挖掘隱含信息，確定“字母”的值

蔡支梅

求二次函數的解析式是中考的常見考查內容。二次函數的解析式有三種基本形式，分別為一般式、頂點式和交點式。根據二次函數圖像上“點”的信息及其特征，選用合適的形式，運用待定系數法建立“方程（組）”模型，通過求解方程（組）確定“字母”的值，就達到了求解二次函數解析式的目的。若從問題中獲取三個點的坐標信息，常常考慮選用一般式;若獲取的信息中含有“頂點”的坐標信息，常常選用頂點式;若“點”的坐標信息中含有兩個（x，0）的坐標形式，則考慮選用交點式。以上介紹的是一些解決常規問題的方式，在中考中，有時會出現非常規的“字母”求值問題，比如需要確定兩個“字母”的值，卻只提供了一個“點”的坐標信息，那如何確定二次函數的解析式呢？

已知拋物線y=ax2+bx+5的頂點坐標是（-1，4），則a=，b=。

【思路解析】此題考查用待定系數法確定二次函數解析式中字母的值，呈現的函數解析式形式為一般式，待確定的系數為字母a、b，已知條件為c=5，頂點坐標為（-1，4）。一般情況下，要求a、b的值，需要利用兩個點的坐標建立關于a、b的兩個方程，聯立成方程組求解即可。而本題只給了一個點的坐標，根據常規思路是無法完成字母求值的。但我們發現所給點的坐標信息是特殊點（頂點），此時需要思考通過頂點能獲取哪些隱含的信息。

因為二次函數y=ax2+bx+c（a=?0）的頂點坐標為（-2a，4a），此時b可獲得一些重要的信息，比如-2a=4ac-b2-1，4a=4等。由此我們可以得到以下幾種解法。

一、運用“頂點坐標公式”建立方程組

運用二次函數的頂點坐標公式，建立關于a、b的方程組，通過求解方程組確定字母a、b的值。

解法1：根據題意，得

二、運用“頂點式+一般式”建立方程

見到頂點，先使用二次函數的頂點式y=a（x-h）+k進行表達，再整理成二次函數的一般形式，對原題給出的一般式進行觀察，兩者進行比較，建立關于a、b的方程并求解。

解法2：因為二次函數的頂點是（-1，4），設二次函數的表達式為y=a·（x+1）2+4，

整理，得y=ax2+2ax+a+4，因為y=ax2+bx+5，

所以a+4=5，b=2a，

所以a=1，b=2。

三、運用“代入法+對稱軸”建立方程組

把頂點坐標代入二次函數表達式，得到一個關于a、b的方程，此時還需要一個關于a、b的方程，怎么辦？我們可以通過頂點的橫坐標信息建構a、b的數量關系，即

解法3：把頂點（-1，4）代入原表達式，得a-b+5=4，

聯立兩個方程，得

【解后反思】通過此問題的幾種解法，我們發現用待定系數法解決二次函數的系數（字母的值）問題時，既要學會根據問題中獲取的“點”的信息，熟練使用二次函數的一般式、頂點式、交點式等常規形式建立“方程（組）模型”確定表達式，也要善于挖掘問題中的隱含信息，比如對稱軸、最值等方面的信息，靈活運用待定系數法去解決“字母”值的問題。

（作者單位：江蘇省蘇州市相城經濟技術開發區漕湖學校）