多種教學理論視角下的排列概念教學設計*

劉 藝 趙思林 (內江師范學院數學與信息科學學院 641110)

高 崢 (四川省成都市第七中學 610000)

教學的根本原理可以歸結于一句話：教是為了學．數學教學以學生的意義學習、認知加工和知識內化為基本目標，其歸宿是為了學生的學習．數學學習作為一種復雜的、交互的、動態的腦力活動，應遵循學習的規律和學習的理論．排列概念作為概念教學的一個難點，適宜整合多種教學理論，并應充分運用知識邏輯、教學邏輯、學習邏輯等規律．具體地說，運用知識邏輯要考慮排列蘊涵的兩大數學觀：一是數學模型觀(排列的定義與排列數公式均是數學模型)，二是注意“元素”和“位置”的相對性；對于教學邏輯，在觀照學生學情的前提下，排列概念的教學以APOS理論的四步程式為“教學路線”，排列數公式的發現以發現式教學法“激發創意”，教學全過程以問題串的方式“點燃思維”，教學目標以培養數學核心素養為“目標歸宿”(圖1)；對于學習邏輯，既要了解學生的學習需求、能力水平、認知風格，又要考慮認知沖突的設計、學習動機的激發、深度思維的參與，還要考慮學習材料(如問題、例題、練習等)的組織及呈現的時機和方式，此外，學習邏輯應體現主體參與、操作感知、意義建構、認知理解、知識遷移、形成圖式等學習過程．

圖1 排列概念的教學理念圖

1 教學理論概述

1.1 APOS教學理論

杜賓斯基(Dubinsky)提出的APOS理論是數學概念教學的重要理論．該理論認為學生學習數學概念需要在已有知識、經驗的基礎上，經過四步程式，即操作(action)階段、過程(process)階段、對象(object)階段、圖式(schema)階段[1]，主動建構新知識的意義，形成數學知識、數學技能和數學觀念的圖式．“排列”對高二學生來說是一個半舊半新的概念，學生處于似懂非懂的認知狀態.似懂是指對“排列”概念的字面意義學生懂一點，非懂是指對“排列”嚴格定義中的“元素”“順序”等概念并非真正地懂．因此，排列概念的教學可按照問題情境、抽象概括、提煉定義、公式推導等過程展開．此過程恰好與APOS理論的四步程式(操作→過程→對象→圖式)構成一一對應．因此，排列概念的教學流程適合以APOS理論的四步程式為“教學路線”，這體現了“過程與方法”教學理念．

1.2 問題驅動教學理論

“問題是數學知識的心臟”，“問題是數學教學的心臟”，問題是“四能”教學的焦點，“四能”是學習目標的靈魂．數學知識需要問題來發動，數學教學需要問題來驅動，數學學習需要問題解決來行動．APOS理論的每一步都與問題密切相關．事實上，“操作→過程→對象→圖式”中每一步的實施都可用“問題”來串聯，這更有利于激活學生的持續思維和深度思維．問題驅動教學理論的本質就是問題串的教學．問題串有這樣一些特點：指向一個目標抽絲剝繭式追問；各子問題之間符合知識間內在的邏輯聯系；各子問題存在一定的思維空間，符合自主建構知識的情境[2]．問題串的活用有助于學生獲得數學思維素養．

1.3 發現式教學理論

波利亞在《數學的發現》中指出：“學習任何東西的最好的途徑是自己去發現．”[3]發現式教學是指學生在教師指導下成為數學知識“再創造”者的一種教學方法，即讓學生通過觀察、思考、討論、歸納、猜想等方式，主動地去發現問題、提出猜想、證明猜想、獲得知識、應用知識．排列數公式的發現可采用“試算→觀察→歸納→猜想→證明”的方法，引導學生從問題1和問題2的特例計算中歸納并猜想出排列數公式，最后給予證明．

2 教學分析

(1)教學內容分析

排列在人教版A版《數學(選修2-3)》第1章第2節，內容相對獨立，自成體系．本節緊接在兩個基本計數原理之后，是學生學習概率統計的知識基礎．

(2)教學目標

讓學生經歷問題情境、抽象概括、提煉定義、發現公式等過程，理解排列和排列數的概念，掌握排列數公式的推導，了解排列的數學觀，能夠解決一些實際問題，培養數學抽象、數學建模、邏輯推理、數學運算等核心素養．

(3)教學重點和難點

重點：排列的概念，排列數公式．

難點：排列的數學觀，實際問題的建模．

3 教學過程

3.1 問題引入——操作階段

此階段讓學生接觸問題情境，感知、認識并抽象概括4個小題的共同特點．

問題1(1)北京、成都、上海之間的高鐵(只考慮一個班次，且每個班次只計為1類車票)，問任意兩個城市之間需要幾類不同車票？

(2)從1,2,3這三個數字中任取出兩個數字，可以組成幾個沒有重復數字的兩位數？

(3)新學期我們班要從3個學生中，選拔一名班長和一名學習委員(不能兼任)，有幾種選拔結果？

(4)現有班長、學委、體委3個空缺職務，2名學生來參選(一個職務只能有一人擔任，且不能兼任)，有幾種選拔結果？

說明：四個小組分別完成第(1)～(4)題，各小組派代表回答．

設計意圖呈現的4個問題情境貼近學生經驗，讓學生獲得對問題的感性認識．分組思考后，要求各組推選代表交流思路歷程和結果，激發學習動機，刺激學生與問題對話，這符合學習邏輯．

3.2 抽象概括——過程階段

從上一階段引導學生會用數學抽象的眼光觀察4個小題的共同特點，抽象出“元素”“順序”“占位”等核心概念，形成表象，在此基礎上得到排列的樸素概念．

問題1.1 問題1中的對象有哪些？各共有幾個對象？取出來的對象是怎樣安排的？

預設：學生、職位、城市、數字；各有3個對象；“選取出來的對象按照一定順序排成一列”．

追問：怎樣理解“順序”？怎樣把“順序”直觀地表示出來？

由此預設引出“元素”“占位”的概念．

問題1.2 用“元素”“占位”概念敘述問題1；問題1中4個小題的情境雖不同，但其背后的數學結構(即數學模型)是否相同？能否建立一個數學模型？

預設：數學模型,取元素，占位置．簡化得：“取元，占位”．

問題1.3 在問題1中，(3)(4)的“元素”和“位置”分別是什么？

設計意圖設置4個小題，讓學生認識雖然問題的情境不同，但其數學的本質(結構/模型)相同． (1)通過抽象得到“元素”和“順序”的概念，這里“順序”的概念是從“取出來的元素按照一定順序排成一列”里抽象出來的；(2)怎樣比較簡便地對“順序”進行“操作”，或怎樣直觀地表征“順序”？結合實例讓學生理解體現“順序”就是占“位置”；(3)綜上可概括出排列的數學模型：“取元素，占位置”，簡化得“取元，占位”，再簡化得“取元占位”，這里經歷的三次簡化就是三次抽象；(4)問題1的4個小題都可以歸結為“從3個不同元素中取出2個元素，然后把這2個元素按照一定的順序排成一列，叫做從3個不同元素中取出2個元素的一個排列”，這個敘述太長，可簡化為“從3個元素取2個元素，然后讓2個元素去占2個位置”，再簡化為“從3個元素取2個去占位”，這里用了兩次抽象．從知識邏輯來看，我們得到了排列的數學模型，即“取元占位”，這個“口訣”比排列的定義簡單了很多，符合把“復雜知識講簡單”的教學邏輯，也符合“口訣易學”的學習邏輯； (5)問題1.3的作用在于讓學生理解“元素”和“位置”的相對性，即在不同的情境下，“元素”和“位置”可以互換位置．對上述問題的分析與探究，可培養學生的數學抽象、數學模型等核心素養．

3.3 歸納推理——對象階段

在問題1的基礎上，對上一階段得到的特殊情境下的概念進行一般化，就能得到形式化的定義及符號．讓學生對“排列”這個“對象”變成一個明確的概念．

定義1：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列(arrangement)．當m

設計意圖在“抽象概括——過程階段”已經得到“從3個元素取2個去占位”的排列概念．只要把從數字3,2分別推廣成n,m，即得排列的形式化定義．此階段主要用了歸納推理、數學抽象，這可以培養學生的數學抽象、邏輯推理等核心素養．

問題2舉出幾個生活中排列的例子．

問題3下列問題哪些是排列問題？并說明理由．

(1)從2,3,4,5中任取兩個數相乘，可得到多少個不同的積？

(2)從2,3,4,5中任取兩個數相除，可得到多少個不同的商？

(3)從集合{x,y,z}中任取兩個數作成一個有序數對，可得到多少個不同的有序數對？

3.4 發現排列數公式——圖式階段

此階段，讓學生經歷“特殊→一般→猜想”的發現過程，體會排列數公式的“再創造”．讓學生將新知識納入原有知識結構，形成新的認知結構(圖式)．

讓學生經歷“從特殊到特殊，再到一般”的合情推理過程，得到猜想．

符號“!”讀作“階乘”．特別地，規定0!=1．

設計意圖(1)對問題4采用發現法教學，讓學生經歷“特殊→一般→猜想”的發現過程，培養創新思維能力；(2)猜想的證明留作課后思考或作業，讓學生帶著問題走出教室．從知識邏輯來看，我們得到了排列數的數學模型，即排列數公式．排列數公式是排列數定義的進一步數學化，符合教學邏輯和學習邏輯．問題4的教學可培養學生的邏輯推理、數學運算、數學建模等核心素養．

3.5 回顧總結，交流答疑(略)

3.6 布置作業，練習鞏固(略)

4 教學反思

(1)數學教學目標指向培養學生的數學核心素養

數學核心素養既是個體在長期的數學理解、應用、思維、發現(創造)等活動中反復修煉、自主生成的過程，也是個體對數學經驗不斷積累、反省、反證的自我體驗過程．[4]數學教學重視數學觀的教學是知識邏輯之應然，有助于學生獲得數學思想素養，并把數學知識上升到數學觀念的水平．運用APOS理論的四步程式，體現了“過程與方法”教學理念，學生可獲得“四能”素養；運用發現教學理論可讓學生經歷“再創造”排列數公式的過程，有利于培養學生的創新意識；數學思維的鮮花永遠生長在問題串的土壤上，問題串揭示了問題驅動教學理論的核心機制，問題串的活用有助于學生獲得數學思維素養．因此，提煉排列的數學觀、運用APOS理論、發現教學理論和問題驅動教學理論，都指向培養學生的數學核心素養．

(2)充分發揮數學問題的“心臟”功能

問題是知識邏輯、教學邏輯、學習邏輯的心臟．問題在實現“情境→問題→知識”的過程發揮著橋梁作用，基于問題與問題解決的教學是數學教學的基本理念，問題是體現學習邏輯、實現學習方式多樣性的基本載體．借助問題串教學，讓學生充分暴露思考過程和各種邏輯錯誤，并促進深度思考和批判性思維；通過問題解決，讓學生提高分析問題、探究問題和解決問題的能力，并增加學習的獲得感；通過追問，讓學生拓展思維的廣度、深度和厚度，并促成全腦思維．

(3)提倡“從數學知識到數學觀念”的深度學習

數學觀對數學知識具有“高觀點”作用．提煉排列的數學觀有助于學生獲得數學思想素養，并有助于學生把數學知識上升到數學觀念的水平.這節課凝練了兩大數學觀：一是數學模型觀(排列是一種數學模型——取元占位，排列數也是一種數學模型——排列數公式)，分別源于對問題1中4個情境的數學化和對問題4中由特殊到一般的不完全歸納法；二是概念(即“元素”和“位置”)理解的相對觀，正確理解“元素”和“位置”這兩個核心概念，是理解排列概念的有效策略[5]．數學教學設計應充分運用知識邏輯、教學邏輯、學習邏輯的內在力量．在多種教學理論指導下，發掘排列概念的數學觀，讓學生通過典型案例進行意義建構，并對排列概念經歷“從知識到觀念”的深度學習過程．