一致連續性的課堂教學建議

[摘? ? ? ? ? ?要]? 現行的數學分析課程教材關于函數一致連續性的內容較為簡單，數學專業的學生學起來普遍都感到很困難。為此，結合汕頭職業技術學院學生的實際情況，對教學工作進行了一系列的教研教改。通過一致連續性的課堂教學實踐，從備課、課堂活動再到課后反饋，最后給出了提高該內容的課堂教學質量的若干建議，旨在加強直觀性教學，突出難點、化解難點，培養學生靈活多變的思維方式。

[關? ? 鍵? ?詞]? 一致連續性;課堂教學;教學建議

[中圖分類號]? G712 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2020）02-0118-02

一、引言

函數的一致連續性是數學分析課程中的重要而困難的學習內容之一，是比連續更強的一種連續性，它強調函數在區間上的整體性質，刻畫了函數f（x）在區間I上變化的相對均勻性，是連續函數的一個重要性質。在微積分學中，它與后繼課中“絕對連續”“一致收斂”“絕對收斂”及“等度連續”等概念都有著密切的關系，在其他學科中的應用也極為廣泛，關于函數一致連續問題的學習與深入探討也為理解其他數學知識打下堅實的基礎.

函數一致連續的定義及判定是教學的重點和難點，而現行的幾種教材[1-4]關于這部分的內容又較為簡單，以致數學專業的學生都普遍覺得較難理解、太抽象。故為突出重點、轉化難點以提高教學質量，結合我院的實際情況，在課堂教學上做了一些嘗試，通過教學實踐，提出了一些教學建議與同行們共同探討，以期起到拋磚引玉的作用。

二、現行教材內容分析及存在的問題

我們現采用的教材為《數學分析講義》上冊[1]，其中函數的一致連續性的主要內容安排如下（其他教材雷同）：一致連續定義;一致連續的否定（非一致連續）;判定函數一致連續性（例題）;康托定理。根據內容及教學大綱我們以往設計的一般教學過程如下。

1.引入一致連續定義

先復習函數連續的定義，由此得到δ的大小與給定的ε及點a的位置有關;當ε暫時固定時，得到δ=δ（a），由于a的變化得到無窮多個δ=δ（a）>0，再提出尋找通用的δ（若通用的δ存在），從而給出一致連續的定義。

2.導出一致連續的否定

通過一致連續的定義給予否定并列表對照，直觀展示如下：

指出連續與一致連續的本質區別與聯系，以加深對概念的理解。

3.通過例題學習判定函數一致連續性的方法

4.講述康托定理

它是閉區間上連續函數的又一性質，也是一致連續的一個判定定理，但對不是閉區間上連續函數失效。

當我們講解至例題時會發現：只能用定義來求解，沒有其他性質或判定方法。因教材這部分內容少且方法很單一，致使學生對一致連續的含義及判定方法難以掌握。

三、課堂教學反饋

在課堂教學師生互動的環節中，學生提出以下值得思考的幾個問題。

1.學習函數一致連續性的目的動機是什么？

2.一致連續性有沒有幾何意義可幫助我們較直觀地理解該定義？

3.判定一致連續性一般用定義都是較復雜的，是否有其他判定定理或方法？

四、教學建議

針對以上這些反饋問題，進行了集體備課，查閱相關書籍、文獻，共同研究探討，得到一致的意見：擴充內容，改進方法;制訂了三個“1”的教學措施，第一個1是“突出學習函數一致連續性的目的動機”，第二個1是“補充一致連續的幾何意義”，第三個1是“增加一致連續性的判定方法”。一句話就是加強直觀性教學，以突出難點、化解難點，培養學生靈活多變的思維方式。具體如下謹供參考并敬請批評指正。

（一）學習一致連續性的目的動機

下面預設了幾個問題，采用問題式教學方法引入。

[問題1]如圖1，設f0（x），f1（x），f2（x），…，f5（x）都是區間I的連續函數，那么除端點外它們有什么主要區別呢？

答：除f0（x）外，其他幾個函數曲線都呈均勻變化態勢（即當自變量變化很小時，引起函數值的變化表現在圖像上是“平緩”的變化），故學習函數一致連續性的目的就是研究其均勻連續性。

[問題2]那么引起f0（x）在I上不均勻連續的原因又是什么？

答：在接近區間右端點處，函數曲線出現了“突變”（即使當自變量變化很小時，函數值的變化反映在圖像上并不是“平緩”的而是突然“陡峭”），即曲線在該點附近的切線接近與x軸垂直（斜率的絕對值突然增大至無窮大），而其他點則不然，這就破壞了均勻連續性，稱非一致連續性。

注：值得注意的是半圓f1（x）雖然在端點處切線與x軸垂直，但它是平緩變化來的而不是突變來的，故它仍是一致連續函數。

由此可知：若當x接近于某值x0時，函數圖像接近垂直于x軸，則函數在以x0為端點的區間可能非一致連續，否則必一致連續;而在判定非一致連續時，關鍵要尋找的破壞點就是該點x0（x0可以是-∞或+∞），這為下一步補充一致連續性的判定方法做好準備。

（二）一致連續的幾何意義

在給出一致連續的定義后，及時補充一致連續的幾何意義。我們知道，一致連續函數的實質是：只要自變量|x1-x2|<δ，則函數值|f（x1）-f（x2）|<ε。故作一根管子（如圖2）及一致連續函數圖像（如圖3），幾何意義是：存在這樣的一根管子，可以在一致連續函數曲線上平行移動。

（三）一致連續性的判定方法

函數一致連續性的判別方法有很多，近期有文獻[5]分十二個方面，系統歸納、分類總結了連續函數一致連續性的判別方法，分類給出了函數一致連續的充分或充要條件，彌補了相關文獻資料關于函數一致連續性問題判別方法的一些不足，大大簡化并拓寬了函數一致連續性的可判別范圍;文獻[6，7]主要給出有限區間及無限區間一致連續的極限判別法;文獻[8]證明了函數一致連續性的導數判別法和極限判別方法;文獻[9]討論了一致連續性和導數的關系，進而給出應用實例和判斷函數一致連續性的充分必要條件;文獻[10]介紹了幾種函數在無限區間上不一致連續的判定法。那么，根據我院數學專業大綱要求，我們選擇增加了如下函數一致連續性的兩種判定方法。

1.可導連續函數的一致連續性

五、結論

基于一致連續性的課堂教學實踐，從內容的分析及教學設計到課堂教學中學生的反饋，再到教學質量分析，筆者做了深入思考并進行了一系列相應的教改，取得了一定的成效，最后給出了提高該內容教學質量的若干建議。

參考文獻：

[1]劉玉漣，傅沛仁等.數學分析講義（上冊第六五版）[M].北京：高等教育出版社，2019.

[2]華東師范大學數學系.數學分析（上冊第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]同濟大學數學院.高等數學（上冊第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[4]舒斯會.數學分析選講[M].北京：北京大學出版社，2007.

[5]張歆秋，栗會平，張國強，等.函數一致連續性的判別方法[J].考試周刊，2013（9）：67-70.

[6]蘭瑞平.對函數一致連續性的討論[J].廊坊師范學院學報（自然科學版），2011（6）：21-23.

[7]姜雄.關于函數在任意區間上一致連續與非一致連續的條件討論[J].遼寧科技學院學報，2005（2）：35-37.

[8]李啟龍.判斷函數一致連續性的幾種方法[J].數理化研究，2012（6）：46.

[9]高義，代小丹.關于函數一致連續性的反例及應用[J].寧夏師范學院學報（自然科學），2011（6）：88-91.

[10]杜家祥.函數在無窮區間上一致連續性的判定[J].宿州教育學院學報，2001（1）：91-92.

編輯 鄭曉燕

作者簡介：陳彥（1962—），男，漢族，廣東汕頭人，汕頭職業技術學院自然科學系副教授，碩士，研究方向：應用數學。