巧設情境促發現 激活思維助提問

過家福 (江蘇省南菁高級中學 214415)

殷 玲 (江蘇省太湖高級中學 214125)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(下稱《課標2017》)指出：要提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，即“四能”．而發現和提出問題的能力是學生的短板，亟待加強．數學教學應服務于國家的創新戰略，而創新思維要以問題情境為載體．波利亞說“教師的作用在于：系統地給學生發現事物的機會，并給予恰當的幫助，讓學生在情境中親自去發現盡可能多的東西．” 所以創設新穎、適切的情境及問題可以激發學生的好奇心和求知欲，讓學生樂于發現問題、提出問題，并在對問題的質疑和探究解決的過程中深化對數學的理解，激活思維．本文側重于探討通過巧設多種問題情境，培養學生發現問題和提出問題的能力，在此過程中教師應大有作為．

1 創設數學文化情境，引學生思考，促學生發現、提出問題

《課標2017》明確提出要把數學文化融入課程內容，并在知識結構圖中清晰反映出來.數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點以及它們的形成和發展，也包括與數學相關的哲學、人文活動，如古代一些名人、名句和經典故事．在教學活動中，通過創設某種數學文化情境引出一個話題，或以數學史融入新知教學中[1]，可以有效地促使學生發現、提出問題．

課例1高一必修1 “對數(1)”的情境與問題．

在一次江蘇省高中數學優質課展示活動中，筆者聆聽到一位教師執教的高中數學必修1“對數(1)”一課，其中創設了如下的數學文化情境：“大家能說說古代的思想家莊子嗎？”(請學生簡單說明)莊子是戰國時期著名的思想家、哲學家、文學家，是道家學派的代表人物，莊子學派的創始人．他的學說涵蓋面廣，后世稱為“老莊”，“老莊哲學”的思想包含著樸素辯證法的因素．教師投影——莊子曰：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”

師：根據這句話，請大家提出一些數學問題，譬如取1次，還剩余多長？

在教師的啟發下，有幾位學生陸續提出了如下問題：

問題1 取2次、3次，分別剩余多少尺？

問題2 取x次,剩余多長？

教師充分肯定了學生們的發現意識和提出的問題，興致勃勃地說：“我也來湊個熱鬧！”

問題5 把“日取其半”改為“日取三分之一”，又能提出哪些問題？

許多學生說：都可以類似地再問一遍(略)．

生(為數不少)：已知底數和冪值，求指數．

教師肯定后指出“這是一種新的運算，今天就來研究這一新問題”，從而引出對數的概念．在此基礎上，教師穿插介紹數學史，師生共同瀏覽課本第79頁《閱讀》，主要內容是納皮爾發明了對數，歐拉揭示了指數與對數的密切聯系，恩格斯把笛卡爾的坐標系、納皮爾的對數、牛頓和萊布尼茨的微積分共同稱為17世紀的三大數學發明．

本課開始進行的一段關于莊子的內容，學生很感興趣，又從莊子的一句經典名言“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”引出數學問題.教師先開了一個頭，學生就類似、變式、逆向地提出了一些問題，這樣的提問把指數、對數聯系起來，學生有話(問題)可說，這段簡短的名人介紹及之后的《閱讀》很有必要．對數概念比較抽象，通過創設數學文化情境，不僅給學生營造了一個良好的學習氛圍，而且很好地揭示了抽象概念的背景和發展歷程，有助于學生發現結論的形成過程，真正理解數學概念，還能引發學生數學地思考，從而發現、提出問題．

評析(1)在學生發現、提出問題之前，對學生能力進行預估；在學生發現、提出問題的過程中，要根據學生的實際能力給予指導．如上述過程，教師先拋磚引玉，之后又引導學生換一個角度(從二分之一到三分之一)思考，拓寬了思維；(2)要把數學文化有效融入數學教學中，教師首先要武裝自己，多掌握有關數學史、數學典故，方能胸有成竹，指導學生；(3)數學文化內涵豐富，需要教師結合教材特點和學生的經驗、體驗，挖掘其資源，進行組合與再加工，并能從中得到啟迪，切實發揮以數學文化激情、引趣、促思的功能．

2 創設生活情境，讓學生體驗，促學生發現、提出問題

生活是教學賴以生存和發展的源泉．數學知識源于生活，數學問題也存在于生活中的方方面面，生活中形成的常識、經驗是學習數學的基礎，提出一個問題更需要背景性、經驗性的感性認識作為支撐．心理學研究表明：學習的內容與學生的生活背景越貼近、與學生的認知水平越適應，就越能誘發學生產生提出問題的心理傾向，越能增強學生提出問題的意識，進而發現問題、提出問題．因此，在教學中，需要為學生提供貼近生活實際的、生動豐富的經驗性材料，讓學生在對生活情境的觀察、分析和探究中體驗知識的發生發展過程，積累基本的數學活動經驗，培養發現問題和提出問題的能力．

課例2高二必修2 “直線與平面垂直”的情境與問題．

在一次江蘇省高中數學教師優質課評比活動中，筆者有幸全程參與了“直線與平面垂直的判定”一課的教學設計和磨課的過程，幫助我校一位參賽選手充分挖掘教材，緊扣生活實際進行了如下的情境設計，收獲了令人滿意的效果．

師：同學們，請觀察下列三幅圖(圖1).第一幅是五星紅旗矗立在天安門廣場，她是偉大祖國的象征；第二幅是某城市的摩天大樓，見證著這座城市建設的飛速發展；第三幅是比薩斜塔(高55 m，傾斜3.99°)，是意大利托斯卡納省比薩城的一個標志性建筑．

圖1

師：把國旗旗桿、摩天大樓、斜塔抽象成直線，地面看成一個平面，請大家從線面位置關系的角度進行思考與設計，能提出哪些需要研究的數學問題？(注意類比所學)

有幾位學生陸續提出以下幾個問題：

問題1 國旗旗桿、摩天大樓、斜塔所在的直線與地平面的位置關系是什么？

問題2 “直線與平面垂直”和“直線與平面相交”，兩種說法有何異同？

問題3 對直線與平面垂直，一般會研究哪些內容？

問題4 直觀感覺旗桿和地面、摩天大樓與地面是互相垂直的，判斷依據是什么？

問題1、問題2比較簡單，直線與平面垂直、直線與平面相交是一般與特殊的關系.學生回答后，教師追問：你還能舉出生活中可以抽象成直線與平面垂直的例子嗎？ 幾位學生回答，有的說“筆直的電線桿和地面”，有的說“東方明珠塔和地面”，有的說“教室中墻角的豎直棱與地面”……

對上述問題3，學生類比直線與平面平行研究的思路：定義—判定—性質，由此確定要研究直線與平面垂直的定義、判定與性質．

師：在實際生活中存在大量的可抽象成直線與平面垂直的實例，本節課就來研究直線與平面垂直的定義、判定．

教師追問：

問題5 直線與平面垂直的判定如何研究？直線與平面垂直性質如何研究？

類比直線與平面的學習，得出：直線與平面垂直的判定是通過操作確認，直線與平面垂直性質是通過觀察、猜想并證明．

對于問題4，通過定義判別很不方便，需要尋求簡單易行的操作方法，有必要學習直線與平面垂直的判定定理．

教師創設了“三幅圖”的生活情境，源于生活、貼近時代，頗有教育意義.在情境中體驗，能激發學生的學習熱情和興趣．本課巧妙地把學生提出問題和教師穿插提問結合起來．教師把相關實際問題抽象成直線與平面后，提出“請從線面位置關系的角度進行思考與設計，能提出哪些需要研究的數學問題？”(運用類比)這樣的問話落在學生的最近發展區內，他們根據已有的學習經驗提出了四個問題．教師回應前兩個問題后進行追問，增加了學生對線面垂直的感性認識.解決問題3后教師再次追問(問題5)，從問題3到問題5，即直線與平面垂直研究什么、為什么(依據)要研究、如何研究，構成了一個系列問題；這也是一般科學研究的三個問題，是在教學生學會學習、學會研究、學會思考．

評析(1)創設合適的生活情境，能使抽象知識具體化，使深奧道理通俗化，從而使學生感受到親切感，樂于參與，比較容易發現并提出問題．因此，教師需要多關注、聯系生活實際，從學生熟悉的生活和學習環境中選取與教學相關、生動形象的實例.譬如三角函數的周期性教學，可聯系生活中的摩天輪、月亮繞地球公轉等情境引發學生思考，促其探索發現并提出新的問題．創設情境后，有時需要教師提出一個初始問題，如本課“能提出哪些需要研究的數學問題？”(運用類比)，既能引動學生探索的興趣，也讓學生有問題可提．(2)從學生的認知角度來說，數學知識的認識很大程度上取決于學生對實踐經驗的獲取．因此在課堂上可采取形式多樣的活動，如學生動手操作、數學小實驗、小組合作討論與評價等，在多彩的實踐活動中促使學生發現、提出問題．

3 創設困惑情境，給學生質疑，促學生發現、提出問題

學之道在于悟，學生認知的發展往往要經過自己的反思和感悟才更有效，也更真實，所以引導學生質疑和反思是促進學生有效學習的重要手段．思起源于疑，然而現在中學生普遍缺乏質疑意識，課堂上大都是教師講、問，學生聽、答，教師板書、學生記錄，學生被動學習的問題比較突出，成天忙于趕作業、刷題，鮮有自己的想法，很難有質疑和反思的機會，怎么談得上去發現問題、提出問題呢？對此，我們有必要予以矯正．

課例3試卷講評課 “導數問題”的情境與問題．

在一節高三期末考試試卷講評課上，教師投影出一位學生的解答過程，請大家一起找尋丟分原因．針對學生是理科普通班、能力相對薄弱的特點，教師并不是采用直接告知正確結論的講授式，而是先展示帶有普遍性的錯誤解答過程，讓學生評判、質疑．

(1)當a=1時，求證：對于任意x>0，都有f(x)>0成立；(2)略.

x(-∞, 0)0(0, +∞)f'(x)-0+f(x)↘極小值↗

當x=0時有極小值，也是最小值，所以f(0)=1>0，得證．

投影一出來，學生們就議論紛紛．

生1：我就這么做的，感覺沒錯啊，過程很流暢，可是只得1分．(不好意思地笑了)

生2：肯定錯了！首先題意是要求x> 0，所以區間(-∞, 0)不需要考慮，其次(0, +∞)上的單調性并沒有證明．

生3：f′(x)=ex-x-1，令f′(x)=0，得x=0，這個根應該是觀察得來的．除了這個根，確定沒有別的根了嗎？我認為這種超越方程形式應該二次求導.正確解答是：令g(x)=f′(x)，對g(x)求導，g′(x)=ex-1，當x>0時，有g′(x)>0，所以g(x)在(0, +∞)上單調遞增，則g(x) >g(0)=0，于是f′(x)>0，有f(x)在(0,+∞)上單調遞增，則f(x)>f(0)=1>0，原題得證．(做錯的學生恍然大悟)

師：學生3說得精彩！原解法有兩個問題，其一，觀察得來未必正確；其二，作為解答題的推理要步步有據．(之后引導學生反思：這道題的結論是否能拓展、推廣？)

生4：g(x)=f′(x)=ex-x-1≥0對x∈R是恒成立的．令g′(x)=ex-1=0，則x=0．

x(-∞, 0)0(0, +∞)g'(x)-0+g(x)↘極小值↗

當x=0時有極小值，也是最小值，所以g(x)≥g(0)=0，以下證明同上．

教師肯定了學生4的想法：把試題中的范圍，由x> 0推廣為對一切實數都成立．之后教師說明：ex≥x+1這類恒等式在以后的導數綜合題中會經常出現，類似的還有ex≥x2，lnx≥x-1等都會成為我們“熟悉的朋友”！

試卷評講課上，學生習慣于由教師說出錯在哪里、告知正確的解法是什么，鮮有學生能針對錯解自己進行提問.這樣不僅缺乏針對性和有效性，更是缺少一次給學生質疑糾錯的機會．由于是試卷評講課，對學生而言是熟悉且印象深刻的情境，可減少一些思考試題的時間，增多一些觀察、質疑錯解、尋找錯因的時間．該班學生有些疑問、有些不同“聲音”，是緣于該班教師與時俱進、專業素養高，平時教學中經常給學生提問的機會，所以課堂上學生還給教師一些驚喜就不足為奇了．

評析(1)教師自身需要有較強的質疑意識，要善于對問題進行反思和質疑，以教師自身良好的行為帶動學生，體現榜樣的力量．(2)鼓勵學生大膽發言，倡導不同聲音、不同觀點相互碰撞，便于產生問題，這需要教師有很強的數學專業素養和課堂駕馭能力．(3)在新授課、復習課和試卷講評課上，教師都要積極創設質疑問難的機會，辨析概念，質疑過程，多讓學生板演，以暴露問題，尋找一些錯例讓學生找茬，以培養學生觀察、發 現和糾錯的能力.(4)不能止步于問題解決，要進行適當拓展、推廣，以擴大戰果；教師還需適當留白，指導學生在反思中尋求質疑“點”，便于催生問題．

4 創設開放情境，引學生聯想，促學生發現、提出問題

開放的情境是不限定問題發展的方向，結論可以有多種可能性.開放的情境應源于學生現實，與學生的認知水平相適應，對學生來說是真實可感的；開放的情境應具有一定的挑戰性和探究性，可讓學生全方位、多角度思考，進行充分想象，發散聯想，在思考、想象和聯想中有所發現．在數學教學中，創設豐富的開放性情境有助于學生從中發現和提出問題．

課例4微專題復習課“基本不等式”的情境與問題．

在一次高三“基本不等式”微專題復習課上，教師設計了如下情境：若正實數x,y滿足x2-xy+y2=9，對該條件從不同角度聯系、聯想，可以得到哪些不同的結論？說出你的想法．

生1：可以先移項，得x2+y2=9+xy，再利用基本不等式，9+xy≥2xy，可得xy≤9，當且僅當x=y時取等號，故x,y的積的最大值為9．

生3：我提個問題——條件不變，能否分別求2x+y, 3x-y的最值？

生4：如果能把x,y表示為一個三角函數就可以了．

生5：觀察形式x2-xy+y2=9，如果將其中的x,y分別換成a,b，則有a2-ab+b2=9，聯想到余弦定理，a,b,c作為三角形的三條邊，其中c=3，c所對的角是C=60°．接下來就可以在三角形中繼續提出問題了．

生6：比如滿足上述條件的三角形面積能否取得最大值？三角形周長的取值范圍如何？

生8：類似地，由生2的解答就可求得周長a+b+c的最大值為12，又因為三角形兩邊之和大于第三邊，所以a+b>3，所以周長的取值范圍是(6, 12]．

師：了不起！真心為你們點贊．看你們提問題興致這么高，我也來提一個問題：若正實數x,y滿足x2-xy+y2=9，且|x2-y2|<9，求xy的范圍．請大家課后試試．

教師精心設計了具有開放性的情境“正實數x,y滿足x2-xy+y2=9”，對于兩數平方和與兩數積形式的問題，學生積累了一些經驗，能聯想兩數和及ax+by的形式，還能聯想到三角形中的面積、周長等方面，提出一些問題，再利用基本不等式及其變形去分析、解決問題．這樣，由開放性的情境帶來開放性的結論(多元結論)，也帶來了方法的開放性(不同角度)，有利于培養學生的發散性思維．

評析首先，教師需要精心設置一個開放的情境，貼近學生的學習和生活的實際，情境的視角可以觸及不同的方向，學生經過思考有話可說.其次，教師需要營造一個較為寬松、自由的環境，讓學生相互交流，以產生問題、碰撞火花，思考問題還需留給學生必要的時間、空間．再次，要以情境為載體，鼓勵學生大膽聯想，通過相近聯想、相對聯想和類比聯想，促進知識的遷移與拓展，轉換視角，便于發現新問題、新結論，從而培養學生發現問題的能力．如本課例中學生3提了一個很有價值的問題，是基于對形式x+y,xy的相近聯想，得到2x+y, 3x-y以及ax+by，又因解決問題的需要，聯想到三角換元，進而聯想到解三角形的有關問題(面積、周長等)．

5 結束語

創設問題情境還有其他一些途徑.譬如，可創設類比情境，讓學生通過知識、方法間的類比、聯想，提出新問題；還可創設直觀情境，借助多媒體技術，將學生感覺模糊、抽象的學習材料直觀、形象地展示出來，讓學生更好地體驗問題的形成、解決的思路和方法等，有利于他們發現和提出新問題．其次，如果所在班級課堂氣氛不夠活躍，可以請1～2個性格開朗、有想法的學生帶頭“拋磚”，可能引出更多的“玉”，只要學生能提出一點問題，教師就要予以肯定和鼓勵，讓學生逐步體驗到成功的喜悅和提問的魅力．

根據內容的特點和學生的實際，創設適切的問題情境促進學生發現問題，通過激活思維幫助學生提出問題，進行分析與解決，從而達到培養學生的創新思維與實踐能力的目標，因為創新源于問題、源于發散．同時，讓學生發現和提出問題也是給學生表現的機會，體現學生的主體性.這樣的課堂對教師是一個挑戰，需要有較強的專業實力，既要能應對學生發散的問題，還可能要變換視角重新提出問題，唯有學習研究、提升教學智慧，方能順利實施．