例談排列組合中的數學思想方法

在排列組合中蘊含著許多數學思想方法，諸如化歸思想、對稱思想、分類劃分思想、整體思想、函數思想、逆反思想等，本文就這些思想舉例說明.

1.化歸思想

前蘇聯數學家雅諾夫斯卡婭在回答“解題意味著什么”時說“解題——就是把所要解決的問題轉化為已經解決的問題”，可見化歸是重要的解題策略和思維方式。從廣義上說，數學的推理、演繹的過程就是不斷的地優化的過程.

例1.(1993年全國高考題)同室四個人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有()

A.6種B.9種

C.11種D.23種

解析:用化歸思想建立數學模型轉化為數學問題:“用1，2，3，4這4個數字組成無重復的四位數，其中1不在個位，2不在十位，3不在百位，4不在千位上的四位數有多少個?”那么這個問題就可以利用乘法原理進行求解.

首先，在第1號方格里填寫數字，可填上2、3、4中的任一個數，有3種填法;

其次，當第1號方格填寫的數字為i(2≤i≤4)時，則填寫第i種方格的數字，有3種填法;

最后，將剩下的兩個數填寫到空著的兩個空格里，只有1種填法(因為剩下的兩個數中，至少有1個與空著的格子的序號相同).

因此，根據乘法原理，得不同填法為3×3×1=9，故選B.

2.對稱思想

對稱是美的一種形式，對稱思想在數學中有廣泛應用，挖掘數學問題中隱含的對稱性，運用對稱思想解題，往往得到出人意料的簡捷的解法.

例2.(1990年全國高考題)A，B，C，D，E五個人并排站成一排，若B必須站在A的右邊(A，B可以不相鄰)，那么不同排法共有()

A.24種B.60種

C.90種 D.120種

解析:(1)可以先用常規解法分類法求解

①A在左邊第一位時有4!種排法;

②A在左邊第二位時有P313!種排法;

③A在左邊第三位時有P322!種排法;

④A在左邊第四位時有3!種排法.

∴共有4!+P313!+P322!+3!=60(種)故選B.

(2)用對稱法