三審三找，突破幾何審題難點

胡玨

有些同學(xué)拿到題目會感慨“題目太長，讀不懂”;還有些同學(xué)在解題后會感慨“我真是粗心，又看錯題目了”。數(shù)學(xué)題特別是幾何題真的有那么難讀懂嗎？同學(xué)們真的是因為粗心而解錯題目的嗎？今天，我們就以幾何問題為例，談?wù)剬忣}可

以從哪些方面入手。

一、審條件

每道題都有出題者想要考查的知識點，因此，在題目條件中會透露出要考查的信息。同學(xué)們在審題時要善于找到關(guān)鍵信息，分析關(guān)鍵信息，找到“已知”和“未知”間的橋梁，解決問題。

1.找關(guān)鍵信息，抓解題突破點。

例1如圖1，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=4/3，則CD=____。

從這題的條件可以看出，有兩個直角和一個三角函數(shù)，出題者肯定是要考查解直角三角形這個知識點。但是，題目中并沒有一個完整的可解的直角三角形，這時，很多同學(xué)會想到通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形。如果要添加輔助線，同學(xué)們首先想到的可能是連接AC，但是，這樣卻把自己陷入了解題的死胡同，因為，添加輔助線后出現(xiàn)了兩個不可解的直角三角形。應(yīng)該怎么辦呢？抓住題目中的關(guān)鍵信息tanA=4/3。這個關(guān)鍵信息有兩個作用：一是幫助我們找到添加輔助線的方法，如果想要用到這個三角函數(shù)，就要把∠A放在直角三角形中，自然能聯(lián)想到延長AD、BC交于點E，借助∠B構(gòu)造Rt△AEB;二是幫助我們找到sinE的值，因為∠A=∠DCE，所以，tanA=4/3=tan∠DCE，設(shè)DE=4k，則CD=3k，可以利用勾股定理表示出CE=5k，進而得出sinE=3/5

2.找關(guān)鍵信息，審出隱含條件。

題目中的關(guān)鍵信息是“+=0”的形式。從表面上看，∠A、∠B的度數(shù)均不知道，無法求解∠C，但是，如果我們深入思考，隱含條件便一目了然。題目中含有絕對值符號和平方，表明兩項均為非負數(shù)，則sinA-22=0和3-tanB=0，由此利用三角函數(shù)解出∠A、∠B的度數(shù)即可。

3.找關(guān)鍵信息，突破思維定式。

例3Rt△ABC中的兩條邊長為3和4，則第三邊長為____。

從這題的條件可以讀取到“Rt△ABC”“3和4”，很多同學(xué)易直接默認(rèn)兩直角邊長是3和4。但是此題的關(guān)鍵信息是“兩邊長”，只有抓住這個信息，才能幫助自己打破思維定式。題目沒有明確提出“兩條直角邊長”，所以“邊長4”既可以是直角邊，也可以是斜邊，由此得出另一個答案。

二、審題

問題是我們思考解決這道題的目的，也就是我們最終要到哪里去。從問題出發(fā)，追根溯源，可以思考用哪些方法到達目的地。思維的條理越清晰，越容易找到解題方法。

例4在△ABC中，∠ABC=60°，AB=8，AC=7，則△ABC的面積為。

從題目問題出發(fā)，抓住要求解的關(guān)鍵

詞“面積”思考。要求圖形的面積，根據(jù)三角形的面積公式，需要找到高，但是題目條件并未提及直角或垂直，因此我們聯(lián)想到作高。三角形的高線會因為形狀不同出現(xiàn)不同的情況，如銳角三角形的高在形內(nèi)、直角三角形的高就是直角邊、鈍角三角形的高在形外。所以，此題作高就可能出現(xiàn)兩種情況（如圖2）。

平時多做關(guān)于方法的歸納整理，更利于從問題出發(fā)尋求解決方法。

三、審圖形

當(dāng)我們在審?fù)陾l件和問題都沒能找到方法時，還有一個思考途徑就是審圖形。因為我們在幾何學(xué)習(xí)過程中常會遇到具有共同特征的相似的圖形，這些圖形往往根據(jù)自身特征有些相對固定的解題方法，如果在審題時能找出這樣的圖形，就能起到事半功倍的效果。

例5如圖3，已知等邊△ABC的邊長為8，E是邊AC中點，點D、P分別在邊AB、BC上，點P在BC上運動，且BD=3，∠DPE=60°，則BP的長____。

很多同學(xué)遇到動點問題就很害怕，感到無從下手。此題，我們需抓住題目圖形中∠B=∠C=∠DPE，找到熟悉的“一線三等角”模型，由此通過證明△BDP和△PEC相似，可以找到線段間的關(guān)系，從而解決問題。

（作者單位：江蘇省常州市北環(huán)中學(xué)）