一道復雜概率問題的辨析

史昊儒

1 問題的提出

一檔綜藝節目中，舞臺上有三扇關閉了的門呈現在參賽者面前，其中一扇門后面引出這名貴豪車，而另外兩扇門后面則是一只羊。參賽者可以隨機指向其中的一扇門。如果選中后面有車的那扇門，那參賽者就可以贏得這輛名貴豪車。每當參賽者選定了任一扇門后，節目主持人會在打開該扇門前，就繞到門的后面，然后從剩下的兩扇門打開藏有羊的一扇（剩下的兩扇門中至少存在一扇門后藏的是羊）。接下來參賽者可以重新選擇。那么參賽者如何做才能盡可能地打開后面藏有豪車那扇門呢？

這個問題非常經典，但是很多人仍然囿于思維的桎梏，無法接受正確的答案。直覺在做數學題時非常重要，能讓我們快速達到目的，但有時卻是一種錯覺，尤其是概率題[1]。接下來將用3種不同的方法辨析。

2 樹狀圖分析

圖1 樹狀圖

如圖1所示，不妨設參賽者選擇了A門。那么有3種情況，豪車分別在A、B、C三扇門后，且此時概率相同[2]。

情況一：豪車在A門后：

此時主持人隨機打開B、C中的一扇門，露出一只羊，另一個門里仍然是羊，此時堅持選擇A門，則可以得到豪車。

情況二：豪車在B門后：

此時主持人只能打開沒有豪車的C門露出羊，另一扇B門里是豪車，此時堅持選擇A門，則只能看到A門后的羊。

情況三：豪車在C門后：

此時同情況二，堅持選擇A門，則只能看到A門后的羊。

上述三個情況發生概率相同，情況一更改選擇不能得到豪車，而情況二、三更改選擇能得到豪車。所以對于這三種等可能的情況，參賽者選擇另一扇門得到豪車的概率是2/3，大于原有選擇的1/3。如果參賽者事先選擇的是B門或者C門，由于等可能發生，那也和前面的邏輯分析是一致的。所以無論參賽者事先選擇了哪扇門，他都應該在排除一個錯誤答案后再選擇另一扇門。

3 歸謬法

大部分人無法接受正確答案的原因，可能是2/3與1/3者兩個數的差不大，從而導致依靠直覺做出了錯誤的判斷，那么我們把這個問題推廣到以下兩個問題。

問題一：有100扇門，其中1扇門后是一輛豪車，另外99扇門后都是羊，參賽者選中1扇門后，主持人在剩余99扇門中找出有羊的98扇門打開。現在，參賽者面臨未打開的兩扇門，有一次更改選擇的機會。請問他要不要更改選擇？

這種情況下，可能大部分人的直覺就可以做出正確的判斷：要更換選擇。因為原本每扇門后有豪車的概率都是1%，選定一扇門之后，另外99扇門加在一起，有豪車的概率就是99個1%相加，等于99%。去掉98個錯誤答案之后，如果豪車在這99扇門的其中一扇里，那么就一定是在剩下的那扇門里，此時這扇門里有豪車的概率就等于最初這99扇門里有豪車的概率，是99%。那么如果更改選擇，得到豪車的概率就從1%變為了99%，結果顯而易見。

問題二：有100扇門，其中1扇門后是一輛豪車，另外99扇門后都是羊，參賽者選中一扇門后，主持人在剩余99扇門中打開后面有羊的1扇門。現在，參賽者面臨未打開的98扇門，有一次更改選擇的機會。請問他是否應該更改選擇？

這種情況下，去掉99個答案中1個錯誤答案，就相當于把原有的99扇門加在一起得到豪車的概率99%，平均分給剩下的98扇門，相當于（99/98）%，因為（99/98）%＞1%，所以也應該更改選擇。

由上面兩個問題，可以推斷出更改選擇后得到豪車的概率更大一些。所以我們可以得出結論：類似問題中，只要在參賽者選定一個答案后，再去掉剩余選項中的任意數量的錯誤答案，參與者更改自己選擇，總會有更大概率獲勝。

4 第三個人的選擇

以上的情景發生后，也就是參賽者選擇A門，主持人在B門、C門之后排除了一個非豪車的答案，那么對于參賽者來說，換剩余的那個門，得到豪車的概率更大。當參賽者換門之后，不妨設排除的是C門。此時參賽者面前只面臨兩扇沒有打開的門了。一扇是之前選擇的A門，一扇是豪車概率為2/3的B門。

該參賽者保持沉默不語時，此時引入除主持人、觀察者之外的第三個人參與。該嘉賓只面臨兩扇未打開的門：A門和B門，后面分別是豪車和羊。那么請問，該嘉賓如何做才能使得自己選擇到門后豪車的概率更大？

顯然，對于嘉賓來說，面臨的是“二門問題”，如果任選一個，則門后是豪車的概率是1/2。我們發現，這時看到同一種畫面，參賽者和嘉賓得到的概率是不同的。參賽者認為A門、B門后是豪車的概率分別為1/3，2/3。那么對于同一種畫面，參賽者和嘉賓得到的概率不同，是否矛盾呢？正確答案是不矛盾。因為雖然呈現在眼前的畫面一樣，但是參賽者知道更多的信息——B門是打開C門之后剩下的選擇。知道信息的不同，會得到不同的概率。這一事實非常容易理解。比如對于看到幕后的主持人，三個門的概率分別是100%、0%和0%。因為主持人知道的信息更多——他看到了幕后。所以，知道信息最少的嘉賓的判斷，和知道最先選擇了A門的這一信息的參賽者得到的概率是不同的。

該嘉賓要想選擇到后面藏有豪車概率更大的門，隨機選的概率是1/2。他的最佳選擇除了詢問主持人正確答案之外，應該問剛才發生了什么。嘉賓若知道參賽者事先選擇A門，然后排除C門這一信息之后，對其來說，A門、B門后面是豪車的概率也隨即變為1/3、2/3。

從這個問題中，我們可以得出結論：知道信息的不同，做出判斷的概率就不同。對于嘉賓來說，他如果不知道參賽者事先選擇的門，則他可能遇到兩種情況：1）參賽者事先選擇的是A門，然后排除C門；2）參賽者事先選擇的是C門，然后排除A門。所以對于是針對哪種情況做出眼前畫面一無所知的嘉賓做出的概率是1/2和1/2。如果嘉賓詢問，那么他就知道了是發生了1）或者2）中的哪種情況，從而得到和參賽者一樣多的信息。

5 條件概率

之所以會反直覺，是因為人的生活中遇到的實際問題多數是先驗概率，事件之間是相對獨立事件。比如是否引入第三個嘉賓不會影響參賽者做出正確的概率判斷。但是，從剩余兩個門中排除一個錯誤答案，對參賽者的觀察產生了影響。

在概率論中，我們用P（A）表示隨機事件A發生的可能性大小。條件概率是指事件A在另外一個事件B已經發生條件下的發生概率[3]。我們用P（A|B）表示條件概率，即在隨機事件A在隨機事件B已經發生的情況后的可能性大小[4]。事件A與事件B的聯合概率表示為P（AB），意思是指事件A和事件B同時發生的概率[5]。

聯合概率中，所以可以推出條件概率：

我們約定其中一扇門后面是豪車的隨機事件A、B、C，則三扇門后有豪車的概率P(A)=P(B)=P(C)=1/3；約定主持人打開三扇分別是隨機事件KA、KB、KC。

不妨假設參賽者首先選擇的是A門，而主持人做了KC（打開了C門）。那么這道題就是求參賽者在看到主持人打開C門后，堅持自己的事先選擇而繼續選擇A門且背后是豪車的條件概率P(A|Kc)是多少？如果選擇另一扇門B門且背后是豪車的條件概率P(B|Kc)是多少？

根據條件概率公式我們有：

將P(A)=P(B)=1/3和P(KC)=1/2等代入公式（2）、公式（3），得出：

所以更換選擇才能使得抽中豪車的概率更大。

6 結語

對于復雜的概率問題，可以通過樹狀圖等方法直觀感受，也可以查找其中的條件概率計算。注意區分獨立隨機事件和條件下的隨機事件。由于兩個隨機事件的發生可能并不互相獨立，所以條件概率和獨立概率并不相等。

現實生活中，很多情況下的更優答案和我們的直覺認知是不一樣的。直覺來源于經驗。因此我們需要保持理性的思維，對待科學問題不能想當然；另一方面也要積累正確的經驗，這樣才能在一些情況下擁有更接近理性分析的直覺。