以“實驗+思辨”有效培育學生“四能”
——從一堂橢圓折紙課談學生“四能”培養*

沈 浩 (江蘇省蘇州中學 215007)

1 課程背景與意圖

《普通高中數學課程標準(2017年版)》在內容標準部分，將數學探究、數學建模與數學文化作為獨立的部分呈現，闡述了各自的內涵、教育價值，并提出了要求，對如何實施給出了說明和建議．數學探究、數學建模作為一種新的學習方式引入高中數學課程，旨在為學生提供自主學習、探究學習的空間，使學生經歷數學概念、結論產生的過程，體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，形成積極向上的情感、態度和價值觀．[1]

蘇教版教材中有一類“操作題”，為學生提供了動手操作的素材，為學生體驗數學知識的創造過程提供了可能，并能極大地提高學生學習數學的興趣，培養學生的動手能力、思考能力和創新能力．為了利用好這一課本資源，同時降低學生學習橢圓的門檻，這就要求我們在課堂教學中重視學生的動手操作和觀察思考層面的訓練，從而加深學生對數學概念內在本質的理解，提升課堂教學的效果．為了貫徹蘇州市教育系統落實拔尖創新人才培養相關要求，尊重青少年身心發展規律，關注青少年發展的多樣性、差異性，為各類具備拔尖創新潛質的青少年提供適切的教育，在此探索過程中筆者面向本校拔尖學生開設了本次公開課．

2 教學過程

本次探索實驗課通過實驗與猜想、驗證與結論、理解與應用、拓展與思考、總結與反思這五個環節，讓學生充分發展“四能”，圍繞問題展開，不斷解決原有問題并提出新問題，環環相扣，最終使學生真正掌握問題探究的基本方式．

·環節1：實驗與猜想

師：準備一張圓形紙片，在圓內任取不同于圓心的一點A，將紙片折起，使圓周過點A，然后將紙片展開，就得到一條折痕l(為了看清楚，可把直線l畫出來，如圖1)．這樣繼續折下去，得到若干折痕，觀察這些折痕圍成的輪廓，它是什么曲線？大家兩兩分組配合完成．

圖1 圖2

師：當我們折疊時，是否圓周上每一點都可以與點A對應產生折痕呢？

生1：可以．

師：既然可以，想象一下得到的圖形是否封閉？

生2：是封閉圖形．

師：因此當我們折疊次數盡可能多，大家猜測所圍成的封閉圖形是什么呢？

生眾：猜測是橢圓．

師：接下來通過計算機模擬得到比較稠密的折痕，大家直觀感受一下圖2所圍成的輪廓以及折痕與曲線的位置關系．

設計意圖在折紙實驗觀察輪廓線的過程中獲得感性認識，在教師逐步追問后形成基本認識，從而猜測輪廓線為橢圓.正如張奠宙先生提出的，通過對具體事物進行實際操作、考察和思考，從感性認識向理性認識飛躍，形成基本數學經驗．[2]

·環節2：驗證與結論

師：既然猜測輪廓線是橢圓，那么如何驗證呢？

圖3

生3：從圖3中我猜測折痕應該與曲線相切，也是切線．

師：很好!請問如何說明折痕為切線，曲線為橢圓呢？

生4：橢圓的切線即為與橢圓有且僅有一個公共點的直線，故可以從這個角度入手，找尋切點．

師：很好！切點既在折痕上又在橢圓上，如何在圖3中作出來？

生5：折痕就是AB線段的垂直平分線，連結OB與折痕的交點記為C，只需證兩件事：(1)點C在橢圓上；(2)折痕與橢圓有且僅有一個公共點．

師：非常好！這兩件事如何證明？

生5：由垂直平分線的性質有CO+CA=CO+CB=OB(半徑)，且OAOB(半徑)，從而點D不在橢圓上．

師：漂亮！因此有了圓心O和點A后，圓周上的每一點對應了一條折痕，每條折痕對應了輪廓線上的一個點，這些點所構成的圖形即為橢圓．我們通過驗證得出了以下結論．

結論1：每條折痕上有且僅有一點在橢圓上，折痕即是切線．

師：接下來大家相互討論，圖中若把線段AC看成入射光線，反射面是折痕，反射光線是什么？

生眾：反射光線是CO．

師：如何驗證呢？

學生小組討論．

圖4

生6：如圖4，由于∠1=∠2(中垂線性質)，∠1=∠3(對頂角)，則∠2=∠3，從而入射角等于反射角，即證明了橢圓的光學性質．

師：非常好，我們得到以下結論．

結論2：橢圓的光學性質,即從橢圓的一個焦點發出的光線經過橢圓壁反射后，必經過橢圓的另一個焦點．

設計意圖分析與解決問題，發揮學生學習主動性，師生合作分析問題，生生相互討論問題，教師引領解決問題．教師要精心設計、創造問題情境，讓學生通過自己動手實驗研究、合作商討，探索問題的結果．[3]

·環節3：理解與應用

師：下面我們就來求橢圓的切線方程．

圖5

師：通過之前的分析，大家想一想有哪些方法解決問題．

生8：(幾何法)通過折紙實驗解題．以F2為圓心、4為半徑的圓的方程為(x-1)2+y2=16，與直線PF2的一個交點為B(1,4)，且點B與F1的中垂線即為所求切線．

師：很好！你是以F2為圓心，能否以F1為圓心求出切線呢？

師：有沒有同學是從光學性質這個角度入手解題的呢？

師：集思廣益，從多角度來審視同一個問題，能夠使我們對問題的了解更加深刻，我們可以得出一般性結論．

師：例1是已知橢圓求切線，反過來是否可以已知切線求橢圓，我們來看接下來的問題．

例2已知以F1(-1,0),F2(1,0)為焦點的橢圓與直線x-2y+4=0有且僅有一個公共點，求橢圓的長軸長．

設計意圖對于例題的探究，進一步強調“四能”，多角度切入問題，讓學生選擇更多解決問題的視角，突破思維定勢，從容自如地應對各種新問題，成為善于思考、獨具個性的學習者．[4]

·環節4：拓展與思考

圖6

師：如圖6，在紙上畫一個圓O，在圓外任取一定點F，將紙片折起，使圓周通過F，然后展開紙片，得到一條折痕l(為了看清楚，可把直線l畫出來).這樣繼續下去，得到若干折痕.觀察這些折痕圍成的輪廓，它是什么曲線？

生13：類比猜測為“雙曲線”，課后可以進一步嚴格證明．

設計意圖再一次對新問題的探究，將“四能”培養延伸到課堂之外．教師通過不斷地追問和點撥，形成一系列由易到難、由淺入深，而且具有一定深度的開放性問題．[5]

·環節5：總結與反思

這節折紙探索實驗課，以培養學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題能力為目標，設置實驗、驗證、應用、思考四個環節，緊緊圍繞折痕這一操作對象，環環相扣，不斷提出新問題，使學生經歷合理猜想、嚴謹證明、靈活運用、類比思考等思維過程，會用數學的眼光觀察，構建數學模型；用數學語言描述客觀事物，進行數學抽象；用多種方式理解數學對象，進行數學運算(圖7)．

圖7

設計意圖教師引導總結，既落實在知識層面，又提升到能力層面，在不斷重復中使“四能”得到了升華．

3 教學反思

本次公開課通過實驗與猜想、驗證與結論、理解與應用、拓展與思考、總結與反思這五個環節，培養學生的“四能”，即發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力．課堂五環節應環環相扣，不斷圍繞“四能”展開．其中在實驗與猜想環節培養學生發現并提出問題的能力，在驗證與結論環節分析并解決問題，同時在理解與應用環節再一次提出新問題并加以解決，加深印象.而拓展與思考環節讓學生再次體驗如何發現問題的過程，將問題從課堂延伸到課外，使學生真正掌握問題探究的基本方式．以下是對發現和提出問題、分析和解決問題時的兩點反思．

(1)在發現和提出問題時，以教師的高度引領學生的探究

過去都說，要給學生一碗水，教師要有一桶水，這說明知識儲備量要比學生大.隨著新課程的推進，學生探究欲的生長，教師可能要成為自來水，能源源不斷地發展與思考．本課選材于蘇教版選修2-1第2章的一道習題，也就是讓學生通過動手做，發現輪廓線即為橢圓．這種觀察是感性的，并非理性的，不能成為一節數學課的內容，至少得有點數學邏輯的味道．折紙形成橢圓涉及的問題在于折痕與切線的關系，本質上要來研究兩者的一致性質，即從數學邏輯來講必須說明圓上的每條折痕都是橢圓的切線，反過來橢圓在每一點處的切線都可以是折痕，這和在曲線與方程中所提到的純粹性和完備性是一致的．課堂是有空間與時間的限制，所以很多問題不能也不便跟學生討論，雖然課堂上不需要討論，但是教師還是要思考清楚，這樣才有底氣站在課堂上．

(2)在分析和解決問題時，用操作的感性推進數學的理性

在學習過程中，數學的直覺是相當重要的，但嚴謹的推理更是不可或缺的．如在例1中涉及到的如何求橢圓上某點處切線的問題，事實上可以通過類比圓上某點處切線方程，從而看出橢圓的切線方程，但這樣的處理邏輯上是不嚴密的，所以采用直線與橢圓聯立方程組，消元得到二次方程，計算判別式Δ=0，求得切線方程，這也緊扣了解析幾何的靈魂.當然在課堂上還出現了其他的一些計算方法，例如尋找焦點與圓上點為端點的線段的中垂線、用橢圓的光學性質中切線的法線就是角平分線、采用角平分線定理加以解決，這些都是十分嚴密的代數運算，體現了數學運算的核心素養．