實際問題中的方程與不等式模型

李智勇

建立模型是學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)應(yīng)用”的最佳方式之一，它能夠讓同學(xué)們深刻體會到數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用。隨著中考對“理論聯(lián)系實際”能力考查的注重，這就要求我們能夠從實際問題中抽象出蘊含的方程與不等式，找出等量關(guān)系和不等關(guān)系，建立方程（組）模型和不等式（組）模型，從而把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后運用數(shù)學(xué)知識來解決實際問題。

例1某商店購進甲、乙兩種商品，甲的進貨單價比乙的進貨單價高20元，已知20個甲商品的進貨總價與25個乙商品的進貨總價相同。

（1）求甲、乙商品的進貨單價;

（2）若甲、乙兩種商品共進貨100件，要求兩種商品的進貨總價不高于9000元，同時甲商品按進價提高10%后的價格銷售，乙商品按進價提高25%后的價格銷售，兩種商品全部售完后的銷售總額不低于10480元，問有哪幾種進貨方案？

（3）在條件（2）下，并且不再考慮其他因素，若甲、乙兩種商品全部售完，哪種方案利潤最大？最大利潤是多少？

【分析】（1）設(shè)甲商品的進貨單價是x元，乙商品的進貨單價是y元，根據(jù)“甲的進貨單價比乙的進貨單價高20元，已知20個甲商品的進貨總價與25個乙商品的進貨總價相同”即可列方程組求解;

（2）設(shè)甲進貨x件，乙進貨（100-x）件，根據(jù)“兩種商品的進貨總價不高于9000元”“兩種商品全部售完后的銷售總額不低于10480元”即可列不等式組求解;

（3）根據(jù)每個商品的利潤列出總利潤的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)即可求解。

解：（1）設(shè)甲商品的進貨單價是x元，乙商品的進貨單價是y元。

根據(jù)題意，得ìíx-y=20，?20x=25y。

解得{x=100，y=80。

答：甲商品的進貨單價是100元，乙商品的進貨單價是80元。

（2）設(shè)甲商品進貨x件，乙商品進貨（100-x）件。

根據(jù)題意，得

ìí100x+80（100-x）≤9000，

?100x（1+10%）+80（100-x）（1+25%）≥10480。解得48≤x≤50。

∵x是正整數(shù)，則x的值是48或49或50。所以有3種進貨方案：甲商品進貨48件，乙商品進貨52件;甲商品進貨49件，乙商品進貨51件;甲商品進貨50件，乙商品進貨50件。

（3）銷售的利潤w=100×10%x+80（100-x）×25%，即w=2000-10x，

∵-10<0，∴w隨x的增大而減小，

∴當x取得最小值48時，w取得最大值，是2000-10×48=1520（元）。

此時，乙商品進貨量是100-48=52（件）。

答：當甲商品進貨48件，乙商品進貨52件時，利潤最大，是1520元。

【點評】本題是實際生活中的“市場營銷”問題，考查了二元一次方程組和一元一次不等式組的應(yīng)用，以及一次函數(shù)的性質(zhì)。正確求得甲商品進貨數(shù)量的范圍是關(guān)鍵。

例2“綠水青山就是金山銀山”。為保護生態(tài)環(huán)境，A、B兩村準備各自清理所屬區(qū)域養(yǎng)魚網(wǎng)箱和捕魚網(wǎng)箱，每村參加清理人數(shù)及總開支如下表：

（1）若兩村清理同類漁具的人均支出費用一樣，求清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱和捕魚網(wǎng)箱的人均支出費用各是多少元;

（2）在人均支出費用不變的情況下，為節(jié)約開支，兩村準備抽調(diào)40人共同清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱和捕魚網(wǎng)箱，要使總支出不超過102000元，且清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱人數(shù)少于清理捕魚網(wǎng)箱人數(shù)，則有哪幾種分配清理人員的方案？

【分析】（1）設(shè)清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱的人均費用為x元，清理捕魚網(wǎng)箱的人均費用為y元，根據(jù)A、B兩村莊總支出列出關(guān)于x、y的方程組，解之即可;

（2）設(shè)m人清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱，則（40-m）人清理捕魚網(wǎng)箱，根據(jù)“總支出不超過102000元，且清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱人數(shù)少于清理捕魚網(wǎng)箱人數(shù)”列不等式組求解即可。

解：（1）設(shè)清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱的人均費用為x元，清理捕魚網(wǎng)箱的人均費用為y元。

答：清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱的人均費用為2000元，清理捕魚網(wǎng)箱的人均費用為3000元。

（2）設(shè)m人清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱，則（40-m）人清理捕魚網(wǎng)箱。

根據(jù)題意，得

∵m為整數(shù)，∴m=18或m=19。所以有2種分配清理人員方案：18人清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱，22人清理捕魚網(wǎng)箱;19人清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱，21人清理捕魚網(wǎng)箱。

【點評】本題是實際問題中的“方案安排”問題，主要考查二元一次方程組和一元一次不等式組的應(yīng)用。解題的關(guān)鍵是找到題目蘊含的相等關(guān)系或不等關(guān)系，并據(jù)此列出方程或不等式。

例3建設(shè)中的大外環(huán)路是我市的一項重點民生工程。某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量為120萬立方，原計劃由公司的甲、乙兩個工程隊從公路的兩端同時相向施工150天完成。由于特殊情況需要，公司抽調(diào)甲隊外援施工，由乙隊先單獨施工40天后甲隊返回，兩隊又共同施工了110天，這時甲、乙兩隊共完成土方量103.2萬立方。

（1）問甲、乙兩隊原計劃平均每天的施工土方量分別為多少萬立方？

（2）在抽調(diào)甲隊外援施工的情況下，為了保證150天完成任務(wù)，公司為乙隊新購進了一批機械來提高效率，那么乙隊平均每天的施工土方量至少要比原來提高多少萬立方才能保證按時完成任務(wù)？

【分析】（1）設(shè)甲隊原計劃平均每天的施工土方量為x萬立方，乙隊原計劃平均每天的施工土方量為y萬立方，根據(jù)甲、乙兩隊合作150天完成土方量120萬立方，甲隊施工110天，乙隊施工150天完成土方量103.2萬立方，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可;

（2）設(shè)乙隊平均每天的施工土方量比原來提高a萬立方才能保證按時完成任務(wù)，根據(jù)完成工作的總量=甲隊完成的土方量+乙隊完成的土方量，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可。

解：（1）設(shè)甲隊原計劃平均每天的施工土方量為x萬立方，乙隊原計劃平均每天的施工土方量為y萬立方。

根據(jù)題意，得

答：甲隊原計劃平均每天的施工土

方量為0.42萬立方，乙隊原計劃平均每天的施工土方量為0.38萬立方。

（2）設(shè)乙隊平均每天的施工土方量比原來提高a萬立方才能保證按時完成任務(wù)。

根據(jù)題意，得110×0.42+（40+110）×（0.38+a）≥120。解得a≥0.112。答：乙隊平均每天的施工土方量至少要比原來提高0.112萬立方才能保證按時完成任務(wù)。

【點評】本題是實際問題中的“科學(xué)決策”問題，考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用。解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組;（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出關(guān)于a的一元一次不等式。

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實驗中學(xué)）