數學實驗教學支持體系的要素設計*

(江蘇省蘇州市教育科學研究院 215000)

數學實驗課程作為“向實踐學習的課程”，不止于為“教好數學”提供支撐，更在于為“學好數學”提供服務，促進核心素養培育從而提高人的生活品質．從認知心理學來說，數學實驗教學支持體系是心理過程要素與心理過程要素關系的集合體系，較為復雜．這里主要從心理資源調用、信息資源識別以及工具資源選擇等三個維度進行設計，具體涉及“實體性與情境性”“結果性與命題性”“符號化與探究性”的要素與要素之間的關系．

本文以“中心對稱與中心對稱圖形”為研究載體，設計數學實驗教學支持體系的若干要素，為數學實驗教學提供實踐導向和動力支持，突出核心素養培育特征，更好地實現新時期“立德樹人”根本任務．

1 心理資源調用，為數學實驗教學從實體性轉向情境性提供支持

心理資源是知識、技能、態度以及價值觀的總和，是關鍵能力和必備品格的內在支持條件，是心理素養抑或心理品質的替代概念．如舉一反三、換位思考以及類比化歸等思想方法，都是調用心理資源的基本方式，反映一個人內在的學習素養．有研究者基于這一認識，認為“核心素養可以界定為個體在特定情境中調動認知與非認知的心理資源，成功滿足復雜需要的能力.”[1]

對數學實驗教學來說，這里的“認知資源”主要包括客觀的知識和精確的結論，“非認知資源”主要包括實驗態度、實驗情感以及數學的科學精神．

例如，在研究“中心對稱與中心對稱圖形”起始概念時，可以類比“軸對稱與軸對稱圖形”起始概念教學的實驗流程，包括整體(軸對稱圖形)與局部(軸對稱)的哲學關系．其間，類比研究的過程就是調用認知(概念、性質、圖形變換等)與非認知(實驗剪紙、數學的眼光看問題、“做數學”“說數學”“用數學”等智慧)的心理資源的過程．換句話說，心理資源調用的過程就是個體在面對復雜、不可預測情境時有效解決復雜問題的過程．像通過“做中學”，將實體性知識(概念等)轉化為情境性知識，將客觀性知識轉化為主觀性知識，將精確的結論轉化為實踐經驗，這些都是數學實驗調用心理資源的例子，有助于學生學好數學．

很顯然，一個人如果不能將實體性知識轉化為情境性知識，那么存儲的知識是沒有意義的，不會給成長帶來幫助，也就無法將客觀的知識轉化為生活智慧．

例如，我們研究函數，不止于獲得函數概念、圖象性質以及變量思想，更在于用函數的變量思想解決問題，形成動態發展的眼光、換位思考的能力以及預期未來趨勢的意識，這才是函數教育的本質．也就是說，通過“動手‘做’數學”和“數學地思考”，在調用心理資源的支持下，將實體性知識及時上升為問題解決的能力，知識才是生產力(這里有必要說明一下，培根的著名論斷“知識就是力量”已眾所周知，但殊不知知識只有轉化為能力才是力量，這理應是“知識就是力量”的下一句)，客觀知識才是數學智慧．只有這樣，數學實驗課堂才能成為學生“帶得走的課堂”，也才能促進教師教好書、育好人．

心理資源的調用不僅意味著個體擁有這些構成性的資源，還意味著在特定的時間內，在一個復雜的情境中恰當地運用這些資源，并能使這些資源協調地結合起來．用中心對稱知識來研究設計中國結、民間剪紙、汽車圖標等實驗操作活動，就是心理資源調用的常見例子．

為此，在數學實驗教學中，心理資源調用至少要做好三個方面的實驗教學支持工作：(1)用數學的眼光看生活，落地數學服務生活的目標；(2)用類比的眼光看數學，有助于將實體性知識上升為情境性知識；(3)用變量的眼光設計數學實驗，有助于將客觀的知識轉化為實踐能力．這樣調用心理資源，能夠有效地促進學生將知識化為能力，將經驗化為素養，將實驗轉化為智慧．

上述“中心對稱和中心對稱圖形”起始概念的教學就很好地遵循了初中學生的認知規律和知覺學習的心理規律，調用了旋轉概念等客觀知識、類比軸對稱與軸對稱圖形以及調用“雙魚戲水”等傳統文化知識，為數學實驗教學提供了必要的支持．在數學與生活同行目標的導航下，實現將實體性知識，轉化為情境性知識．進而在做中學、在做中思考的支持條件下，抽象出起始概念“中心對稱”和“中心對稱圖形”．

這樣引進課題，發展了學生的認知素養和心理認知水平．其具體實驗操作過程設計如下：

首先，設置如圖1的序列組合問題，將三角紅旗繞旗桿的底端旋轉成60°, 90°, 120°和180°的狀態，讓學生感知中心對稱圖形的本質就是特殊的旋轉變換，進而從圖1的第4個圖抽象出中心對稱與中心對稱圖形的初始概念(即一個圖形繞著某一點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關于這點對稱，也稱這兩個圖形成中心對稱；把一個圖形繞著某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形)．

圖1

其次，類比“軸對稱與軸對稱圖形”的概念關系，設置如圖2的雙魚戲水剪紙觀察活動，旨在讓學生類比“軸對稱與軸對稱圖形”的關系，建立“中心對稱與中心對稱圖形”的關系(如果把成中心對稱的兩個圖形看成一個整體，則就是中心對稱圖形；如果把中心對稱圖形看成是兩個圖形，則就說這兩個圖形成中心對稱)，從而形成對稱關系的系統概念．

圖2

最后，讓學生舉例說明：哪些常見的圖形是中心對稱圖形？(如線段、平行四邊形、矩形、菱形、正方形和圓等.)旨在讓學生將靜態的知識轉化為實踐能力，發展學生舉一反三的意識以及預思能力．

如果說“三角紅旗的旋轉”是用數學的眼光看生活，那么“雙魚戲水”活動則是用類比的眼光看數學，而舉例說明就是將實體性知識轉化為情境性知識的有效載體．這種調用心理資源的實驗方式，一方面為學生“學好數學”提供了實驗支持，另一方面發展了學生的數學素養和實踐能力，這就是新時期數學實驗的育人力量．

2 信息資源識別，為數學實驗教學從“結果性”轉向“命題性”提供支持

信息資源是個大概念，包括主體信息、問題信息、技術信息和環境信息等要素和相關要素關系特征，較為龐雜．這里主要從信息資源的“表征”維度進行研究，主要包括動作信息表征、圖形信息表征、符號信息表征等三個認知階段的信息資源的識別與系統加工，在“用中做”“用中思考”“用中批判”等素養行為的支持下，將“結果性知識”轉化為“命題性知識”(過程性知識)，將“陳述性知識”轉化為“程序性知識”，將“學術性知識”轉化為“教育性知識”，落實知識的獲得、保持與遷移目標，進而促進學生的成長、成人與成才．

在布魯納(Bruner)看來，“學生的認知是按動作表征、圖形表征和符號表征的順序發展的，從感知逐漸過渡到形象，最終完成知識的抽象．”[2]基于認知心理學，這里的“動作表征”可以理解為感知做數學，“圖形表征”可以理解為直觀地知覺數學，“符號表征”可以理解為數學抽象；基于信息加工學，動作表征就是動作系統信息加工(觀察、折、剪、數、算等)，圖形表征就是圖象系統信息加工(畫圖、算圖、說圖)，符號表征就是符號系統信息加工(符號運動、符號意識、符號思想等代數思維).學生獲得這些結構性知識，學生的數學智慧必然增長，其數學才干自然上升，這就是數學實驗的優勢和不可替代性，這也是數學實驗行為前沿、理念前瞻的支持條件．

同時，自帶設備模式BYOD(bring your own device)為隨時隨地地進行數學實驗提供了技術支持，也為數學實驗融入課堂創造了條件．[3]這就意味著，好的數學實驗需要“信息技術+”的恰當支持(譬如，EN5技術、班級優化大師、以及畫板技術、圖形計算器等)，方能讓信息資源的識別與加工有序進行，也才能讓“結果性知識”(概念的描述)轉化為“命題性知識”(概念的形成與使用)、陳述性概念轉化為程序性知識運用，進而促進人的充分發展和深度認知沖突．這就是數學實驗的理性價值和最高境界，也是數學實驗育人的本質所在．

在美國哲學家羅蒂(Rorty)看來，“傳統知識論在追求知識作為自然之境的過程中，忽略了知識作為一個命題結構(過程性知識)，即知識自身需要內蘊人與人、人與群體的辯護、確證．”[4]也就是說，實驗教育的目的不是讓學生加工出結果性概念，而是讓學生通過“用數學”將結果性概念轉為問題解決能力、實踐智慧和生活能力．正如盧梭的觀點，“愛彌兒的知識不多，我的目的不是教給他各種各樣的知識，而是教他怎樣在需要的時候取得知識，是教給他準確地估計知識的價值，是教給他愛真理勝于一切．”[5]

為此，在信息資源識別維度上，數學實驗教學需要做好三方面的價值判斷工作，方能將結果性知識轉化為命題性知識，進而實現“過程”大于“結果”的課程建設目標．這三方面的工作是：(1)動作信息表征，將陳述性知識轉化為程序性結構；(2)圖形信息表征，將結果性知識轉化為命題性能力；(3)符號信息表征，將學術性知識轉化為教育性智慧，進而在實現“教好書”的同時“育好人”．

在教學“中心對稱與中心對稱圖形”的性質時，就可以通過信息資源的識別與加工，讓學生在“用圖和算圖”的過程中，將結果性知識轉化為命題性知識，實現認知沖突和深度元認知沖突，建立概念與概念關系體系，以此驅動核心素養的外顯和數學才干的增值．具體實驗實施流程設計如下：

第一步，通過“畫” 概念的思維方式，讓學生在透明紙上畫出四邊形ABCD和點O，用大頭針釘在點O處，把四邊形ABCD繞點O旋轉180°(圖3)，旨在讓學生通過動作加工，寫出自己的發現(四邊形ABCD繞點O旋轉180°后，能與四邊形A′B′C′D′重合)．這就是將結果性概念轉化為動作程序加工的一個例子，有助于用以致學．

圖3

第二步，通過“算” 概念圖形加工的方式，讓學生揭示每一對對應點與對稱中心的關系(在圖3中，成中心對稱的兩個圖形里，對應點的連線經過對稱中心且被對稱中心平分)，驅動圖像加工機制的有效產生．這就是將結果性知識轉化為命題性知識的一個樣例，有助于學生形成良好的認知結構．

第三步，通過“用” 概念的思維方式，讓學生在“旋轉變換”思維的參與下，遵循特殊到一般思想(在圖4中，前兩個圖是將直角三角形、等邊三角形旋轉180°構造的，表征軸對稱圖形關系；后兩個圖是變換得來的平行四邊形和等邊三角形組合圖，鮮明地反映中心對稱圖形的基本性質)，輸出“中心對稱圖形”的性質表達過程，突出概念和概念關系的教育性，有助于學生“學好數學”和“好學數學”．

圖4

3 工具資源選擇，為數學實驗教學從“符號化”轉向“探究性”提供支持

有學者明確指出，“要充分發揮數學的科學技術功能和文化教育功能”，并提出要恰當地操作好8個變量，即“數學的返璞歸真教育、數學教學中的美育、數學的發現法教育、數學家的優秀品質教育和數學史志教育，數學中的演繹推理、合情推理和一般解題方法的教育”[6]．這里的“返璞歸真”就是教書育人并重，“學科美育”就是德美同行，“發現”就是虛擬實驗和實驗創造，“品質教育”就是情懷價值觀教育，“史志教育”就是文化傳承和數學精神教育，“邏輯推理及其思想方法”教育就是“關鍵能力”和“必備品格”的教育培養．

基于上述認識，可以說，好的數學實驗教育需要具有工具先行意識，需要進行工具資源的選擇與支配，讓認知與實驗工具同行，讓知識與信息技術并重．數學實驗教育之所以能讓學生興趣滿滿，給數學課堂帶來不一樣的學習風景，讓不同人獲得不同的數學發展，就在于工具先行意識的統領，尤其是硬軟件工具的配備，能有效地提高數學智慧．如果條件允許的話，可以讓學生自帶移動設備，讓教室成為實驗室．

隨著校園“WiFi信號”的覆蓋，學生可以在移動設備上運行數學軟件，如幾何畫板、GeoGebra等都有利于師生的實驗操作和互動探究．當然，工具資源的選擇意味著，數學不是絕對真理的堆積，而是知行合一、共建共享，是在證偽與證實的交替中螺旋地向前發展．這就是數學實驗的動力體系，也是數學實驗朝向現代化的內部力量．

事實上，工具資源的選擇起于符號運動，成于實驗探究，終于核心素養的培育．查理德·羅蒂在《哲學和自然之境》[4]一書中指出，“知識不是觀念或字詞與對象之間的特殊關系的問題，而是對話問題，是社會實踐問題”．顯然，數學實驗作為“向實踐學習”的哲學，是對話哲學，也是實踐哲學．對話意味著工具的選擇與符號運動(數學關系)，實踐意味著工具先行和關系探究．因此，工具資源的有序選擇，是數學“符號化”轉向“探究性”的支持條件．簡單說，數學關系性理解離不開實驗工具的選擇和探究活動的支持．當然，從“工具選擇”到“數學智慧”還有一定的認知心理距離．

為此，新時期開展數學實驗教學，還需要手腦并用才能轉識成智，才能成人成才．腦科學研究顯示，人的大腦皮層負責高級認知和情緒情感活動，它由額葉、頂葉、枕葉和顳葉四個區域組成，分別有著不同的功能．額葉以軀體運動功能為主，頂葉以身體感覺功能為主，枕葉以視覺功能為主，顳葉以聽覺功能為主，這些感覺區和運動區以工具資源選擇為支配條件，在實驗活動的參與下，使得“符號化關系”轉向“探究性發現”，進而在知識創造的背后經歷補償與反思，肩負起教好書、育好人的歷史重任．

在“中心對稱與中心對稱圖形”的結課環節中，可以基于工具資源選擇維度(班級優化大師等)，讓學生手腦并用，在“說”數學、“玩”數學和“創造”數學中，將符號化數學轉化為探究性數學．具體過程包括三個方面：

第一，讓學生設計扇葉的運動變化過程(如圖5，選擇圓規工具資源，構造基本扇葉)，在旋轉思維的幫助下，構造“中心對稱圖形”和“軸對稱圖形”，發展逆向思考能力和反問監控能力，實現“活動”與“思考”同頻目標．

圖5

第二，讓學生選擇英文字母，作為思維交流工具載體，落實探究性目標．其中，在圖6中，第一組字母的共性是揭示軸對稱圖形特征，第二組字母的共性是反映中心對稱圖形特征，第三組字母的共性是既帶有軸對稱圖形特征又帶有中心對稱圖形特征．

圖6

第三，在圖7中，說出三角紅旗構圖(EN5信息技術環境)、“雙魚戲水”以及基本圖形構圖的對稱性(正方形、圓、正六邊形等)，在軟件思維的幫助下讓學生經歷返璞歸真教育和美育教育以及合情合理教育，讓學生在數學地說中揭示生活本質，在回歸概念中創造數學美和生活美．

圖7

總之，讓學生在手腦并用、“眼觀六路，耳聽八方”的數學活動中，提高數學情懷和生活智慧，這就是數學實驗給數學教育帶來的最大貢獻．另外，為了增值數學實驗的經驗水平，筆者認為還需要通過問題解決提高學生的預學預思能力．可以追加思考：“在平行四邊形、矩形、菱形、正方形以及等腰梯形中，哪些是軸對稱圖形？哪些是中心對稱圖形？哪些既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形？”這樣，有助于學生“用以致學”，讓學生在獲得數學智慧的同時，不留痕跡地進行成人成才的教育．

從廣義的視角來看，數學實驗教學支持體系是指教學操作系統諸要素與支撐系統要素間的關聯及其相互作用，包括外部支持體系和內部支持體系兩個部分．這里主要是從外部支持體系的構建進行思考并設計的，旨在基于外部資源視角從心理調用、信息識別和工具選擇三個維度進行設計，為數學實驗教學提供支持，實現從“教好書”到“育好人”的目標轉變．其實，從內部支持體系來看，還包括概念發生系統、思維還原系統、經驗重構系統以及問題支架系統等的構建與設計，這些要素是實驗教學支持系統內最活躍的因素，既可以促進學生認知經驗的增值水平提升，又可以有效發展學生的心智技能和數學智慧．限于篇幅，另文研究．