一道市場經(jīng)濟(jì)類函數(shù)應(yīng)用題的探究

王洪波

“數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活。”建立函數(shù)模型、運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決生活中的實(shí)際問題是中考熱點(diǎn)題型。要解決該類問題，我們需要先明確解題思路，再聯(lián)想相應(yīng)的函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)。本文以2019年湖北省十堰市中考試卷第23題為例，與同學(xué)們一起探討初中數(shù)學(xué)函數(shù)應(yīng)用問題的解題策略。

某超市擬于中秋節(jié)前50天里銷售某品牌月餅，其進(jìn)價(jià)為18元/kg。設(shè)第x天的銷售價(jià)格為y（元/kg），銷售量為m（kg）。該超市根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗(yàn)得出以下的銷售規(guī)律。1當(dāng)1≤x≤30時(shí)，y=40;當(dāng)31≤x≤50時(shí)，y與x滿足一次函數(shù)關(guān)系，且當(dāng)x=36時(shí)，y=37，當(dāng)x=44時(shí)，y=33。2m與x的關(guān)系為m=5x+50。

（1）當(dāng)31≤x≤50時(shí)，y與x的關(guān)系式為;

（2）x為多少時(shí)，當(dāng)天的銷售利潤W（元）最大？最大利潤為多少？

（3）若超市希望第31天到第35天的日銷售利潤W（元）隨x的增大而增大，則需要在當(dāng)天銷售價(jià)格的基礎(chǔ)上漲a元/kg，求a的最小值。

【思路探究】本題是典型的通過構(gòu)建不同函數(shù)模型解答銷售利潤的問題。

第（1）問比較簡單，我們可以直接建構(gòu)一次函數(shù)模型，依據(jù)題意，利用待定系數(shù)法，易得出當(dāng)31≤x≤50時(shí)，y與x的關(guān)系式為y=-12x+55。

第（2）問，我們可以根據(jù)銷售利潤=銷售量×（售價(jià)-進(jìn)價(jià)），列出每天的銷售利潤W（元）與銷售價(jià)y（元/kg）之間的函數(shù)關(guān)系式，再依據(jù)函數(shù)的增減性求得最大利潤。當(dāng)銷售的時(shí)間x（天）的范圍不同時(shí)，銷售價(jià)格y（元/kg）也不同，因此要分類討論。因?yàn)殇N售利潤W=m?（y-18），當(dāng)1≤x≤30時(shí)，y=40，W=（40-18）（?5x+50），所以W是x的一次函數(shù);當(dāng)31≤x≤50時(shí)，因?yàn)閙與x的關(guān)系為m=5x+50，所以得到W是x的二次函數(shù)。我們需要分別建立一次函數(shù)、二次函數(shù)模型求最值。

第（3）問是要使第31天到第35天的日銷售利潤W（元）隨x的增大而增b大，則二次函數(shù)的對(duì)稱軸-2a≥35，求得ba即可。我們通常利用對(duì)稱軸x=-2a來研究含參數(shù)的二次函數(shù)的性質(zhì)問題，這樣計(jì)算會(huì)相對(duì)簡便。

【解題過程】（1）根據(jù)題意，當(dāng)x=36時(shí)，y=37，當(dāng)x=44時(shí)，y=33。當(dāng)31≤x≤50

當(dāng)1≤x≤30時(shí)，

∵W隨x增大而增大，

∴當(dāng)x=30時(shí)，取最大值W=30×110+1100=4400。

當(dāng)31≤x≤50時(shí)，W=-52x2+160x+1850=-2（x-32）2+4410。

∵-2<0，

∴當(dāng)x=32時(shí)，W取得最大值，此時(shí)W=4410。

綜上所述，x為32時(shí)，當(dāng)天的銷售利潤W（元）最大，最大利潤為4410元。

∵第31天到第35天的日銷售利潤W（元）隨x的增大而增大，

得a≥3。

故a的最小值為3。

【解后反思】函數(shù)應(yīng)用題非常重視對(duì)函數(shù)綜合應(yīng)用能力的考查。本題涉及初中階段多個(gè)函數(shù)相關(guān)概念或性質(zhì)、思想方法，如一次函數(shù)、二次函數(shù)的最值分析與應(yīng)用、分類討論等。熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、由利潤的相等關(guān)系列出解析式、根據(jù)函數(shù)圖像性質(zhì)求出最值是解題關(guān)鍵，這也是解決此類問題的主要策略。其中我們特別要注意的是，在分類時(shí)應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值）。

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實(shí)驗(yàn)中學(xué)）