對一道填空壓軸題的思考

范建兵

一、例題呈現

（2018年江蘇省蘇州市中考試卷第18題）如圖1，已知AB=8，P為線段AB上的一個動點，分別以AP、PB為邊在AB的同側作菱形APCD和菱形PBFE，點P、C、E在一條直線上，∠DAP=60°。M、N分別是對角線AC、BE的中點。當點P在線段AB上移動時，點M、N之間的距離最短為____（結果保留根號）

二、圖形識別

幾何問題的解決常常需要把握兩個關鍵：一是識別幾何圖形，二是尋找分析思路。對于復雜的幾何圖形，同學們常常不知道從哪里入手，此時較好的解題策略就是圖形分解，即從原有的復雜圖形去尋找，并拆分出若干個基本圖形，呈現出我們學習過程中比較熟悉的教材經典模型。在這道壓軸題的圖形中，除了等邊三角形、菱形、等腰三角形、線段中點等基礎圖形，可能還隱含了一些常用的組合圖形：圖2表示的是“等腰三角形+頂角外角平分線”模型;圖3表示的是“互為鄰補角的兩個角的角平分線互相垂直”;圖4表示的是“平行線中一組同旁內角的角平分線互相垂直”;圖5表示的是“線段PQ是定點Q與直線AB上的動點P之間的最小值”。這四個基本圖形都是幾何學習中常見的圖形，個個經典但深藏于本題之中，只要我們善于觀察、思考、分析圖形，找出這些基本圖形，及時關聯思考，就一定會找到解決問題的方法。

三、思路分析

在基本圖形識別清楚后，我們再回頭分析例題，分析已知條件與所求問題，由已知想所求，抽絲剝繭，并有針對性地進行思考。

問題1，題中要求點M、N之間的最短距離，我們可以從幾個角度進行思考：

1點M和點N是動點還是定點？（是動點。）

2運動過程中，兩點的運動路徑是什么樣的？（先尋找兩個動點的特殊運動狀態，如起點、終點、過程中任一點等。）

3線段MN什么時候最短？（線段最短的依據有兩個：一是兩點之間線段最短，另一個是垂線段最短。本題中屬于哪一種情況呢？）

問題2，菱形、等邊三角形有什么作用？

本題中如何運用特殊圖形的性質？題中還隱含了等腰三角形，還有30度的角，這些隱含條件能不能為解題發揮作用？兩個動點與這些特殊圖形有什么關聯？

問題3，已知中只有一個數量關系，即AB=8，題中的線段哪些是定量？哪些可變？如何表示變量與所求線段MN的關系？

四、解法呈現

解法一：如圖6，連接DP、PF，盡管點P是動點，但在運動過程中一直有如下兩個結論：1點M恰好是線段DP的中點，點N恰好是線段PF的中點;2∠MPN=90°。設AP=x，由直角三角形中30°角的性質及

解法二：如圖7，連接DP、PF、DF，圖中存在兩個結論：1點M恰好是線段DP的中點，點N恰好是線段PF的中點;2∠MPN=90°。設AP=x，由直角三角形中30°角的性質及勾股定理可得，PB=8-x，DP=x，PF=3（8-x），所以DF=x2+[3（8-x）]2=4x2-48x+192=4（x-6）2+48，所以當x=6時，DF取得最小值為43，由三角形中位線可得MN的最小值為23。

解法三：如圖8，設直線AC與直線BE交于點Q，由題意得，△AQB是直角三角形且∠QAB=30°，所以無論動點P如何運動，點Q及△AQB都唯一確定。由于矩形MPNQ對角線相等，即MN=PQ，因此求MN的最小值問題就轉化為求PQ的最小值。如圖9，當QP⊥AB時，PQ取得最小值23，因此MN的最小值為23。

五、變式鞏固

解題之后我們還需要有一定的反思及鞏固，以加強對這類題目的理解，可以反思：這類題還可以怎么做？這類題為什么可以這么做？這些方法中哪種方法更簡便？等等。還可以反思題目的變式，將原題的條件或結論變一變、改一改，重新設計問題，以考驗我們對知識的理解掌握和融合變化的能力。比如這一題，從簡化圖形這個角度，我們可以變出如下問題。

變式1：如圖10，線段AB=8，點P為線段AB上一動點，分別以AP、PB為邊，在AB同一側作等邊△APD和等邊△PBE，M、N分別是DP、BE的中點。當點P在線段AB上移動時，求MN的最小值。

變式2：如圖11，線段AB=8，點P為線段AB上一動點，∠A=60°，PA=PC，PB=PE，點M、N分別是AC、BE的中點。當點P在線段AB上移動時，求MN的最小值。

變式3：如圖12，線段AB=8，點P為線段AB上一動點，分別以AP、PB為直徑畫圓，D、E分別為兩圓上的點，且∠DAB=60°，AD∥EP，連接DE，求DE的最小值。

以上三個變式題與原題相比，形變但質不變，內涵不變，思路不變，方法不變，這樣的變化與思考更能體現學一題、會一類的解題效果。

（作者單位：江蘇省蘇州學府中學校）