構造輔助圓　巧求最小值

吳玲芳

在求平面幾何中的一些線段的最小值時，我們通常作輔助線來求解。例如“將軍飲馬”這類問題，可以作對稱點，利用軸對稱的知識幫助解決。而有些求線段的最小值的問題，用常規的解題方法難以求解。此時，我們可以從已知條件出發，根據圓的定義，或利用圓周角定理及其推論，構造輔助圓，運用圓的知識進行解答，從而求出線段的最小值。

一、從定長入手構造圓

例1如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點，F是BC邊上的動點，將△EFB沿EF所在的直線折疊得到△EB′F，連接B′D，則B′D的最小值為。

【分析】折疊過程中，B′E=BE，所以B′E的長度不變，即動點B′到定點E的距離是一個定值，所以點B′的運動軌跡是以點E為圓心，2為半徑的圓的一部分，以此構造輔助圓（如圖2）。B′D的最小值就是點D與圓E上的點的最短距離，當點D、E、B′三點共線時（如圖3），B′D最短。

解：如圖3，∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DAB=90°。

∵在Rt△ADE中，AE2+AD2=DE2，

又∵AE=2，AD=6，

∴DE=210。

當點D、E、B三點共線時，DB'最短。

∵BE=BE=2，

∴DB'=210-2。

【點評】圓的集合定義是到定點的距離等于定長的點的集合。在本題中，折疊只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀。無論折到什么位置，B'E的長度始終保持不變，所以可以構造輔助圓來解決問題。審題的關鍵是找到一條長度確定的線段，一個端點是定點，另一個端點為動點，那么動點的運動軌跡是圓。

例2如圖4，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點P在矩形ABCD內，且∠BPC=90°，則AP的最小值為。

【分析】已知∠BPC=90°，且∠BPC所對

的邊BC是一條定邊，根據90°的圓周角所對的弦是直徑，可以將∠BPC看成是在以BC為直徑的圓中BC所對的圓周角（如圖5）。點P的運動軌跡是以BC的中點O為圓心，3為半徑的圓的一部分。AP的最小值就是點A與圓O上的點的最短距離。

解：如圖5，取BC中點O，連接PO。

∵∠BPC=90°，O是BC中點，1

∴PO=2BC=3，

P在以O為圓心，3為半徑的圓上，

∴AP的最小值就是點A與圓O上的點的最短距離。當A、P、O三點共線，且P在AO之間

時，AP最短（如圖6）。

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°。

∵在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2，

又∵AB=4，BO=3，∴AO=5，

∴AP=AO-PO=5-3=2。

【點評】“90°的圓周角所對的弦是直徑”，因此當角的度數為定值90°時，我們可以想到可能存在圓。這從本質上看，還是源于圓的集合定義。因為根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，可知直角三角形的直角頂點一定在以斜邊為直徑的圓上，可以構造輔助圓來解決問題。審題的關鍵是尋找到直角和定斜邊，那么直角頂點的運動軌跡是圓。

例3如圖7，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，A、B、C三點的坐標為（3，0）、（33，0）、（0，5），點D在第一象限，且∠ADB=60°，則線段CD的長的最小值為。

【分析】因為∠ADB=60°，且∠ADB所對的邊AB是一條定邊，根據“同弧所對的圓周角相等”，可以將∠ADB看成是在以AB為弦的圓M中AB所對的圓周角（如圖8）。點D的運動軌跡是圓M的一部分，CD的最小值就是點C與圓M上的點的最小距離。CD的最小值=CM-r，r是圓M的半徑。

解：設∠ADB所在的圓的圓心為點M，根據同弧所對的圓周角是其所對圓心角的一半，可知∠AMB=120°。

過點M作MH⊥x軸于點H，由垂徑定理可知∠AMH=12∠AMB=60°。

∵A（3，0）、B（33，0），

∴AB=23。

在Rt△AMH中，AH=3，∠AMH=60°，可得MH=1，AM=2，即r=2。當點C、M、D三點共線，且D在CM之間時（如圖9），CD的長度最短。

過M作MN⊥y軸于點N。

∵在Rt△CNM中，CM2=CN2+NM2，

又∵CN=CO-NO=CO-MH=5-1=4，NM=OH=OA+AH=23，

∴CM=27，

∴CD的最小值為CM-r=27-2。

【點評】當角的度數確定，角所對的邊是一條定邊，根據“同弧所對的圓周角相等”，那么角的頂點的運動軌跡是圓。此時，角可以看成圓周角，定邊是圓的一條弦，先利用同弧所對的圓周角是其所對的圓心角的一半，找到圓心的位置，再確定圓的半徑，最終構造出輔助圓。審題的關鍵是找到有特殊角度的角，且角的對邊是一定邊，那么該角的頂點的運動軌跡是圓。當角的度數是90°時，其實是這類情形中的特殊情況，比如例2。

（作者單位：江蘇省常州外國語學校）