深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念 發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)
——以“直線的斜率”教學(xué)為例

陳 亮 (江蘇省華羅庚中學(xué) 213200)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》[1]指出：“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).”由此可見，數(shù)學(xué)教學(xué)要設(shè)計合理的問題情境，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程；要突出數(shù)學(xué)主線，凸顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯和思想方法；要重視學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在課堂中的落實．?dāng)?shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)體系的基石，深入數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的教學(xué)是實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)的根本所在．就中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)而言，要提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，應(yīng)當(dāng)把握好概念的本質(zhì)，促進概念的深度學(xué)習(xí)．只有拓寬概念的內(nèi)涵，實現(xiàn)概念的融會貫通，提升概念的應(yīng)用價值，經(jīng)歷學(xué)習(xí)的再創(chuàng)造過程，才可能凸顯概念教學(xué)的價值，實現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)．

下面筆者就近期參加的評優(yōu)課“直線的斜率”(蘇教版數(shù)學(xué)教材必修2)教學(xué)設(shè)計的思考與實踐，與同行們交流分享．

1 教材分析

“直線的斜率”是高中解析幾何的起始課，揭開了解析幾何研究的序幕．新課程強調(diào)單元教學(xué)，認為章起始課的教學(xué)要能起到統(tǒng)領(lǐng)全局的作用.本節(jié)課除了直線斜率的教學(xué)外，還要揭示解析幾何的本質(zhì)——用代數(shù)方法研究幾何問題．雖然不同版本教材的展開順序不同，但都圍繞“如何刻畫直線的傾斜程度”這一問題展開．本節(jié)從課程目標(biāo)看，解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)．幾何圖形的“數(shù)量化”是進行代數(shù)研究的前提，數(shù)量化是知識的邏輯起點，讓學(xué)生體驗“數(shù)量化”的過程，感受數(shù)形結(jié)合思想是解析幾何的課程目標(biāo)．從教學(xué)內(nèi)容看，“斜率”與“傾斜角”這兩個內(nèi)容都是解決“刻畫直線的傾斜程度”的，其中“斜率”是核心概念，符合解析幾何的本質(zhì)[2]．本節(jié)課教材在引入斜率時采用了初中的坡度，當(dāng)直線的傾斜角為銳角時與坡度完全吻合，而后對于傾斜角為鈍角時教材一帶而過，筆者認為這恰是教學(xué)的難點．如果從坡度來刻畫直線的傾斜程度，傾斜角為鈍角與傾斜角為銳角時應(yīng)該是一樣的，區(qū)別只是坡的朝向不同，筆者正是抓住這一區(qū)別進行教學(xué)設(shè)計的．

基于上述分析，筆者將這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為：

(1)理解直線的傾斜角與直線的斜率的概念、直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系；

(2)會求直線的傾斜角和斜率；

(3)經(jīng)歷直線斜率的形成過程和用代數(shù)方法解決幾何問題的過程，了解解析幾何的基本思想，體會數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想．

教學(xué)重點：理解直線的斜率．

教學(xué)難點：直線斜率的形成過程以及用代數(shù)方法刻畫幾何問題．

2 教學(xué)過程

2.1 拋磚引玉，構(gòu)建知識框架

問題1平面上如何確定一個點的位置？如何確定一條直線？

師：請第3列第4排的同學(xué)回答．

生1:建立平面直角坐標(biāo)系，用點的坐標(biāo)刻畫點的位置．平面上確定直線的方式：①兩點；②一點及一個方向．

設(shè)計意圖通過指定第3列第4排學(xué)生回答問題,啟發(fā)學(xué)生類比坐標(biāo)刻畫點的位置，用代數(shù)方法刻畫幾何量．

問題2x-y+1=0表示什么？為什么？

生2:表示一條直線，因為y=x+1是一次函數(shù)，其圖象為一條直線．

師：這是從形的角度來認識的.還能從其他角度認識嗎？

生2:從代數(shù)的角度認識，這是一個二元一次方程．

師：構(gòu)成直線的基本元素是什么？你能針對直線x-y+1=0舉出一些嗎？

生3：點，如(-1,0)，(0,1)，(1,2)，(2,3)，…

設(shè)計意圖這是一個開放性問題，讓學(xué)生從不同的角度認識x-y+1=0,旨在引導(dǎo)學(xué)生從已有的經(jīng)驗出發(fā)，從數(shù)與形的兩個角度進行認識；為學(xué)生經(jīng)歷解析幾何思想的形成創(chuàng)設(shè)活動場，讓學(xué)生體會曲線與方程的一一對應(yīng)關(guān)系，為后續(xù)用方程刻畫曲線奠定基礎(chǔ)．

師：這些點滿足什么共性？

生3：都在直線x-y+1=0上；坐標(biāo)具有形式(x,x+1)．

師：點(x,x+1)與直線x-y+1=0具有怎樣的關(guān)系？

生4:點(x,x+1)都在直線x-y+1=0上，直線x-y+1=0上的點都具有形式(x,x+1).

師：這應(yīng)該是從形的角度認識的．還有別的認識角度嗎？

生4:(x,x+1)是方程x-y+1=0的解，方程x-y+1=0的解都具有規(guī)律(x,x+1)．

師：如果曲線上的點與方程的解滿足一一對應(yīng)的關(guān)系(圖1)，則稱該方程為曲線的方程，該曲線為方程的曲線，曲線與方程是數(shù)與形的兩個方面．

圖1

師：所有具有形式(x,x+1)的點的集合即為直線y=x+1.這種通過研究曲線上點的坐標(biāo)之間的關(guān)系來研究曲線的學(xué)科稱為解析幾何，它是由法國數(shù)學(xué)家笛卡爾和費馬在17世紀創(chuàng)立的，其核心是用坐標(biāo)法研究幾何問題．今天我們先來研究簡單而特殊的曲線——直線．

設(shè)計意圖通過學(xué)生熟悉的一次函數(shù)圖象讓學(xué)生感受研究解析幾何問題的方法和過程，體會曲線與方程的概念，初步認識用方程刻畫曲線．將幾何對象轉(zhuǎn)化為代數(shù)對象，是用代數(shù)方法研究幾何問題的第一步，引出本節(jié)課的研究內(nèi)容——直線，讓學(xué)生對本章研究內(nèi)容和方法有一個大致的了解．

2.2 創(chuàng)設(shè)情境，引入核心問題

(學(xué)生回答略)

師：如何刻畫直線的方向是本節(jié)課要研究的核心內(nèi)容．

問題4前面我們學(xué)習(xí)解三角形時,遇到過航海中方向的刻畫問題，你還記得是如何刻畫的嗎？請舉個例子．

生5：用方位角．

師：方位角中需要幾個要素才能將方向確定下來？

生5：三個——一個基準(zhǔn)、旋轉(zhuǎn)方向和角度.

圖2

師：要使得角能刻畫方向，角與方向之間要滿足什么關(guān)系？

生6：一一對應(yīng)．

師：你能根據(jù)上述經(jīng)驗對問題3中對直線的方向進行刻畫嗎？基準(zhǔn)怎么選才能分別刻畫問題3中③和⑤(如圖2)？

生6：以x軸正方向為基準(zhǔn)，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合的位置所經(jīng)過的最小正角作為刻畫直線方向的量．

設(shè)計意圖通過實例讓學(xué)生體會直線方向的差異，直觀感知用角刻畫方向，體會數(shù)形結(jié)合的思想．從已有的活動經(jīng)驗出發(fā)，提煉用代數(shù)方式刻畫幾何量應(yīng)滿足的基本原則——一一對應(yīng)．以與本節(jié)課核心問題類似的模型為對象進行提煉，在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)創(chuàng)設(shè)活動場，使學(xué)生能尋找到刻畫直線方向的量，感悟轉(zhuǎn)化與化歸思想．

師：我們把上述刻畫直線方向的角稱為直線的傾斜角，請同學(xué)們嘗試給出傾斜角的定義(板書直線的傾斜角)．按照傾斜角的定義，角與直線的方向是否建立了一一對應(yīng)的關(guān)系？

生7：傾斜角定義沒有給出當(dāng)直線與軸平行或重合時的刻畫．

師：你覺得這種方向應(yīng)該按傾斜角定義刻畫嗎？

生7：可以認為沒有旋轉(zhuǎn)，所以可用傾斜角為0刻畫．

師：我們規(guī)定，當(dāng)直線與軸平行或重合時，傾斜角為0．至此，直線的方向與傾斜角之間是否建立了一一對應(yīng)的關(guān)系？傾斜角的范圍是什么？

生8：是一一對應(yīng)的關(guān)系，傾斜角的范圍是 [0,π)．

2.3 挖掘經(jīng)驗，自然形成概念

圖3

問題5用幾何畫板展示直線y=x與直線y=0.99x-2的圖象(圖3)，這兩條直線的傾斜程度一樣嗎？

(先給出直線，學(xué)生給出答案后再給出直線的方程)

師：由此可見，僅靠圖形判斷直線的傾斜程度是不可靠的．事實上,這兩條直線的傾斜角也是非常接近的，而通過圖形度量傾斜角也會存在一定的誤差，因此有必要考慮能否用代數(shù)方式刻畫直線的傾斜程度．

設(shè)計意圖讓學(xué)生體會直觀感知的不可靠及用代數(shù)方式刻畫直線傾斜程度的必要性，同時從邏輯上感受代數(shù)刻畫的合理性．

師：我們已經(jīng)認識到，從形上觀察，直線可以由“一點+方向”或者兩點決定，那么是否意味著直線的方向也可以由“數(shù)”即兩點的坐標(biāo)決定？接下來我們繼續(xù)研究能否利用兩點坐標(biāo)刻畫直線的傾斜程度．首先回憶一下，在初中我們用什么量刻畫坡面、屋頂及樓梯的陡峭程度？

問題6給定一個斜坡，請你設(shè)計一個方案把斜坡改造得更“陡”．

生9：增加高度或者減少寬度．

師：坡度與高度、寬度具有怎樣的關(guān)系？

圖4

師：坡度與坡角之間具有怎樣的關(guān)系？坡度的大小與坡面上兩點的位置有關(guān)嗎？如圖4，能否借鑒坡度用直線上兩點刻畫直線的傾斜程度？

師：直線的“坡度”與直線的傾斜角α是什么關(guān)系？

生11：把兩條直線看成兩個坡面的話，這兩個“坡”的方向不同，感覺是相反方向．

師：數(shù)學(xué)上用什么符號刻畫方向？[2]請舉例．

生11：可以用正負號，比如數(shù)軸上原點右側(cè)和左側(cè)的點、向量中刻畫相反方向．

師：由此可知圖4是刻畫了當(dāng)直線的傾斜角為銳角時的傾斜程度．你能否用類似的方式刻畫傾斜角為鈍角時的直線的傾斜程度？

圖5

生眾：成立．

2.4 邏輯推理，揭示概念本質(zhì)

生13：任意角的三角函數(shù)的定義中．

師：在定義中角是如何放置在平面直角坐標(biāo)系中的？這里直線不一定過原點怎么辦？

生13：角的終邊要過原點；可以將直線平移至過原點，因為平移不改變直線的傾斜程度．

師：若直線l′過原點，在直線l′上取兩點P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直線l′的傾斜角α視為始邊在x軸正半軸、終邊恰在直線l′上，如何表示角α的正切？

生14：由合比性質(zhì)知相等．

師：斜率與傾斜角具有怎樣的關(guān)系？

3 教學(xué)反思

數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是探索和研究數(shù)學(xué)所依賴的那些基本思想，就是在數(shù)學(xué)演變的線索中，那些一直保留的，并且不斷建構(gòu)和延展的數(shù)學(xué)內(nèi)容．?dāng)?shù)學(xué)本質(zhì)體現(xiàn)在知識的本源之中，體現(xiàn)在知識的實際意義之中，體現(xiàn)在策略和方法的聯(lián)系之中．深度學(xué)習(xí)是在教師引導(dǎo)下，學(xué)生主動投入，深入理解、建構(gòu)、遷移的學(xué)習(xí)過程、狀態(tài)和結(jié)果．深度學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計是追求數(shù)學(xué)本質(zhì)的設(shè)計，是追求大道至簡的設(shè)計，是追求結(jié)構(gòu)與優(yōu)化的設(shè)計，是基于學(xué)生前結(jié)構(gòu)水平的設(shè)計；是學(xué)生在任務(wù)(或問題)驅(qū)動下進行嘗試探究、展示交流、反思調(diào)整、不斷進階的基于證據(jù)的學(xué)習(xí)過程．

3.1 深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念就要理解數(shù)學(xué)的思想

教材是眾多專家、學(xué)者智慧的結(jié)晶，但是鑒于教材的篇幅有限，教材在編制的過程中對一些內(nèi)容進行了精簡、濃縮，同時也給廣大教師留有空間，可以根據(jù)具體的學(xué)情選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式．教師在運用教材時要能理解哪些地方精簡了，教學(xué)中需要補充完整．教材中對于傾斜角為鈍角時斜率的定義一帶而過，給人很不自然的感覺．事實上，傾斜角為鈍角時的坡度應(yīng)該和銳角時的坡度是一樣的，區(qū)別只是坡的朝向不同，而方向這個屬性同樣也可以用代數(shù)方式即正負號刻畫．這也是本節(jié)課乃至本章核心思想的體現(xiàn)——用代數(shù)方法刻畫幾何量．

3.2 深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念就要揭示數(shù)學(xué)的美

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》[1]指出：“要引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達世界……”數(shù)學(xué)語言的簡

3.3 深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念就要經(jīng)歷數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造

3.4 深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的根本目的是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)就是抓住數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)部規(guī)律，突顯數(shù)學(xué)學(xué)科的核心理念，深研知識背后的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生深層思考和學(xué)習(xí)的能力，是學(xué)生形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)．本節(jié)課將生活中的坡面、山坡、樓梯等抽象為一條直線，因而坡面的傾斜程度的刻畫可以抽象為對直線傾斜程度的刻畫；如何用數(shù)學(xué)語言表達直線的傾斜程度是本節(jié)課的核心問題，借助基本活動經(jīng)驗得到傾斜程度的坡度刻畫方式，再通過坐標(biāo)表示得到斜率，整個過程體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)建模；從已有的任意角的三角函數(shù)出發(fā)得到直線的斜率，凸顯了學(xué)科知識的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)邏輯推理與數(shù)學(xué)運算在數(shù)學(xué)概念形成過程中的作用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的學(xué)科特征．?dāng)?shù)學(xué)概念教學(xué)只有深刻理解知識的本質(zhì)，理解概念生產(chǎn)過程中所涉及的核心素養(yǎng)，有意識地引導(dǎo)學(xué)生進行深度學(xué)習(xí)，才能發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的能力．相信只要能夠?qū)?shù)學(xué)本質(zhì)予以持久的關(guān)注，使之在教學(xué)中落地生根，就一定能夠?qū)崿F(xiàn)學(xué)生的“深度學(xué)習(xí)”，提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)，最終達成學(xué)科育人的目的．