設(shè)計(jì)概率模型　解決實(shí)際問題

楊緒彪

方案設(shè)計(jì)與決策型問題是先提供一個(gè)情境，要求解題者利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識來解決問題。這類問題既考查動手操作的實(shí)踐能力，又培養(yǎng)創(chuàng)新品質(zhì)，應(yīng)該引起同學(xué)們的重視。

例1從-1，2，3，-6這四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，分別記作m，n，那么點(diǎn)（m，n）在函數(shù)y=x圖像上的概率是。

【解析】從-1，2，3，-6這四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，所有可能的結(jié)果有12種，每種結(jié)果的可能性相同，其中，兩數(shù)乘積為6的結(jié)果有4種。當(dāng)兩數(shù)乘積為6時(shí)，點(diǎn)（m，n）必定在函數(shù)y=6x的圖像上，因此P=4=1。故選B。

二、概率與幾何知識結(jié)合

例2一個(gè)不透明的袋子中裝有四個(gè)小球，上面分別標(biāo)有數(shù)字-2，-1，0，1，它們除了數(shù)字不同外，其他完全相同。

（1）隨機(jī)從袋子中摸出一個(gè)小球，摸出的球上面標(biāo)的數(shù)字為正數(shù)的概率是。

（2）小聰先從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下數(shù)字作為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)M的橫坐標(biāo);然后放回?cái)噭颍又∶鲝拇又须S機(jī)再摸出一個(gè)小球，記下數(shù)字作為點(diǎn)M的縱坐標(biāo)。如圖1，已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-2，0），B（0，-2），C（1，0），D（0，1），請用畫樹狀圖或列表法，求點(diǎn)M落在四邊形ABCD所圍成的圖形內(nèi)（含邊界）的概率。

【解析】（1）在-2，-1，0，1中正數(shù)有1個(gè)，∴摸出的球上面標(biāo)的數(shù)字為正數(shù)的概率是14。

故答案為1/4

（2）此問為放回試驗(yàn)。列表如下：

由表知，共有16種等可能結(jié)果，其中點(diǎn)M落在四邊形ABCD所圍成的圖形內(nèi)（含邊界）的有（-2，0）、（-1，-1）、（-1，0）、（0，-2）、（0，-1）、（0，0）、（0，1）、（1，0）這8個(gè)，所以點(diǎn)M落在四邊形ABCD所圍成的圖形內(nèi)（含邊界）的概率為1/2。

三、概率與其他學(xué)科結(jié)合

例3如圖2所示的電路中，當(dāng)隨機(jī)閉合開關(guān)S、S、S3中的兩個(gè)時(shí)，能夠讓燈泡發(fā)光的概率為。

【解析】共有S1S2、S1S3、S2S3三種情況，其中能讓燈泡發(fā)亮的有S1S2、S1S3兩種情況，所以能讓燈泡發(fā)光的概率為23。

四、概率與時(shí)政結(jié)合

例4為了調(diào)查學(xué)生對霧霾天氣知識的了解程度，某校在學(xué)生中做了一次抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果共分為四個(gè)等級：A.非常了解;B.比較了解;C.基本了解;D.不了解。根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果，繪制了如下所示的不完整的三種統(tǒng)計(jì)圖表。

請結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖表，回答下列問題：（1）本次參與調(diào)查的學(xué)生共有人，n=;

（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中D部分扇形所對應(yīng)的圓心角是度;（3）請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

（4）根據(jù)調(diào)查結(jié)果，學(xué)校準(zhǔn)備開展關(guān)于霧霾的知識競賽，某班要從小明和小剛中選一人參加，現(xiàn)設(shè)計(jì)了如下游戲來確定，具體規(guī)則是：把四個(gè)完全相同的乒乓球分別標(biāo)上數(shù)字1，2，3，4，然后放到一個(gè)不透明的袋中充分搖勻，一個(gè)人先從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，另一人再從剩下的三個(gè)球中隨機(jī)摸出一個(gè)球。若摸出的兩個(gè)球上的數(shù)字和為奇數(shù)，則小明去，否則小剛?cè)ァＵ堄卯嫎錉顖D或列表法說明這個(gè)游戲規(guī)則是否公平。

【解析】（1）180÷45%=400，所以本次參與調(diào)查的學(xué)生共有400人，n=1-5%-15%-45%=35%。

（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中D部分扇形所對應(yīng)的圓心角=360°×35%=126°。

（3）D等級的人數(shù)為400×35%=140（人）。

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖為：

（4）畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結(jié)果，其中和為奇數(shù)的結(jié)果有8種，

∴這個(gè)游戲規(guī)則不公平。

（作者單位：江蘇省徐州市第三十五中學(xué)）