構(gòu)造基本圖形，巧解含有45°角的問題

余旭紅

以函數(shù)為載體的幾何問題始終是近幾年全國各地中考的熱點(diǎn)試題。要解決此類問題，我們常把“形”轉(zhuǎn)化為運(yùn)算，達(dá)到“化形為數(shù)”的目的;同時(shí)一定要充分利用幾何的基本性質(zhì)

（如勾股定理和三角形的全等與相似、等腰三角形和特殊四邊形的性質(zhì)等），抓住問題表象中的隱含條件，構(gòu)造出基本圖形，結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的有關(guān)計(jì)算，達(dá)到幾何與代數(shù)的完美結(jié)合。我們以一道典型試題為例，說明通過構(gòu)造基本圖形，巧妙解答含有45°角的問題。

例題呈現(xiàn)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x+m分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)C（2，0）。

設(shè)P為OB的中點(diǎn)，連接PA、PC，若∠CPA=45°，求m的值。

方法一：構(gòu)造“一線三等角”基本圖形，利用相似三角形性質(zhì)巧妙解決問題。

【解析】如圖2，在y軸上截取OD=OC，可得∠PDC=45°，可證得△ABP

12m∽△PDC，從而可得DC=DP，即22

BPBA=12m+2，解得m=12。

【解題感悟】“一線三等角”基本圖形往往能建立三角形相似或全等。抓住∠CPA=∠PBA構(gòu)造等腰Rt△OCD，得到∠CPA=∠PBA=∠PDC=45°，形成“一線三等角”的基本圖形，再利用相似三角形的基本性質(zhì)列出方程，從而巧妙地求解m的值。

方法二：構(gòu)造“三垂型”基本圖形，利用全等三角形性質(zhì)巧妙解決問題。

【解析】如圖3，過點(diǎn)C作DC⊥PC，交AP于點(diǎn)D，作DE⊥x軸，易得△OPC≌△ECD，從而可得DE=CO=2，

【解題感悟】“三垂型”基本圖形往往能建立三角形相似或全等。在例題的求解中，構(gòu)造等腰Rt△PCD，構(gòu)造Rt△DCE，從而可得∠POC=∠PCD=∠CED=90°，形成“三垂型”基本圖形。由PC=CD即得到△OPC與△ECD全等，利用全等三角形的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理列出方程，從而巧妙地求解m的值。

方法三：構(gòu)造“正方形”，利用相似三角形性質(zhì)巧妙解決問題。

我們先回顧一下正方形內(nèi)含45°角的基本圖形的重要結(jié)論。

如圖4，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的點(diǎn)，且∠FAE=45°，求證：FD+BE=EF。

【思路分析】將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，可證得G、B、E三點(diǎn)共線，∠GAE=∠FAE=45°，從而根據(jù)AG=AF，AE=AE，證得△AGE≌△AFE，得到GE=EF，由于GB=FD，GE=GB+BE，即得到FD+BE=EF。

【解析】如圖5，過點(diǎn)P構(gòu)造正方形OPDE，使得點(diǎn)D、E分別在AB、OA的邊上。∵DE∥BO，P為BO中點(diǎn)，∴=，=，可得DN=NE=14m。根據(jù)題前回顧可知（完整解題時(shí)需給出證明），CN=DN+OC，即在Rt△CEN中，CN=2+14m，CE=12m-2，NE=14m，則（12m-2）2+（14m）2=（2+14m）2，解得m=12。

【解題感悟】像這種在正方形中含有45°角的圖形我們可以稱之為“正方形半角”基本圖形，這是一種常見的基本圖形。這類問題一般可以利用旋轉(zhuǎn)得到全等三角形，進(jìn)而得到線段之間的關(guān)系，再在直角三角形中通過勾股定理列出方程，從而巧妙地求解m的值。方法四：構(gòu)造“等腰直角三角形”，利用相似三角形性質(zhì)巧妙解決問題。

【解析】如圖6，作CD⊥AP于點(diǎn)D，則△PCD為等腰直角三角形，則PC=2CD。由△ACD∽△APO，可知ACCD5AP=PO，由AC=m-2，AP=2m，PO=15102m，則CD=5（m-2），易得PC=5（m-2）。在Rt△POC中，PO=12m，OC=2，則22+（2m）2=[5（m-2）]2，解得m=12。

【解題感悟】依靠∠CPA=45°，構(gòu)造等腰Rt△CPD，同時(shí)又構(gòu)造出△ACD∽△APO，得到相應(yīng)線段間的數(shù)量關(guān)系，在直角三角形中通過勾股定理列出方程，從而巧妙地求解m的值。

（作者單位：浙江省紹興市柯橋區(qū)浙光中學(xué)）