猶豫Pythagorean模糊語言優(yōu)先級(jí)集結(jié)算子及應(yīng)用

翟運(yùn)開 王天琳

(鄭州大學(xué)管理工程學(xué)院 河南 鄭州 450001)

0 引 言

隨著Zadeh[1]提出的模糊集理論被成功地應(yīng)用到多屬性決策領(lǐng)域以來，已經(jīng)出現(xiàn)了大量的理論成果。Atanassov[2]對(duì)傳統(tǒng)的模糊集進(jìn)行了拓展，提出了包含隸屬度和非隸屬度的直覺模糊集。Yager[3]考慮到隸屬度和非隸屬度平方之和存在大于1的情況，對(duì)直覺模糊集進(jìn)行拓展，提出了Pythagorean模糊集。但在決策過程中，比較難對(duì)某個(gè)方案的屬性給出數(shù)值度量，而利用語言評(píng)價(jià)則可以滿足評(píng)價(jià)要求。雖然語言評(píng)價(jià)中暗含了屬性隸屬于語言值的程度為1，卻不能刻畫非隸屬和決策者的猶豫程度。王堅(jiān)強(qiáng)等[4]和彭新東等[5]分別基于直覺模糊集和Pythagorean模糊集提出了直覺模糊集語言和Pythagorean模糊語言集。

在多屬性決策中，決策者會(huì)在多個(gè)評(píng)價(jià)值之間猶豫不決，而僅使用單一的評(píng)價(jià)值不足以準(zhǔn)確地表達(dá)其真實(shí)的判斷結(jié)果，故Torra等[6-7]提出了猶豫模糊集理論，國內(nèi)外學(xué)者近年來對(duì)猶豫模糊集開展了較為廣泛的研究和應(yīng)用?？紤]到非隸屬度的重要性，Zhu等[8]克服了猶豫模糊集未考慮到非隸屬度的缺陷提出了對(duì)偶猶豫模糊集，但對(duì)偶猶豫模糊集無法描述隸屬度和非隸屬平方之和大于1的實(shí)際情況。Liang等[9]對(duì)偶猶豫模糊集進(jìn)行了拓展提出了猶豫Pythagorean模糊集。

在實(shí)際問題中屬性之間往往存在著某種優(yōu)先級(jí)關(guān)系，為了體現(xiàn)屬性之間的優(yōu)先關(guān)系，Yager[10]提出了優(yōu)先級(jí)平均(PA)算子，后來國內(nèi)外學(xué)者對(duì)PA算子進(jìn)行了廣泛的研究。Wei等[11]對(duì)PA算子進(jìn)行拓展，提出了廣義優(yōu)先級(jí)集結(jié)算子；Yu等[12]將PA算子拓展到直覺模糊領(lǐng)域，提出了一系列直覺模糊優(yōu)先級(jí)集結(jié)算子；Wei[13]提出了猶豫模糊優(yōu)先級(jí)加權(quán)平均算子和猶豫模糊優(yōu)先級(jí)加權(quán)幾何算子；Khan等[14]結(jié)合PA算子和Pythagorean模糊集提出了Pythagorean模糊優(yōu)先級(jí)集結(jié)算子，并將其應(yīng)用到多屬性決策問題中。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[9]設(shè)一非空集合為X，則在X上的猶豫Pythagorean模糊集(HPFS)為：

H={|x∈X}

定義2[15]設(shè)語言術(shù)語集為S={si|i=0,1,…,g}，對(duì)任意實(shí)數(shù)θi，語言刻度函數(shù)可以定義為從si到θi的映射：

f:si→θi(i=0,1,…,g)

其中：0≤θ0≤θ1≤…≤θg≤1；函數(shù)f為關(guān)于下標(biāo)i的遞增函數(shù)；θi(i=0,1,…,g)表示決策者使用語言術(shù)語si(i=0,1,…,g)時(shí)的偏好。根據(jù)決策者的偏好,Wang等[15]總結(jié)了三種語言刻度函數(shù)：

(1) 簡單語言下標(biāo)函數(shù)：

(1)

式(1)給出的語言術(shù)語的語義值是基于語言下標(biāo)的平均值，形式簡單且易于理解，但是這種計(jì)算方法缺少相應(yīng)的理論依據(jù)。

(2) 復(fù)合語言刻度函數(shù)：

(2)

式中：參數(shù)a的取值可根據(jù)實(shí)驗(yàn)法和主觀法進(jìn)行確定。根據(jù)已有的實(shí)驗(yàn)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，通常a的取值區(qū)間為[1.36,1.4]。根據(jù)式(2)可以得到隨著語言術(shù)語下標(biāo)從中間向兩端擴(kuò)展時(shí)，相鄰語言術(shù)語的絕對(duì)偏差逐漸遞增。

(3) 改進(jìn)的語言刻度函數(shù)：

(3)

定義3[10]設(shè)屬性集為C={ci|i=1,2,…,n}，且屬性之間存在優(yōu)先關(guān)系，其優(yōu)先關(guān)系為c1?c2?…?cn，即若j

(4)

(j=2,3,…,n)。

2 猶豫Pythagorean模糊語言集及其相關(guān)理論

定義4設(shè)集合S={si|s0≤si≤sg,i=0,1,…,g}是一個(gè)粒度為g的語言術(shù)語集，則在非空集合X上的猶豫Pythagorean模糊語言集(HPFLS)可定義為：

A={〈x,sθ(x),h(x),g(x)〉|x∈X}

特別當(dāng)X={x}時(shí),此時(shí)A就退化為α=〈sθ(α),h,g〉，其中h={μλ|λ=1,2,…,#h}，g={vλ|λ=1,2,…,#g}，α一般稱之為猶豫Pythagorean模糊語言數(shù)(HPFLN)，且μλ和vλ按照從小到大排列。

定義5設(shè)3個(gè)猶豫Pythagorean模糊語言數(shù)α、α1、α2，其中ξ>0，則：

(5)αc=〈f-1(1-f(sθ(α))),g,h〉

定義6設(shè)1個(gè)猶豫Pythagorean模糊語言數(shù)為α,則它的得分函數(shù)和精確函數(shù)分別是：

(5)

(6)

定義7設(shè)任意2個(gè)猶豫Pythagorean模糊語言數(shù)為α1和α2，則存在:

(1) 若E(α1)

(2) 若E(α1)>E(α2)，則α1>α2

(3) 若E(α1)=E(α2)，則

3 猶豫Pythagorean模糊語言優(yōu)先級(jí)集結(jié)算子

定義8設(shè)n個(gè)HPFLNs為α1,α2,…,αn，則：

(1) 猶豫Pythagorean模糊語言優(yōu)先級(jí)加權(quán)平均(HPFLPWA)算子為：

(7)

(2) 猶豫Pythagorean模糊語言優(yōu)先級(jí)加權(quán)幾何(HPFLPWG)算子為：

(8)

定理1HPFLPWA算子和HPFLPWG算子集結(jié)后的結(jié)果仍然是HPFLN。

證明：本文采取數(shù)學(xué)歸納法證明定理1的成立。

(1) 當(dāng)n=2時(shí)，則：

顯然，當(dāng)n=2時(shí)，HPFLPWA算子滿足定理1。

(2) 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，HPFLPWA算子滿足定理1，則可獲得：

當(dāng)n=k+1時(shí)，

顯然，當(dāng)n=k+1時(shí)，式(7)成立。

綜上所述，HPFLPWA算子滿足定理1。由于篇幅有限，關(guān)于HPFLPWG算子滿足定理1的證明過程省略。

性質(zhì)1(有界性) 設(shè)n個(gè)HPFLNs為α1,α2,…,αn，則：

α-≤HPFLPWA(α1,α2,…,αn)≤α+

(9)

α-≤HPFLPWG(α1,α2,…,αn)≤α+

(10)

(11)

(12)

性質(zhì)3(單調(diào)性) 設(shè)2組HPFLNs為α1,α2,…,αn和β1,β2,…,βn，若αi≤βi(i=1,2,…,n)，則存在：

HPFLPWA(α1,α2,…,αn)≤HPFLPWA(β1,β2,…,βn)

(13)

HPFLPWG(α1,α2,…,αn)≤HPFLPWG(β1,β2,…,βn)

(14)

4 基于猶豫Pythagorean模糊語言集的多屬性決策模型

利用上述猶豫Pythagorean模糊語言優(yōu)先級(jí)集結(jié)算子建立猶豫Pythagorean模糊語言多屬性決策模型。

Step2根據(jù)式(5)計(jì)算猶豫Pythagorean模糊數(shù)αij的得分函數(shù)值E(αij)，然后獲得變量矩陣T=(Tij)m×n。

Step3根據(jù)HPFLPWA算子或HPFLPWG算子集結(jié)各個(gè)備選方案xi(i=1,2,…,n)在所有屬性下的評(píng)價(jià)結(jié)果，其計(jì)算公式為：

(15)

或

(16)

Step4根據(jù)式(5)計(jì)算αi(i=1,2,…,n)的得分函數(shù)值E(αi),并根據(jù)定義7對(duì)其進(jìn)行排序，獲得最佳備選方案。

5 案例分析

5.1 問題描述

突發(fā)事件的應(yīng)急預(yù)案是指針對(duì)各種可能出現(xiàn)的，意料之外的突發(fā)事件而制定的一整套合理可行的行動(dòng)方案，對(duì)突發(fā)事件有效性解決，有助于主管部門快速、高效地應(yīng)對(duì)各種突發(fā)事件[16]?，F(xiàn)假設(shè)一共有4個(gè)應(yīng)急預(yù)案xi(i=1,2,3,4)用來應(yīng)對(duì)某突發(fā)事件，故決策組決定選取以下4個(gè)屬性來對(duì)其進(jìn)行綜合決策：a1合理性、a2適用性、a3快速性、a4充分性，且這個(gè)4個(gè)屬性均為利益型。經(jīng)過決策組商定屬性的優(yōu)先順序如下a1?a2?a3?a4，其評(píng)估結(jié)果用猶豫Pythagorean模糊語數(shù)的形式表示，專家采取的語言術(shù)語集為S={s0:極其差，s1:非常差，s2:差，s3:一般，s4:好，s5:非常好，s6:極其好}。表1為決策組對(duì)這4個(gè)應(yīng)急預(yù)案的評(píng)估。

表1 評(píng)價(jià)結(jié)果矩陣M

5.2 評(píng)估方案排序

本文首先選擇語言刻度函數(shù)為f1，其次根據(jù)表1和式(5)計(jì)算每個(gè)猶豫Pythagorean模糊語言數(shù)的得分函數(shù)值E(αij)(i=1,2,3,4,j=1,2,3,4)，然后獲得變量矩陣T=(Tij)4×4，其計(jì)算結(jié)果如下：

方法1根據(jù)HPFLPWA算子集結(jié)備選方案xi(i=1,2,3,4)，在每個(gè)屬性下的評(píng)估結(jié)果，得到每個(gè)備選方案的綜合評(píng)價(jià)結(jié)果αi(i=1,2,3,4)，得分函數(shù)值為：E(α1)=0.062 4，E(α2)=0.138 4，E(α3)=0.364 9，E(α4)=0.619 9。

最終，根據(jù)各個(gè)方案的得分函數(shù)值得到以下排序：x4?x3?x2?x1。

方法2根據(jù)HPFLPWG算子集結(jié)備選方案xi(i=1,2,3,4)，在每個(gè)屬性下的評(píng)估結(jié)果，得到每個(gè)備選方案的綜合評(píng)價(jià)結(jié)果αi(i=1,2,3,4)，得分函數(shù)值為：E(α1)=0.051 3，E(α2)=0.138 7，E(α3)=0.249 2，E(α4)=0.418 9。

最終，根據(jù)各個(gè)方案的得分函數(shù)值得到以下排序?yàn)閤4?x3?x2?x1。根據(jù)HPFLPWA算子和HPFLPWG算子的計(jì)算結(jié)果可以最終認(rèn)定應(yīng)急預(yù)案x4最佳。

5.3 敏感性分析

本文模型需要決策者提前選定合適的語言刻度函數(shù)，分析當(dāng)語言刻度函數(shù)發(fā)生改變后，其決策結(jié)果的變化。故選取不同的語言刻度函數(shù)，并結(jié)合本文模型進(jìn)行決策分析，其計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 不同語言刻度函數(shù)下的排序結(jié)果

其中a=1.4，μ=η=0.5。根據(jù)表2的計(jì)算結(jié)果可知，當(dāng)取不同的語言刻度函數(shù)時(shí)，備選方案的排序始終是x4?x3?x2?x1，因此決策結(jié)果對(duì)語言刻度函數(shù)的變化并不敏感。

5.4 對(duì)比分析

為了便于比較，本文借鑒文獻(xiàn)[9]的方法對(duì)HPFLN采取了三種經(jīng)典的預(yù)處理方法：情況(1)取隸屬度最大值和非隸屬度最小值；情況(2)取隸屬度和非隸屬度的平均值；情況(3)取隸屬度最小值和非隸屬度最大值。使HPFLN退化為Pythagorean模糊語言數(shù)(PFLN)，并采取文獻(xiàn)[5]中的方法來進(jìn)行決策分析，將其計(jì)算結(jié)果與本文方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，比較結(jié)果如表3所示。

表3 不同方法的結(jié)果比較

根據(jù)表3可知，在三種情況下采取PFLWA算子計(jì)算結(jié)果與本文方法計(jì)算結(jié)果完全一致，而采取PFLN-TOPSIS方法獲得的決策結(jié)果與本文方法存在部分差異。本文方法具有以下優(yōu)點(diǎn)：(1) 文獻(xiàn)[5]的方法沒有考慮到?jīng)Q策者的心理偏好，而本文方法可根據(jù)決策者的主觀偏好選擇合適的語言刻度函數(shù)，因此得到的決策結(jié)果更加符合決策者的實(shí)際經(jīng)歷；(2) 本文方法充分考慮了專家們的不同意見，與文獻(xiàn)[5]的方法僅考慮單一意見相比適用范圍更廣；(3) 本文方法考慮到了屬性之間存在的優(yōu)先級(jí)關(guān)系，而文獻(xiàn)[5]的方法假設(shè)屬性之間是相互獨(dú)立的，因此本文方法得到的結(jié)果更加符合實(shí)際情況。

6 結(jié) 語

猶豫Pythagorean模糊語言集是Pythagorean模糊語言集的進(jìn)一步拓展，更適用于表達(dá)模糊語言的信息。本文定義了猶豫Pythagorean模糊語言集的基本概念，依次提出了猶豫Pythagorean模糊語言優(yōu)先級(jí)加權(quán)平均(HPFLPWA)算子和猶豫Pythagorean模糊語言優(yōu)先級(jí)加權(quán)幾何(HPFLPWG)算子，并結(jié)合了具體的算例，有效地解決了屬性之間存在優(yōu)先級(jí)關(guān)系的Pythagorean模糊語言多屬性群決策問題，豐富了Pythagorean模糊語言決策方法。