基于矩陣初等變換方法配方

朱紅星

摘要：此篇文章旨在探究應用基于矩陣初等變換的方法完善線性代數中配方法求標準型流程，簡化使用配方法求解復雜二次型步驟，主要適用于含有兩個和三個變量的二次型。通過變量互換和換元相結合的方式將二次型的實對稱矩陣化為符合特定條件的矩陣形式，進而可將二次型化為平方項和的形式，易得此二次型對應的標準型。

關鍵詞：實對稱矩陣;配方法;標準型

在線性代數求標準型中，常見方法有兩種，一種是正交變換法，通過正交變換化成標準型;另一種是用配方法化標準型。本文主要討論第二種方法中將二次型化成只有平方項的形式這部分，繼續求解可得到標準型。

例如，二次型的配方過程如下：

若用矩陣等價變換來求配方后多項式，則過程如下：

a）令，則實對稱矩陣A=;

b）對矩陣A作等價變換，化為階梯型，在行變換過程中首行元素保持不變，則A～;

c）得到行階梯型矩陣后，將每行首元作為完全平方項的系數，完全平方項為矩陣第k（k=1，2）行元素除以該行首元后與第k個變量的積的代數和的平方，

則可得：

以上只是兩個變量二次型的特殊形式，推廣到三元二次型的一般形式如下：對二次型，記該二次型對應的實對稱矩陣為B，即B=

若且，則

B～。則二次型f經等價變換后的配方形式如下：

即當且時，任一三元二次型可經上述變換化成對應的配方形式，進而可得到其標準型。

b）若且，則根據二次型形式有以下兩種處理方法

1）令與（或）互換，化為符合a）條件的二次型，用a）中方法計算即可。例如對二次型，令與互換，此二次型化為，用a）中方法求出，可得。

2）令，，，化為符合a）條件的二次型，用a）中方法計算即可。例如對二次型，令，，，此二次型化為，用a）中方法求出。

c）若且，則先將與互換，然后令，，，可化為符合a）條件的二次型，求解即可。例如對二次型，先將與互換，得，再令，，，此二次型化為，用a）中方法求出，即

d）若且，則先將與互換，然后判斷符合以上a）、b）、c）哪種條件，用上述方法求解即可。例如對二次型，先將與互換，符合a）條件，得，則。

對n元二次型來說，該二次型對應的的實對稱矩陣為，化為行階梯型矩陣（初等變換只進行倍加變換，不進行調行和倍行變換）后，主對角線元素除第n行首元外全部非零，則可直接得到配方形式。否則，令其中某些元素互換，使其符合上述變換形式，或者時，作可逆線性變換，，（k=1，2，…n且），化為符合上述形式的階梯型矩陣，進而可得到只含平方項的形式。

參考文獻：

[1]張明，利用初等變換化二次型為標準型[J]，才智，2012（2）

[2]劉慧芳;王曉敏;二次函數無約束規劃的一種直觀解法[A];第九屆中國青年信息與管理學者大會論文集[C];2007年

作者簡介：河北科技大學經濟管理學院16級學生。