的順利發(fā)展，對(duì)于當(dāng)前構(gòu)建人與自然和諧共生的生態(tài)系統(tǒng)具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

該學(xué)科最早出現(xiàn)于二十世紀(jì)二十年代中葉，是由意大利數(shù)學(xué)家Volterra和生物學(xué)家Dancona在研究地中海魚類時(shí)提出來(lái)的。這二人在研究中發(fā)現(xiàn)，一戰(zhàn)前后，地中海地區(qū)的漁民捕獲的掠肉類魚種比例大幅度上升，而食用魚的比例相應(yīng)下降。為了更好地解釋這一現(xiàn)象，二人對(duì)這兩大種類的魚捕食與被捕食關(guān)系進(jìn)行了探究，第二年，美國(guó)數(shù)學(xué)家Lotka也提出了同樣的問(wèn)題。因此，Lotka和Volterra將捕食者與食餌的關(guān)系轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)模型，從而形成了著名的Lotka-Volterra模型：，i=1，2…，n。

這一模型可以描述出不同物種種群之間的三種生存關(guān)系：一是競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，如農(nóng)作物和雜草爭(zhēng)奪陽(yáng)光和養(yǎng)分;二是捕食食餌關(guān)系，如非洲大草原上獅子、獵豹等捕食角馬;三是互惠互存關(guān)系，如犀牛和犀牛鳥、螞蟻和蚜蟲、寄居蟹和海螺等。Lotka-Volterra模型的提出吸引了全球眾多的數(shù)學(xué)家和生物學(xué)家，很多學(xué)者在這一模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行了進(jìn)一步研究并對(duì)相關(guān)理論進(jìn)行了改進(jìn)，延伸出了眾多的生物數(shù)學(xué)模型。在實(shí)際的生態(tài)環(huán)境中，不同物種之間的生存關(guān)系并不是單一存在的，而是同時(shí)存在著更為復(fù)雜的關(guān)系，即不同物種之間的生存關(guān)系是一種復(fù)雜多變的關(guān)系，可能同時(shí)存在著兩種或三種生存關(guān)系。要想建立確定性的模型來(lái)解決生物學(xué)中的問(wèn)題，應(yīng)該運(yùn)用大數(shù)定律，從而建立比較穩(wěn)定狀態(tài)的數(shù)學(xué)模型。而本文探究的就是一種捕食者捕食兩種存在著互惠互存關(guān)系的食餌。其模型如下：

模型中的xi（t）代表的是在t時(shí)刻食餌種群的密度值;y（t）則是在t時(shí)刻捕食者種群的密度值;而其他系數(shù)a1（t）、b1（t）、c1（t）、d1（t）、D1（t）、e（t）、f（t）（i=1，2，t≥0）都是連續(xù)、有界、嚴(yán)格正的函數(shù)。為了更好地探究其生物學(xué)意義，研究其動(dòng)力學(xué)行為，運(yùn)用微分方程對(duì)其原理和構(gòu)造進(jìn)行系統(tǒng)討論。其中，文章涉及的符號(hào)代表意義見表1。

二、非自治—捕食者-兩互惠食餌模型的動(dòng)力學(xué)行為分析

是本系統(tǒng)的正不變集。當(dāng)xi（t0）>0時(shí)，則xi（t）>0，y（t）>0（i=1，2），因此，本系統(tǒng)滿足正初值的就能夠保持恒正。所以集合R是本系統(tǒng)的正不變集。如果本生態(tài)系統(tǒng)中始終存在著一個(gè)緊區(qū)域D∈Int，使得本系統(tǒng)的任何滿足正初始值條件（1，2）的解（xi（t），x2（t），y（t））都能最終進(jìn)入并保留在緊區(qū)域D內(nèi)，這樣本系統(tǒng)就能保持一致持久性。

適當(dāng)選取m=min|m1，m2，n|≤M=|M1，M2，N1，并且m，M都不依賴系統(tǒng)（1，1）的任何正解，且本系統(tǒng)是一致持久的，對(duì)于生態(tài)系統(tǒng)（1，1），如果對(duì)于任何正解（xi（t），x2（t），y（t）），都有既能滿足Liapunov意義下的穩(wěn)定，又對(duì)其他正解（xi（t），x2（t），y（t）），有，則可以將本系統(tǒng)看作是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。但在實(shí)際生活中，即真實(shí)的自然環(huán)境中，生物數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)會(huì)受到各種各樣不同形式因素的影響，本文并沒(méi)有對(duì)這些影響因素對(duì)該物種的擾動(dòng)進(jìn)行探討，只是基于一種理想型的情形進(jìn)行了簡(jiǎn)單探討，因此還存在一定的不足。

綜上所述，非自治—捕食者-兩互惠食餌模型的動(dòng)力學(xué)行為在自然界中十分普遍，本文就對(duì)這種模型在理性狀態(tài)下的持續(xù)性和正解全局漸進(jìn)穩(wěn)定性進(jìn)行了探討，可能還存在一定的不足，但希望能為相關(guān)人士的進(jìn)一步深入研究提供參考。

【參考文獻(xiàn)】

[1]蒲武軍，杜爭(zhēng)光.一類分?jǐn)?shù)階廣義捕食者-食餌模型的動(dòng)力學(xué)分析[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2018（05）：14-19.

[2]梁桂珍，宋鴿.一類具有Machaelis-Menten型功能性反應(yīng)的非自治兩捕食者-兩競(jìng)爭(zhēng)食餌的系統(tǒng)的持久性與穩(wěn)定性[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2018（21）：290-296.

【簡(jiǎn)介：李艷，女，新疆烏魯木齊人，1972年5月，學(xué)歷：本科，職稱：新疆建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，研究方向：微分方程方向】