借助問(wèn)題驅(qū)動(dòng) 促進(jìn)素養(yǎng)提升
——以高三專題復(fù)習(xí)“動(dòng)態(tài)空間幾何中的最值問(wèn)題”為例

賴忠華 (浙江省龍游縣教師進(jìn)修學(xué)校 324400)

徐麗峰 (浙江省江山中學(xué) 324100)

美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說(shuō)：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟．”數(shù)學(xué)的研究與發(fā)展都是以問(wèn)題為中心的.新課改強(qiáng)調(diào)問(wèn)題在學(xué)習(xí)中的重要性，主張通過(guò)問(wèn)題來(lái)學(xué)習(xí)，把問(wèn)題作為學(xué)習(xí)的起點(diǎn)和動(dòng)力貫穿在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程之中，并通過(guò)學(xué)習(xí)來(lái)生成問(wèn)題、深化問(wèn)題，把學(xué)習(xí)看成是發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的不間斷過(guò)程．“變式教學(xué)”是我國(guó)數(shù)學(xué)教育的重要特色之一，它通過(guò)不同的角度、不同側(cè)面、不同背景，從多個(gè)方面變更所提供的數(shù)學(xué)對(duì)象的某些內(nèi)涵以及數(shù)學(xué)問(wèn)題的呈現(xiàn)形式，使數(shù)學(xué)的非本質(zhì)特征時(shí)隱時(shí)現(xiàn)而本質(zhì)特征保持不變的教學(xué)形式[1]．盡管數(shù)學(xué)題型千變?nèi)f化，但其都有深層的“根”存在著，通過(guò)尋找“題根”與變式，進(jìn)而結(jié)成“題網(wǎng)”即問(wèn)題鏈[2]，用此精心設(shè)計(jì)的“題網(wǎng)”式問(wèn)題鏈驅(qū)動(dòng)知識(shí)的建構(gòu)，探究、促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善，對(duì)激發(fā)學(xué)生的求知欲和潛能，提高課堂效率，培養(yǎng)和落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，能起到很好的效果．高三備考復(fù)習(xí)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的最后階段，也是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的高度概括總結(jié)和提煉拔高階段，教師如何通過(guò)有效“題網(wǎng)”式問(wèn)題鏈，讓學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中對(duì)知識(shí)進(jìn)行組織、整理、升華顯得尤為重要．本文以高三專題復(fù)習(xí)課“動(dòng)態(tài)空間幾何中的最值問(wèn)題”為例，做部分嘗試并交流教學(xué)體會(huì)，希望能給廣大讀者以啟發(fā)．

1 教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)述

1.1 問(wèn)解與提煉

圖1

圖2 圖3

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)人教A版選修2-1中的一道習(xí)題引入，能降低思維起點(diǎn)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與課堂．通過(guò)坐標(biāo)法和幾何法兩個(gè)角度構(gòu)造函數(shù)模型解決最值問(wèn)題，幫助學(xué)生歸納、總結(jié)、提煉動(dòng)態(tài)空間幾何中的最值問(wèn)題的解題策略之一，即引入?yún)?shù)(變量)構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，提高學(xué)生的直觀想象能力和數(shù)學(xué)建模能力．

變式1(2011年遼寧賽區(qū)預(yù)賽第6題)在如圖4的試驗(yàn)裝置中，正方形框架邊長(zhǎng)都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF．活動(dòng)彈子M，N分別在正方形對(duì)角線AC，BF上移動(dòng)，使得MN∥平面CBE，求MN的最小值．

圖4 圖5

分析 由已知條件知AB⊥CB，AB⊥BE，所以AB⊥平面CBE．因?yàn)镸N//平面CBE，故AB⊥MN．如圖5所示，過(guò)M作MP⊥AB于點(diǎn)P，連結(jié)NP，則AB⊥平面MPN，所以AB⊥NP． 過(guò)M作MQ⊥BC于Q，因?yàn)椤鱉QC，△BPN都是等腰直角三角形，且MQ=BP，所以△MQC≌△BPN，從而CM=BN，即由MN∥平面CBE可以推出CM=BN，變式1轉(zhuǎn)化為課本習(xí)題．

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)對(duì)變式1的分析，讓學(xué)生感悟同一問(wèn)題的不同表述方式，感受數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的相互聯(lián)系．學(xué)生雖然能較直觀地想象出變式1與課本習(xí)題的等價(jià)性，但缺少嚴(yán)密的邏輯推理．實(shí)際教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生充分暴露思維過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密性，培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題的習(xí)慣，提升直觀想象、邏輯推理和轉(zhuǎn)化化歸能力．

1.2 探究與發(fā)現(xiàn)

圖6

變式2如圖6，ABEF是邊長(zhǎng)為1的正方形，弧APB是以AB為直徑的半圓，且AP=BP，平面ABEF⊥平面ABP，若M，N是線段BF上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足∠MAN=30°，求三棱錐P-AMN體積的最小值．

圖7

圖8

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)改編問(wèn)題的背景和目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)教材的二次開發(fā)．在求體積最小值的過(guò)程中，將三維(體積)轉(zhuǎn)化為二維(面積)，讓學(xué)生感受轉(zhuǎn)化與化歸思想的重要性，并促使學(xué)生從多角度(如引入邊參數(shù)、角參數(shù)等)構(gòu)造函數(shù)模型，多維度分析解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生一題多解的思考習(xí)慣．

圖9

變式3如圖9，ABEF是邊長(zhǎng)為1的正方形，弧APB是以AB為直徑的半圓，且AP=BP，若M，N是線段BF上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠MAN=30°，求三棱錐P-AMN體積的最大值．

設(shè)計(jì)意圖變式3增加了翻折這一動(dòng)態(tài)因素，形成多動(dòng)態(tài)最值問(wèn)題．通過(guò)類比變式2，將多變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題，比較變式2的解法1、解法2，選擇三角函數(shù)求最大值，加深對(duì)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的認(rèn)知，促使學(xué)生深度理解、類比探究、選擇應(yīng)用，這是學(xué)習(xí)能力逐步提升的階梯．

1.3 拓展與提升

圖10

變式4(2016年浙江高考理科第16題)如圖10，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PD=AD，PB=AB，則四面體PBCD體積的最大值是．

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)變式4，深度理解建立函數(shù)模型解決動(dòng)態(tài)空間幾何中的最值問(wèn)題的基本步驟和方式，讓學(xué)生感悟解題不只是關(guān)注結(jié)果，更重要的是如何選擇最佳的路徑，引入最合適的參數(shù)，采用最合理的運(yùn)算等，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

變式5(2019浙江賽區(qū)預(yù)賽第5題)如圖10，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PD=AD，PB=AB，則點(diǎn)P到平面BCD距離的最大值是．

圖11

解法2 如圖11所示，過(guò)A作AH⊥BD，則點(diǎn)P到平面BCD的距離d≤AH，當(dāng)且僅當(dāng)平面PBD⊥平面BCD時(shí)取等號(hào)．隨著D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)H形成的軌跡是以AB為直徑的一段(大于半圓的)圓弧，故AH的最大值為直徑AB，即點(diǎn)P到平面BCD的距離的最大值為2．

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)變式5的分析、解答，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)問(wèn)題的相互聯(lián)系，體會(huì)高考題、競(jìng)賽題的源與流，消除對(duì)動(dòng)態(tài)立體幾何問(wèn)題的畏難情緒，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．

1.4 回顧與總結(jié)

回顧本專題的學(xué)習(xí)過(guò)程，總結(jié)用函數(shù)模型解決動(dòng)態(tài)空間幾何中的最值問(wèn)題的一般過(guò)程，深化理解數(shù)學(xué)問(wèn)題分析過(guò)程中體現(xiàn)的類比推理、轉(zhuǎn)化化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法．

設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)理解的一個(gè)基本要求就是讓學(xué)生理解知識(shí)、掌握思想方法．回顧不是簡(jiǎn)單地回頭望，而是重新審視自己經(jīng)歷的過(guò)程，提煉過(guò)程中的精華，將新舊知識(shí)進(jìn)行有效的重組與融合，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

2 教學(xué)反思

動(dòng)態(tài)空間幾何中的最值問(wèn)題是一類綜合性問(wèn)題，注重考查學(xué)生的空間想象能力、抽象思維能力、轉(zhuǎn)化構(gòu)造能力．因此在高考、競(jìng)賽中備受命題人的關(guān)注．這類問(wèn)題?？汲Ｐ拢忸}方法主要有代數(shù)法：通過(guò)引入變量(參數(shù))將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題加以解決；幾何法：結(jié)合問(wèn)題特點(diǎn)，通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、展開等手段，將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題加以解決．本專題結(jié)合近幾年浙江省高考(競(jìng)賽)命題特點(diǎn)和學(xué)生學(xué)習(xí)情況，重點(diǎn)講述用代數(shù)法解決動(dòng)態(tài)空間幾何中的最值問(wèn)題．

(1)問(wèn)題是數(shù)學(xué)知識(shí)的載體，是數(shù)學(xué)思維的源泉，問(wèn)題設(shè)置的有效性是有效課堂教學(xué)的核心，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始于問(wèn)題且終于問(wèn)題．在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，特別是高三備考復(fù)習(xí)教學(xué)中，嘗試運(yùn)用“題網(wǎng)”式問(wèn)題鏈組織教學(xué)，不但有助于激發(fā)學(xué)生的探究欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能直擊并有效突破教學(xué)重難點(diǎn)，促進(jìn)知識(shí)的聯(lián)系、滲透和遷移，提升課堂教學(xué)效果，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維．而“題網(wǎng)”式問(wèn)題鏈設(shè)置的一條重要途徑是以教材為本，研究教材，找到設(shè)置的知識(shí)點(diǎn)，并結(jié)合不同階段的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)、學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)等精心設(shè)計(jì)、難易相當(dāng)，使其成為引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的指明燈[3]．本專題從課本的習(xí)題出發(fā)，在吃透教材、明確習(xí)題考查的知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，采用變換題干、改變角度、轉(zhuǎn)化背景等方式，精心設(shè)計(jì)“題網(wǎng)”式問(wèn)題鏈，并通過(guò)開展扎實(shí)有效的探究活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

(2)探究性教學(xué)是以探索和研究為主的教學(xué)，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)是探究性教學(xué)常用的教學(xué)手段，以問(wèn)題為引領(lǐng)的探究性教學(xué)是提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的有效途徑．為此，教師應(yīng)明確所教學(xué)生的認(rèn)知水平與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，找準(zhǔn)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，充分抓住某些典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)設(shè)置“題網(wǎng)”式問(wèn)題鏈優(yōu)化課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)探究的情景．在教會(huì)學(xué)生通性通法的基礎(chǔ)上引導(dǎo)他們多角度、多層次地探究不同的思考方式，架起學(xué)生現(xiàn)有發(fā)展水平與潛在發(fā)展水平之間的橋梁，使學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法的理解與掌握，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)提高數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，增強(qiáng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．

(3)學(xué)生始終是學(xué)習(xí)的主體．構(gòu)建主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者在一定的社會(huì)文化背景下，利用一定的學(xué)習(xí)資料，通過(guò)構(gòu)建的方式來(lái)獲得知識(shí)的過(guò)程．弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)方法的核心是學(xué)生的“再創(chuàng)造”，就是讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)活動(dòng)中通過(guò)自己的實(shí)踐和思考去創(chuàng)造、去獲取數(shù)學(xué)知識(shí)，而不是生吞活剝地將數(shù)學(xué)知識(shí)灌輸給學(xué)生．為此，在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該在情境創(chuàng)設(shè)、交流合作、反思評(píng)價(jià)、誘導(dǎo)遷移等方面實(shí)施有指導(dǎo)的再創(chuàng)造，并把再創(chuàng)造的教學(xué)變成一個(gè)不斷增值的過(guò)程，將所學(xué)的各個(gè)部分有機(jī)地結(jié)合起來(lái)．“題網(wǎng)”式問(wèn)題鏈?zhǔn)怯行У幕顒?dòng)載體之一，它通過(guò)題題相連、層層深入，啟發(fā)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象有效抓住問(wèn)題的本質(zhì)，拓展思維空間，促使學(xué)生構(gòu)建出屬于自己的解題結(jié)構(gòu)與經(jīng)驗(yàn)．通過(guò)總結(jié)歸納解題思路和方法，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)整體知識(shí)結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，在解決問(wèn)題的同時(shí)鍛煉學(xué)生獨(dú)立思考能力與合作交流精神，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

總之，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，采用“題網(wǎng)”式問(wèn)題

鏈的教學(xué)方式，能有效提升教學(xué)的針對(duì)性和有效性．“題網(wǎng)”式問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì)需要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)教師的智慧，并結(jié)合學(xué)情，以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維、探究能力為目的，才能達(dá)到最佳的教學(xué)效果．