“正方形半角”模型在中考壓軸題中的應用

張杰

【數學模型】如圖1，若在正方形ABCD中，E、F分別在AD、CD上，且∠EBF=45°。則有如下結論：

（1）EF=AE+CF;

（2）△EDF的周長=AD+CD=正方形周長的一半。

【解析】如圖2，利用截長補短法，延長DC到G，使CG=AE，可以證明△ABE≌△CBG，所以BE=BG，∠ABE=∠CBG。因為∠EBF=45°，所以∠GBF=45°，所以∠EBF=∠GBF，所以△EBF≌△GBF，從而證明EF=FG=FC+CG=FC+AE，△EDF的周長=AD+CD=正方形周長的一半。

【點評】在中考壓軸題中，特別是動態幾何問題中，如果出現正方形中存在45°的三角形時，我們可以加以應用。命題者通常會把點E、F作為兩邊的動點，產生的Rt△EDF的邊長改變，面積也會改變，但周長不變，圖形在運動過程中就存在著變量與不變量，這也是最近幾年壓軸題的一個非常顯著的特點。

（2019·江蘇徐州）如圖3，平面直角坐標系中，O為原點，點A、B分別在y軸、x軸的正半軸上。△AOB的兩條外角平分線交于點P，P在反比例函數y=9x的圖像上。PA的延長線交x軸于點C，PB的延長線交y軸于點D，連接CD。

（1）求∠P的度數及點P的坐標;

（2）求△OCD的面積;

（3）△AOB的面積是否存在最大值？若存在，求出最大面積;若不存在，請說明理由。

【解析】（1）如圖4，過點P分別作PE、PF、PN垂直于y軸、x軸、AB，垂足分別為E、F、N，容易求出P點坐標為（3，3），∠APB的度數為45°。

（2）（解法1）如圖5，連接OP，

∵∠APB=45°，∠POF=45°。

∴∠PCO=∠DPO，且∠POC=∠DOP=135°，

∴△PCO∽△DPO，

即CO·DO=PO2=（3

∴△COD的面積=9。

（解法2）設OA=a，OB=b，則AE=3-a，BF=3-b。根據正方形中45°三角形模型得AB=AE+BF，∴AB=6-a-b。

∵AB2=OA2+OB2，

【點評】解法1的巧妙在于利用相似關系求出CO與DO的乘積，技巧性比較強。但考試的時候，我們在很短的時間內難以想出這個思路。

解法2考慮到OA、OB長度可以改變，這樣OC與OD的長度也會改變，△COD的形狀隨之發生改變，但面積是否改變要看OC與OD的乘積。我們通過把OC、OD用OA、OB表示，運用代數式的變形求出結果。利用“正方形半角”模型得AB=EA+FB，結合勾股定理構建相等關系是解決問題的關鍵。這樣的思路比較簡單，容易上手，好突破，也能為同學們高中的學習打下基礎。

【解析】（3）（解法1）這里從“正方形半角”模型更容易入手。此問就轉化成這樣一個數學問題，當Rt△AOB的周長為一定值時，求它的面積的最大值。根據經驗，我們猜想這個直角三角形為等腰直角三角形時面積最大。

如圖6，過點P分別作PE、PF、PN垂直于y軸、x軸、AB，垂足分別為E、F、N。設OA=a，OB=b，

則AN=AE=3-a，BN=BF=3-b，∴AB=6-a-b，∴OA+OB+AB=6，

∴a+b+a2+b2=6，

∴2ab+2ab≤6，∴（2+2）ab≤6，

∴ab≤3（2-2），∴ab≤54-362，

∴S△AOB=12ab≤27-182，

∴△AOB的面積的最大值為27-182。（解法2）如圖7，取AB的中點M，連接PM、OM，根據三角形三邊的關系知OM≥OP-PM=32-PM。因為點P在△AOB的外角平分線上，點P到AB的距離為3，

PM的最小值為3，所以OM≥32-3，此時

AB≥62-6。因為S△AOB=S正方形PEOF-S△ABP-

S△APE-S△BPF，根據“正方形內45°三角形”

模型AB=AE+BF，且點P到AB的距離為

3，可以證明S△ABP=S△APE+S△BPF。所以S△AOB1

=S正方形PEOF-2S△ABP=9-2×2×AB×3=9-3AB，所以當AB=62-6時，S△AOB的面積有最大值，最大值為9-3（62-6）=27-182。

【點評】解法2是從幾何角度先得到AB的取值范圍，再利用“正方形半角”模型得到三角形之間的面積關系，最后根據函數關系求出答案。

在今后的解題過程中，同學們如果能從一些數學模型的角度去思考問題，便易于找到解決問題的突破口，降低解題的難度。實際上許多復雜的問題都可以看成是由一些簡單數學模型組合變化形成的。在今后的學習過程中，希望同學們對一些常見數學模型加以總結、積累和應用，這樣你們解題能力會不斷提高。

（作者單位：江蘇省鎮江市寶堰中學）