一元二次方程應用面面觀

劉冬艷

一元二次方程實際應用極其廣泛，現歸類解析，供大家學習時參考.

一、百分率問題

例1 某鋼鐵廠去年1月份某種鋼產量為5000噸，3月份上升到7200噸，這兩個月平均每月增長的百分率是多少？

解析：此題為平均增長率問題.先用直接設元法設出題目中缺少的量，即這兩個月平均每月增長的百分率x，依次表示出2月份鋼產量為5000（1 + x）噸，3月份鋼產量為5000（1 + x）2噸.

根據題意，得5000（1 + x）2 [=7200]，解得[x1=0.2]，[x2=-2.2]（不符合題意，舍去）.

答：這兩個月平均每月增長的百分率是20%.

點評：解決增長率問題的關鍵是掌握有關結論：增長數 = 基數 × 增長率、實際數 = 基數+增長數、原來的 ×（1+增長率）增長期數 = 后來的，然后再依據等量關系列出方程.

二、面積問題

例2 將長為20 cm的鐵絲剪成兩段，并分別以每段鐵絲的長度為周長做成一個正方形.

（1）要使這兩個正方形的面積之和等于17 cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少？

（2）這兩個正方形的面積之和可能等于12 cm2嗎？若能，求出這兩段鐵絲的長度;若不能，請說明理由.

解析：先用直接設元法設出題目中缺少的量，即設剪成兩段中的一段長為x cm，則另一段長為（20 - x） cm，兩個正方形的邊長分別為[x4] cm、[20-x4] cm，依次表示出兩個正方形的面積為[x42]cm2和[20-x42]cm2.

（1）根據題意，得[x42+20-x42=17]，

方程化簡，得[x2-20x+64=0]，

解得 [x1=16]，[x2=4].

答：這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是16 cm、4 cm.

（2）假設這兩個正方形的面積之和等于12 cm2，

根據題意，得[x42+20-x42=12]，

方程化簡，得? [x2-20x+104=0]，[∵b2-4ac=-16<0]，∴方程沒有實數根.

答：這兩個正方形的面積之和不能等于12 cm2.

點評：利用一元二次方程解幾何圖形中的有關計算問題，首先要依據幾何圖形的性質尋求問題中的等量關系并列出方程，其次要正確地求解方程并檢驗解的合理性，最后寫出答案.

三、銷售問題

例3 某超市經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品，根據市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克;銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克. 針對這種水產品的銷售情況，要使月銷售利潤達到8000元，且使顧客得到實惠，銷售單價應定為多少元？

解析：先用間接設元法設出題目中缺少的量，即銷售單價應漲x元，依次表示出此時銷售量為（500 - 10x）千克，每千克利潤為（10 + x）元，

根據題意，得（10 + x）（500 - 10x） = 8000，

方程化簡，得[x2-40x+300=0]，

解得? [x1=10]，[x2=30].

為使顧客得到實惠，取[x=10]，因此銷售單價應定為60元.

答：銷售單價應定為60元.

點評：由售價 - 進價 = 利潤、單件利潤 × 銷售量 = 總利潤、單價 × 銷售量 = 銷售額等可列出方程.

四、行程問題

例4 某軍艦以20節的速度由西向東航行，一艘電子偵察船以30節的速度由南向北航行，它能偵察出周圍50海里（包括50海里）范圍內的目標. 如圖，當該軍艦行至A處時，電子偵察船正位于A處正南方向的B處，且AB = 90海里，如果軍艦和偵察船仍按原速度沿原方向繼續航行，那么航行途中偵察船能否偵察到這艘軍艦？如果能，最早何時能偵察到？如果不能，請說明理由. （1節 = 1海里/小時）

解析：先用直接設元法設出題目中缺少的量，即偵察船最早由B出發經過x小時偵察到軍艦，表示出此時偵察船距A的路程為（90 - 30x）海里，軍艦距A的路程為20x海里，

根據題意，得（90 - 30x）2 + （20x）2 = 502，

方程化簡，得? [13x2-54x+56=0]，解得? [x1=2]，[x2=2813]（舍去）.

答：偵察船最早由B出發經過2小時偵察到軍艦.

點評：首先整體地、系統地審讀題意，其次根據勾股定理特有的等量關系列出方程并正確求解.

綜上，在列方程解應用題時，首先要充分利用題設中的已知條件，并能挖掘其隱含關系;其次要能根據題意對兩根加以檢驗，即判斷或確定方程的根與實際背景和題意是否相符，并將不符合題意和實際意義的解舍去.