不容小覷的“填空壓軸題”

康海芯

各地的中考數學試題中填空題的最后一道題，因為考查的背景新穎鮮活，涉及的知識點多，更側重數學知識和數學思想方法的靈活運用，已然成為一類不容小視的壓軸題。這就要求我們有較強的理解、分析和解決問題的能力，為幫助大家掌握填空壓軸題的命題特點和解題策略，老師將結合2019年的部分中考試題加以分析，供大家參考。

一、探究最值型

例1（2019·江蘇南通）如圖1，?ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P為邊CD上的一動點，則PB+23PD的最小值等于。

【解析】如圖2所示，題中已知B、D是兩個定點，點P在CD上運動，延長AD至E，可知∠PDE=60°。要得到長為23PD的線段，只要過點P作PE⊥AD，交AD的延長線于點E，即可構造Rt△PDE，可得EP=23PD，即PB+23PD=PB+PE。要得PB+PE的最小值，只要點B、P、E三點共線且BE⊥AD，那么要求的最小值即為BE的長。在Rt△ABE中，AB=6，∠BAE=60°，依據BE3sin∠A=AB，解得BE=33，即PB+2PD的最小值為33。

【點評】解答這類最值問題時，常用的方法是構造直角三角形，把兩條線段之和最值的問題轉化為點到直線的距離問題。

二、圖形變換型

例2（2019·江蘇鹽城）如圖3，在平面直角坐標系中，一次函數y=2x-1的圖像分別交x、y軸于點A、B，將直線AB繞點B按順時針方向旋轉45°，交x軸于點C，則直線BC的函數表達式是。

【解析】根據已知條件無法直接求出直線BC的函數表達式，結合題中∠ABC=45°聯想到構造等腰直角三角形，即過A作AF⊥AB交BC于F，得到AB=AF，隨后求出點F的坐標即可。過F作FE⊥x軸于E，根據全等三角形的性質得到AE=OB=1，EF=OA=2，求得F（2，-2），最后利用待定系數法即可求出直線BC的函數表達式為y=13x-1。

【點評】解答這類圖形變換問題時，若題中出現直角三角形和45°兩個條件時，我們可以考慮作垂線構造“一線三直角”模型，利用全等三角形或相似三角形的性質來求解。

例3（2019·江蘇揚州）如圖5，在△ABC中，AB=5，AC=4，若進行以下操作，在邊BC上從左到右依次取點D1、D2、D3、D4......過點D1作AB、AC的平行線分別交AC、AB于點E1、F1;過點D2作AB、AC的平行線分別交AC、AB于點E2、F2;過點D3作AB、AC的平行線分別交AC、AB于點E3、F3......則4（D1E1+D2E2+...+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+...+D2019F2019）=。

【解析】根據題中條件D1F1∥AC，D1E1∥AB，利用平行線分線段成比例定理D1F1BF1D1F1AB-D1E1可得AC=AB，即AC=AB。因為AB=5，AC=4，則有4D1E1+5D1F1=20;同理有如下規律4D2E2+5D2F2=20，......，4D2019E2019+5D2019F2019=20，因此4（D1E1+D2E2+...+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+...+D2019F2019）=20×2019=40380。

【點評】解答這類規律探究問題時，我們常用的方法是由特殊出發，多算幾組線段的長，多比較幾組數，發現循環組，即可快速找到解決思路。

例4（2019·江蘇常州）如圖6，在矩形ABCD中，AD=3AB=310，點P是AD的中點，點E在BC上，CE=2BE，點M、N在線段BD上。若△PMN是等腰三角形且底角與∠DEC相等，則MN=。

【解析】題中M、N在線段BD上，但位置沒有指明，而△PMN是等腰三角形且底角與∠DEC相等，則應考慮分類討論求解，即分以下兩種情況。1如圖7，當MN為等腰△PMN的底邊時，作PF⊥MN于F，則∠PFM=∠PFN=90°。由矩形的性質得出AB=CD，BC=AD=3AB=310，∠A=∠C=90°，得出AB=CD=10，BD=AB2+AD2=10。證明PFPD3△PDF∽△BDA，得出AB=BD，求出PF=2。CE=2BE=210，則CE=2CD。∠PFN=∠C=90°，∠PNF=∠DEC，證得△PNF∽△DEC，得出NF=CE=2，求出NF=2PF=3，再由PFCD等腰三角形的性質得出MF=NF，即可得出MN=2NF=6。2如圖8，當MN為等腰△PMN的腰時，作PF⊥BD于F。由1得PF=32，MF=3。設MN=PN=x，則FN=3-x，在Rt△PNF中，由勾股定理得出方程為（3）2+（3-x）2=x2，解方程即可解得x=15，即MN=15。綜上所述，MN的長為6或15。

【點評】解答涉及圖形形狀是等腰三角形的問題時，要分清是等腰直角三角形、等腰鈍角三角形、等腰銳角三角形中的哪個，涉及直角三角形要分清哪個角是直角，涉及平行四邊形的線段時注意分類考慮邊和對角線，涉及相似三角形時注意分類考慮對應邊。

五、函數幾何綜合型

例5（2019·浙江寧波）如圖9，過原點的直線與反比例函數y=x（k>0）的圖像交于A、B兩點，點A在第一象限。點C在x軸正半軸上，連接AC交反比例函數圖像于點D。AE為∠BAC的平分線，過點B作AE的垂線，垂足為E，連接DE。若AC=3DC，△ADE的面積為8，則k的值為。

【解析】根據題中已知條件無法利用面積法求出k的值，嘗試考慮連接OE、CE，過點A作AF⊥x軸，過點D作DH⊥x軸，DG⊥AF。由已知條件第一句可得A與B關于原點對稱，∴O是AB的中點。∵BE⊥AE，∴OE=OA，∴∠OAE=∠AEO，再由AE為∠BAC的平分線，可得∠OAE=∠CAE，則AD∥OE，進而可得S△ACE=S△AOC=12。設點A坐標為（m，k），由已知條件AC=3DC，DH∥AF，可得3DH=AF，則點D坐標為（3m，）。由證明△DHC∽△AGD，得到S△HDC=4S△ADG，所以S=S+S+S=1k+4k+1k=12，解方程即可求出k的值為6。

【點評】解答反比例函數與幾何圖形問題時，采用的方法是通過設未知數表示圖形中的某條線段的長，利用等量關系（相似性質，勾股定理，三角函數等）列方程解決問題。

（作者單位：廣東省深圳市龍華中學）

初中數學規律探索問題是數學學習中常見的一類題型，也是近年來中考數學的熱點題型。就其形式而言有數式、圖形、數形結合等方式。下面，老師就以數式型規律探索題為例，談談解答技巧。

例1（2019·湖北武漢）觀察等式：2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2......已知按一定規律排列的一組數：250、251、252......299、2100。若250=a，用含a的式子表示這組數的和是（）。

A.2a2-2aB.2a2-2a-2

C.2a2-aD.2a2+a

【分析】我們要通過觀察，分析、歸納其中的規律，并應用發現的規律解決問題。解決本題的難點在于得出規律：2+22+23+...+2n=2n+1-2。那么250+251+252+...+299+2100=（2+22+23+...+2100）-（2+22+23+...+249），將規律代入計算即可。

解：∵2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2......

∴2+22+23+...+2n=2n+1-2，∴250+251+252+...+299+2100=（2+22+23+...+2100）-（2+22+23+...+249）=（2101-2）-（250-2）=2101-250，∵250=a，∴2101=（250）2·2=2a2，

∴原式=2a-a。

故選C。

例2（2019·山東濟寧）已知有理數a=?1，我們把1稱為a的差倒數，1-a如：2的差倒數是1=-1，-1的差倒數是1-（-1）=2。如果a1=-2，a2是a1的差111-2倒數，a3是a2的差倒數，a4是a3的差倒數......依此類推，那么a1+a2+...+a100的值是（）

【分析】解決本題，我們要通過從一些特殊的數字變化中發現不變的因素或按規律變化的因素，然后推廣到一般情況。求出數列的前4個數，從而得出

這個數列以-2，1，3依次循環，且-2+131323+2=-6，再求出這100個數中有多少個周期，從而得出答案。

解：∵a=-2，∴a=1=1，a=121-（-2）33

A.-7.5B.7.5C.5.5D.-5.5

1=3，a=1=-2......

1-13241-32

13∴這個數列以-2，，依次循環，

13132且-2+3+2=-6，

故選A。

例3（2019·湖南株洲）從-1，1，2，4四個數中任取兩個不同的數（記作ak，bk）構成一個數組MK={ak，bk}（其中k=1，2......S，且將{ak，bk}與{bk，ak}視為同一個數組），若滿足：對于任意的Mi={ai，b}i和Mj={aj，b}j（i=?j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi=?aj+bj，則S的最大值（）。

【分析】找出ai+bi共有幾個不同的值是解題的關鍵。求出ai+bi的值，結合對于任意的Mi={ai，b}i和Mj={aj，b}j（i=?j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi=?aj+bj，即可得出S的最大值。

解：∵-1+1=0，-1+2=1，-1+4=3，1+2=3，1+4=5，2+4=6，

∴ai+bi共有5個不同的值。

又∵對于任意的Mi={ai，b}i和Mj={aj，b}j（i=?j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi=?

aj+bj，

∴S的最大值為5。

故選C。

例4（2019·貴州安順）如圖1，將從1開始的自然數按以下規律排列，例如位于第3行、第4列的數是12，則位于第45行、第7列的數是。

【分析】解決本題的關鍵是仔細觀

察，探究規律，利用規律解決問題。觀察圖表可知第n行第一個數是n2，可得第45行第一個數是2025，再觀察每一行數字的變化規律，從而推出

結果。

解：觀察圖表可知第n行第一個數是n2，

∴第45行第一個數是2025，

∴第45行、第7列的數是2025-6=2019。

故答案為2019。

例5（2019·海南）有2019個數排成一行，對于任意相鄰的三個數，都有中間的數等于前后兩數的和。如果第一個數是0，第二個數是1，那么前6個數的和是，這2019個數的和是。

【分析】解決本題的關鍵是明確題意，發現題目中數字的變化規律。我們可以根據題意寫出這組數據的前幾個數，從而依據數字的變化規律解決問題。

解：由題意可得，這列數為：0，1，1，0，-1，-1，0，1，1......

∴前6個數的和=0+1+1+0+（-1）+（-1）=0，

∵2019÷6=336...3，

∴這2019個數的和=0×336+（0+1+1）=2。

故答案為0，2。

例6（2019·安徽）觀察以下等式：

......

按照以上規律，解決下列問題：（1）寫出第6個等式：;（2）寫出你猜想的第n個等式：

（用含n的等式表示），并證明。

【分析】解決本題的關鍵是根據已知等式得出2=1+1的規

2n-1nn（2n-1）律，并熟練加以運用。

解：（1）第6個等式為2=1+1。21111666

（2）=+。2n-1nn（2n-1）

證明：∵右邊=1+1

nn（2n-1）

2n-1+1=2=左邊。

n（2n-1）2n-1

∴等式成立。

故答案為2=1+

探索規律型試題體現了數學中的歸納、猜想的思考方法和轉化的數學思想。根據條件中的信息，結合自己掌握的知識，做出一種可能存在的規律性的結論推斷，這就是歸納、猜想的過程。解決這類問題的思路是從簡單的、局部的、特殊的情形出發，經過提煉、歸納、猜想，尋找到一般的規律，從而解決問題。

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實驗中學）