用類比思想構建新知結構

馬國建

【教學目標及重難點】

1.經歷借助圖形直觀發現整式乘法法則和乘法公式，感悟數形結合的思想。

2.構建本章的知識結構。

3.在探究整式乘法法則、乘法公式的過程中，提升發展學生的符號意識、幾何直觀、推理能力等知識技能。

4.引導學生感悟：對于一個數學表達式，不僅要會順向看，還要會逆向看;弄清這兩種變形是互逆變形的過程。

【教學流程】活動一：研究支撐回憶

問題1：下列式子屬于數的哪些運算？

（1）8+3;（2）8-3;（3）8×3;（4）8×（3+2）;（5）（8+4）×（3+2）;（6）8÷3。

師：同學們，我們在小學是怎么稱呼這些運算的？

生：整數加法、整數減法、整數乘法、乘法的分配律、整數除法。

師：這位同學回答得非常正確。

【設計意圖】回憶小學時的“數的運算”，學生以輕松愉悅的心情成為課堂的主導者。

活動二：研究方向的確立

利用學生熟悉的長方形面積公式設置了以下若干問題：

問題2：如圖1，某城市中心廣場有一塊長方形的花圃，若花圃的豎直方向長為a米，水平方向長為b米，列式表示花圃的周長和面積。

師：有哪位同學會列式表示花圃的周長和面積？

生1：周長是a+a+b+b=2a+2b，面積是ab。

生2：周長還可以是長寬和的2倍，2（a+b）。師：同學們還有補充的嗎？

生3：老師，題目里有單位，所有周長的單位應該是米，面積的單位是平方米。

師：同學們回答得真好。那么請大家思考一下周長a+a+b+b=2a+2b是屬于什么運算？

生4：等號左邊是4個單項式的和，右邊是兩個單項式的和，等號左邊到右邊的過程是合并同類項。

生5：等號左右兩邊各是兩個多項式。

師：這兩位同學回答得很好。同學們，我們在七年級上學期學習了用字母表示數，然后學習了整式中的單項式和多項式。這個a+a+b+b=2a+2b從等號左邊到右邊的過程是整式的加法（合并同類項）。那么有哪位同學可以給我們大

家舉一個整式減法的例子？

生6：5a2b-2a2b=3a2b。

師：通過問題3、問題4、問題5、問題6，結合“數的運算”，請大家猜想一下接下來我們會研究整式的哪些運算，并給這些運算的類型起名字。

【設計意圖】學生自主回顧舊知識，并以主導者的身份去類比猜測得出后期整個章節我們需要研究整式的哪些運算，從而達到完成新知識的探究過程。

活動三：研究的過程（小組合作討論）

問題3：如圖2，為了擴大花圃面積，將花圃的水平方向加長n米，列式表示花圃的面積。

師：變化后的花圃面積應該怎么表示呢？

生1：加長后的花圃仍然是一個長方形的花圃，兩邊長分別為（b+n）米、a米，所以擴大后的花圃面積是a（b+n）。

生2：可以將原來的面積加上多出部分的面積，因為多出的部分也是長方形，這樣得到的花圃的面積是ab+an。

生3：缺少了單位，應該是（ab+an）平方米。

師：同學們通過兩種不同的途徑得到同一個圖形的面積。所以我們得到a（b+n）=ab+an。

問題4：如圖3，為了擴大花圃面積，將花圃的豎直方向加長m米，水平方向加長n米，列式表示花圃的面積。

師：變化后的花圃面積應該怎么表示呢？

生1：加長后的花圃仍然是一個長方形的花圃，兩邊長分別為（b+n）米，（a+m）米，所以擴大后的花圃面積是（a+m）（b+n）平方米。

生2：可以將原來的面積加上多出的3部分的面積，這樣得到的花圃的面積是（ab+an+bm+mn）平方米。

生3：可以看成是水平方向長為（b+n）米的上下兩個長方形拼起來的，所以面積為a（b+n）+m（b+n）。

師：同學們通過不同的途徑得到同一個圖形的面積（a+m）（b+n）=a（b+n）+m（b+n）=ab+an+bm+mn。

問題5：如圖4，為了擴大花圃面積，將花圃的豎直方向加長b米，水平方向加長a米，列式表示花圃的面積。

師：變化后的花圃面積應該怎么表示呢？

生1：變化后的花圃是一個正方形的花圃，花圃的長和寬都是（a+b）米，所以擴大后的花圃面積是（a+b）2平方米。

生2：還可以將4個部分的面積相加，這樣得到的花圃的面積是a2+2ab+b2。

問題6：為了增加花圃的藝術美觀性，現設計如圖5形狀的花圃，請列式表示陰影部分花圃的面積。

師：如果按照新設計的圖，同學們能否列

式表示陰影部分花圃的面積？生1：從整體看，陰影部分花圃的面積等于

邊長為a的大正方形減去邊長為b的小正方形面積。可以列式為a2-b2。

生2：我仔細觀察了這兩個陰影長方形，它們的寬都是a-b，所以這兩個陰影長方形可以拼成以a-b為寬的長方形。這個時候拼接后新的長方形的長為a+b，所以陰影部分的面積為

（a+b）（a-b）。問題7：以下這些運算我們應該怎么給它們命名呢？

1a+a+b+b=2a+2b;25a2b-2a2b=3a2b;3a·b=ab;42（a+b）=2a+2b;5a（b+n）=ab+an;6（a+m）（b+n）=a（b+n）+m（b+n）=ab+an+

bm+mn;7（a+b）2=（a+b）（a+b）=a（a+b）+b（a+b）=

a2+2ab+b2;8（a+b）（a-b）=a2-b2。

小組給出意見，教師不斷引導，如圖6。

師：同學們，這些式子是什么數量關系？等號左邊到右邊的過程你是怎么理解的？

生1：這些式子兩邊都是相等的，兩邊只是表示形式的不同。花圃的面積可以從整體去考慮，也可以分成若干個小的長方形去求。

生2：a（b+n）=ab+an，從左邊到右邊，我聯想到8×（3+2）=8×3+8×2，其運用了乘法的分配律。我猜想單項式與多項式相乘的法則：用單項式乘多項式的每一項。

生3：（a+m）（b+n）=a（b+n）+m（b+n）=ab+an+bm+mn，從左邊到右邊，我想到多項式與多項式相乘，可以第一步直接到最后一步。先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

師：同學們觀察得真仔細，我們由圖形的面積得到第8個等式，從第3個到第8個等式里面可以發現，整式的乘法可以分為單項式乘單項式、單項式乘多項式、多項式乘多項式這三類。這里我們遇到兩個特殊的多項式乘多項式：完全平方公式和平方差公式。

【設計意圖】在利用等面積法探究整式乘法法則、乘法公式的過程中，提升發展學生的符號意識、幾何直觀、推理能力等知識技能。

活動四：研究成果的應用

練習1：下列式子屬于整式的乘法運算的哪種類型？（鞏固整式的乘法類型。）

3x（2x2+y）;（a+b）（c+d）;（3x-1）（x-2）;8a2·4ab;（x+2y）·2x;a3·a2。

練習2：計算a3·a2;3（2x2+y）;（a+1）2。【設計意圖】學生在學習了整式乘法法則、乘法公式的運算法則之后，能判斷簡單的整式運算的類型和整式乘法運算。為以后的單元教學精學課、單元教學習題課和單元教學整理課

做鋪墊。

活動五：研究反思補充

問題8：類比小學學的“數的運算”，大家覺得我們還有沒有遺漏整式的哪些運算？

生：我覺得我們以后的學習過程中肯定會學到整式的除法。

師：很對，我們會在八年級下學期學習到整式除法的一種形式——“分式”。

師：請大家看一下這個題目99×101-99×100，大家還記得在小學怎么算的嗎？

生1：99×101-99×100=99×（101-100）。

生2：老師，我發現一個相同的地方，乘法分配律的逆運算過程在整式乘法里也成立。

師：很好，這兩位同學都很棒。請大家看一下，我們所列的各個等式從右邊到左邊的過程，將一個多項式寫成幾個整式乘積的形式，叫作多項式的因式分解。

活動六：研究總結提煉

問題9：本節課你有哪些收獲？

生1：類比小學學過的整數的運算，得到整式除了加減之外，還有整式的乘法和整式的除法，并且了解到整式的乘法里面還包含了單項式乘單項式，單項式乘多項式，多項式乘多項式，還遇到兩個特殊的多項式乘多項式，完全平方公式和平方差公式。

生2：由這7個式子我們可以發現，從等式的左邊到右邊的過程是計算中整式的乘法公式，由右邊到左邊的過程是因式分解。所以整式的乘法與因式分解是兩種互逆變形。

生3：借助圖形的面積，我們能直觀地發現整式的乘法法則和乘法公式，還總結構建了“整式乘法與因式分解”這章的知識結構思維導圖。如圖7。

師：這幾位同學總結得真好。下課！同學們再見！

【教學反思】

本節課從實際問題入手：為了擴大花圃面積，將花圃的水平方向和豎直方向的長度不斷變化，意在讓學生認識并理解整式的乘法和因式分解是代數運算及解決許多實際問題的重要基礎。利用等面積法讓學生發現單項式乘單項式、單項式乘多項式、多項式乘多項式、完全平方、平方差公式等結論，簡單直接，更易于驗證公式。

學生自主回顧舊知識來類比猜測后期整個章節我們需要研究整式的哪些運算，從而達到完成新知識的探究過程。“整式乘法與因式分解”章節起始課能幫助學生了解本章所學的主要內容，熟悉本章的知識結構，關注各個知識點之間的內在聯系。

工作室領銜人何麗華老師提出數學單元教學是在整體思維指導下，從提升學生數學核心素養的角度出發，對相關教材內容進行統籌重組和優化。優化后的相對獨立的數學整體教學內容就是數學單元。

（作者單位：江蘇省常州市金壇區第五中學）