在“變”與“不變”中教學(xué)生學(xué)會(huì)思考
——以“平面圖形為背景的應(yīng)用題研究”一課為例

王文杰 (江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215021)

在蘇州市2019屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教學(xué)研討會(huì)中筆者開設(shè)了題為“平面圖形為背景的應(yīng)用題研究”的公開課，獲得專家與同行的一致好評(píng).專家的指導(dǎo)和同行的鼓勵(lì)促使筆者思考如何在高中數(shù)學(xué)課堂的“變”與“不變”中教學(xué)生學(xué)會(huì)思考、培育學(xué)科核心素養(yǎng).現(xiàn)將這節(jié)課的教學(xué)過(guò)程及思考整理如下，供大家交流.

1 課堂重現(xiàn)

1.1 教學(xué)目標(biāo)

這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：(1)了解應(yīng)用題研究的一般方法；(2)學(xué)會(huì)從“幾何”“代數(shù)”角度研究平面圖形為背景的應(yīng)用題；(3)掌握合理選擇變量、優(yōu)化研究問(wèn)題的方法；(4)培養(yǎng)觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題、優(yōu)化問(wèn)題的能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

這是高三二輪微專題應(yīng)用題方向的一節(jié)復(fù)習(xí)課，教學(xué)目標(biāo)的第一點(diǎn)是讓學(xué)生把握應(yīng)用題研究的共性方法，其次根據(jù)平面圖形為背景的應(yīng)用題的特點(diǎn)教會(huì)學(xué)生研究此類問(wèn)題的策略及思考方式．

1.2 教學(xué)過(guò)程

·回顧好題，引出問(wèn)題

圖1

(1)已知修建道路PA,PB的單位造價(jià)分別為 2m元/km和m元/km，若兩段道路的總造價(jià)相等，求此時(shí)點(diǎn)A,B之間的距離；

分析 (1)生1：建系→P(2,1)→B(3,3)→AB； 生2：設(shè)角→正弦定理.

總結(jié):此類應(yīng)用題的特征？研究角度？

師：此類應(yīng)用題以平面圖形為背景，特征明顯．研究角度是代數(shù)角度與幾何角度的選擇，代數(shù)角度一般考慮“設(shè)斜率”“設(shè)點(diǎn)”“設(shè)直線”，幾何角度一般考慮“設(shè)角”“設(shè)邊”．本題第(1)問(wèn)建議從代數(shù)角度求解，第(2)問(wèn)建議從幾何角度求解；合理選擇角度，可優(yōu)化研究問(wèn)題．

設(shè)計(jì)意圖以學(xué)生熟悉的問(wèn)題入手，抓住學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，在學(xué)生做過(guò)的舊題中講出新意，在學(xué)生對(duì)問(wèn)題似是而非的模糊理解中指明解題路徑．

·例題導(dǎo)析，探究問(wèn)題

例2(2016屆南京鹽城高三一模)如圖2，某城市有一塊半徑為1(單位：百米)的圓形景觀，圓心為C，有兩條與圓形景觀相切且互相垂直的道路．最初規(guī)劃在拐角處(圖2中陰影部分)只有一塊綠化地，后來(lái)有眾多市民建議在綠化地上建一條小路，便于市民快捷地往返兩條道路．規(guī)劃部門采納了此建議，決定在綠化地中增建一條與圓C相切的小道AB．問(wèn)：A，B兩點(diǎn)應(yīng)選在何處可使得小道AB最短？

(師生共同探究，教師板書)

圖2 圖3

圖4

總結(jié)：本題你更喜歡哪種方法?為什么?

設(shè)計(jì)意圖解法1從代數(shù)角度入手，解題入手簡(jiǎn)單，運(yùn)算量稍大；解法2從幾何角度考慮，需要發(fā)現(xiàn)幾何特征，運(yùn)算量稍小．

串講 如圖5，某人工景觀湖外圍有兩條相互垂直的直線型公路l1,l2，且l1和l2交于點(diǎn)O．為了方便游客游覽，計(jì)劃在人工景觀湖靠近點(diǎn)O的一側(cè)修建一條連接公路與景觀湖的直線型公路AB．景觀湖的輪廓可以近似看成一個(gè)圓心為O′、半徑為2百米的圓，且公路AB與圓O′相切，圓心O′到l1,l2的距離均為5百米，設(shè)∠OAB=θ，AB長(zhǎng)為L(zhǎng)百米．

(1)求L關(guān)于θ的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)θ為何值時(shí)，公路AB的長(zhǎng)度最短？

圖5 圖6

總結(jié):本題的背景模型你熟悉嗎?還有哪些相關(guān)問(wèn)題?

激活 “直角走廊”問(wèn)題→引入問(wèn)題(圖7)

圖7

設(shè)計(jì)意圖引題→例題→串講→聯(lián)想→激活→引題，在平面圖形為背景的應(yīng)用題研究中，雖然題目在變、問(wèn)題研究角度在變、變量選擇在變，但問(wèn)題背景不變，題目本源不變，思考方式不變，培育的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)不變，在“變”中發(fā)現(xiàn)“不變”，讓學(xué)生在“不變”中學(xué)會(huì)“變”．

·本課導(dǎo)思，策略問(wèn)題

總結(jié):平面圖形為背景的應(yīng)用題的研究策略有哪些？

(1)讀；(2)列式；(3)選擇；(4)優(yōu)化；(5)規(guī)范.

2 教學(xué)反思

高中數(shù)學(xué)題目千千萬(wàn)萬(wàn)，研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，困惑著學(xué)生也困惑著教師，如何在一題多變中發(fā)現(xiàn)“萬(wàn)變不離其宗”？筆者認(rèn)為,數(shù)學(xué)問(wèn)題研究的關(guān)鍵是在“變”中學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)“不變”，在“不變”中學(xué)會(huì)應(yīng)對(duì)“變”．

(1)數(shù)學(xué)問(wèn)題外貌的“變”，知識(shí)點(diǎn)考查的“不變”

數(shù)學(xué)題目的很多變化是文字表述的不同，不同的表述增加了理解難度，但考查的知識(shí)點(diǎn)是一樣的，考查的本質(zhì)沒有變．我們可以來(lái)看下面兩個(gè)問(wèn)題：

在教學(xué)實(shí)踐中筆者發(fā)現(xiàn)：學(xué)生對(duì)于問(wèn)題①的理解和掌握程度明顯優(yōu)于問(wèn)題②，學(xué)生困惑于問(wèn)題外貌的“變”，而未理解兩個(gè)問(wèn)題本質(zhì)都是考查分段函數(shù)單調(diào)性這個(gè)知識(shí)點(diǎn)．?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題研究的關(guān)鍵是“變”與“不變”，教師在教學(xué)中不僅要教會(huì)學(xué)生做題，更要教會(huì)學(xué)生從數(shù)學(xué)問(wèn)題外貌的“變”中看透知識(shí)點(diǎn)考查的“不變”．

(2)知識(shí)點(diǎn)考查的“變”，問(wèn)題研究角度的“不變”

高中數(shù)學(xué)問(wèn)題研究涉及的知識(shí)點(diǎn)很多，例如向量的數(shù)量積問(wèn)題、解析幾何的定點(diǎn)定值問(wèn)題等，包括本文中的課例“平面圖形為背景的應(yīng)用題研究”.雖然知識(shí)點(diǎn)考查在“變”，但問(wèn)題研究角度是“不變”的：從代數(shù)角度或是幾何角度考慮，從條件角度或是所求角度入手．?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題研究的核心是教會(huì)學(xué)生思考，教師要引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)點(diǎn)考查的“變”中，發(fā)現(xiàn)思考問(wèn)題研究角度的“不變”，做到“以不變應(yīng)萬(wàn)變”．

(3)問(wèn)題研究角度的“變”，研究思想的“不變”

數(shù)學(xué)問(wèn)題研究的角度不同，如果說(shuō)這也是一種“靈活多變”的話，那么問(wèn)題研究的思想是“不變”的.例如“簡(jiǎn)單問(wèn)題先處理”的思想、“轉(zhuǎn)化研究問(wèn)題”的思想、“優(yōu)化研究問(wèn)題”的思想等．分類討論的問(wèn)題貫穿高中數(shù)學(xué)問(wèn)題研究的始終，明確討論標(biāo)準(zhǔn)，“簡(jiǎn)單情況先討論”就是“簡(jiǎn)單問(wèn)題先處理”的思想的典型運(yùn)用；數(shù)陣問(wèn)題研究中，將數(shù)陣中的“數(shù)”排成一列即可轉(zhuǎn)化為研究一個(gè)數(shù)列問(wèn)題，而有些規(guī)律明顯的“分段”數(shù)列問(wèn)題也可以將其轉(zhuǎn)化為數(shù)陣問(wèn)題，這些都是轉(zhuǎn)化研究問(wèn)題的思想靈活運(yùn)用；導(dǎo)數(shù)在函數(shù)研究的運(yùn)用中，構(gòu)造“差函數(shù)”還是“商函數(shù)”，如果是構(gòu)造“商函數(shù)”，以誰(shuí)為分母構(gòu)造“商函數(shù)”，這些都是不斷通過(guò)優(yōu)化來(lái)研究問(wèn)題的思想．?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題研究的目的是培育學(xué)生的核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)問(wèn)題研究的“變”是為了讓學(xué)生形成研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維方式，做到“萬(wàn)變不離其宗”．