數式型規律探索題的解題技巧

陸敏

初中數學規律探索問題是數學學習中常見的一類題型，也是近年來中考數學的熱點題型。就其形式而言有數式、圖形、數形結合等方式。下面，老師就以數式型規律探索題為例，談談解答技巧。

例1（2019·湖北武漢）觀察等式：2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2......已知按一定規律排列的一組數：250、251、252......299、2100。若250=a，用含a的式子表示這組數的和是（）。

A.2a2-2aB.2a2-2a-2

C.2a2-aD.2a2+a

【分析】我們要通過觀察，分析、歸納其中的規律，并應用發現的規律解決問題。解決本題的難點在于得出規律：2+22+23+...+2n=2n+1-2。那么250+251+252+...+299+2100=（2+22+23+...+2100）-（2+22+23+...+249），將規律代入計算即可。

解：∵2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2......

∴2+22+23+...+2n=2n+1-2，∴250+251+252+...+299+2100=（2+22+23+...+2100）-（2+22+23+...+249）=（2101-2）-（250-2）=2101-250，∵250=a，∴2101=（250）2·2=2a2，

∴原式=2a-a。

故選C。

例2（2019·山東濟寧）已知有理數a=?1，我們把1稱為a的差倒數，1-a如：2的差倒數是1=-1，-1的差倒數是1-（-1）=2。如果a1=-2，a2是a1的差111-2倒數，a3是a2的差倒數，a4是a3的差倒數......依此類推，那么a1+a2+...+a100的值是（）

【分析】解決本題，我們要通過從一些特殊的數字變化中發現不變的因素或按規律變化的因素，然后推廣到一般情況。求出數列的前4個數，從而得出

這個數列以-2，1，3依次循環，且-2+131323+2=-6，再求出這100個數中有多少個周期，從而得出答案。

解：∵a=-2，∴a=1=1，a=121-（-2）33

A.-7.5B.7.5C.5.5D.-5.5

1=3，a=1=-2......

1-13241-32

13∴這個數列以-2，，依次循環，

13132且-2+3+2=-6，

故選A。

例3（2019·湖南株洲）從-1，1，2，4四個數中任取兩個不同的數（記作ak，bk）構成一個數組MK={ak，bk}（其中k=1，2......S，且將{ak，bk}與{bk，ak}視為同一個數組），若滿足：對于任意的Mi={ai，b}i和Mj={aj，b}j（i=?j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi=?aj+bj，則S的最大值（）。

【分析】找出ai+bi共有幾個不同的值是解題的關鍵。求出ai+bi的值，結合對于任意的Mi={ai，b}i和Mj={aj，b}j（i=?j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi=?aj+bj，即可得出S的最大值。

解：∵-1+1=0，-1+2=1，-1+4=3，1+2=3，1+4=5，2+4=6，

∴ai+bi共有5個不同的值。

又∵對于任意的Mi={ai，b}i和Mj={aj，b}j（i=?j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi=?

aj+bj，

∴S的最大值為5。

故選C。

例4（2019·貴州安順）如圖1，將從1開始的自然數按以下規律排列，例如位于第3行、第4列的數是12，則位于第45行、第7列的數是。

【分析】解決本題的關鍵是仔細觀

察，探究規律，利用規律解決問題。觀察圖表可知第n行第一個數是n2，可得第45行第一個數是2025，再觀察每一行數字的變化規律，從而推出

結果。

解：觀察圖表可知第n行第一個數是n2，

∴第45行第一個數是2025，

∴第45行、第7列的數是2025-6=2019。

故答案為2019。

例5（2019·海南）有2019個數排成一行，對于任意相鄰的三個數，都有中間的數等于前后兩數的和。如果第一個數是0，第二個數是1，那么前6個數的和是，這2019個數的和是。

【分析】解決本題的關鍵是明確題意，發現題目中數字的變化規律。我們可以根據題意寫出這組數據的前幾個數，從而依據數字的變化規律解決問題。

解：由題意可得，這列數為：0，1，1，0，-1，-1，0，1，1......

∴前6個數的和=0+1+1+0+（-1）+（-1）=0，

∵2019÷6=336...3，

∴這2019個數的和=0×336+（0+1+1）=2。

故答案為0，2。

例6（2019·安徽）觀察以下等式：

......

按照以上規律，解決下列問題：（1）寫出第6個等式：;（2）寫出你猜想的第n個等式：

（用含n的等式表示），并證明。

【分析】解決本題的關鍵是根據已知等式得出2=1+1的規

2n-1nn（2n-1）律，并熟練加以運用。

解：（1）第6個等式為2=1+1。21111666

（2）=+。2n-1nn（2n-1）

證明：∵右邊=1+1

nn（2n-1）

2n-1+1=2=左邊。

n（2n-1）2n-1

∴等式成立。

故答案為2=1+

探索規律型試題體現了數學中的歸納、猜想的思考方法和轉化的數學思想。根據條件中的信息，結合自己掌握的知識，做出一種可能存在的規律性的結論推斷，這就是歸納、猜想的過程。解決這類問題的思路是從簡單的、局部的、特殊的情形出發，經過提煉、歸納、猜想，尋找到一般的規律，從而解決問題。

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實驗中學）