“微課翻轉”與“傳統”融合的數學分析教學設計

王海燕

摘 要：數學分析授課時，學生普遍覺得概念抽象難懂，證明過程抽象難以掌握。針對這一問題，教師有必要對學生的課前學習進行加強，利用信息化技術，借助微課翻轉對數學分析中定積分的概念進行教學設計，教學效果較好。

關鍵詞：微課翻轉；定積分；數學分析

中圖分類號：G434 文獻標識碼：A 文章編號：2095-9052（2020）05-0132-02

基金項目：2019年廣東省數學會教育科研項目“高職數學微課設計與實踐”（GDGZSX2019004）

數學分析是數學教育專業最重要的基礎課程之一。數學的許多新思想、新應用都源于這堅實的基礎，也是許多后續課程如概率論與數理統計、常微分方程、數學建模等課程必備的基礎。本課程旨在對學生進行系統而嚴格的近現代數學思想和方法的教育與訓練，提高學生思維能力，完善和發展學生數學思維及素養，使其在未來的中小學數學教學中能用發展的眼光處理教學內容，深入淺出地開展教學活動。

微課翻轉課堂，不是簡單地將課堂教學任務都放在課前或者課外去完成，而是要根據學生特點和接受理解能力，選取適合他們的學習資源，制作課前的知識點微課，合理規劃和設計課堂的教學活動。

一、 教學內容分析

（一）定積分概念的作用、地位

定積分的概念是數學分析中最主要的經典理論之一，是學生進入積分學世界必須跨過的第一道門檻。它上承導數、不定積分，下啟重積分、曲面積分、曲線積分。因為定義的抽象性，初學的學生理解起來有一定的難度。

（二）定積分概念教學目標

知識目標：通過探求曲邊梯形的面積，使學生了解定積分的分割、近似代替、求和、取極限實際背景及其思想方法，建構定積分的認知基礎。

能力目標：通過學習，培養學生分析歸納、抽象概括以及聯系與轉化的思維能力，養成從具體到抽象的思維方法。

思想目標：通過這部分內容的教學，逐步培養學生分析問題、解決問題的能力和辨證思維能力，并將其利用到實際生活中解決實際問題。通過學習，激發學生學習數學的興趣，養成嚴謹的學習態度。

（三）定積分概念教學重點、難點

本節課的教學重點是掌握定積分的分割、近似代替、求和和取極限四個步驟。根據前面的分析，確定本節課的教學難點是“無限逼近”思想的形成過程及理解。

二、教學設計策略

本節課屬于概念性教學。因為定義的抽象性，初學的學生理解起來有一定的難度[1]。在教學中，打破傳統的教學模式，積極將“翻轉課堂”理念融入傳統教學中，提高課堂的效率，增加師生的互動。采用任務驅動式教學法為主，以研究曲邊梯形的面積和汽車的行駛問題為導向，借助視頻、PPT和數學軟件，輔以講授法、問題導向法、討論法等教學方法，完成定積分概念的體驗、提煉、形成、鞏固和應用，促進學生對概念本質的認識和思想方法的感悟。

三、教學過程設計

教學過程按課前準備、課堂實施、課后提升三大環節來展開。

（一）課前準備

第一步教師發布課前學習資源，學生進行在線學習；第二步進行任務布置，學生完成任務；第三步教師與學生進行在線交流與討論。教師收集學生在課前學習中遇到的疑難問題。在本節課的課前準備階段，學生需要學習定積分的相關背景資料，觀看中國古代劉徽的割圓術。用幾何畫板展示割圓術，學生直觀感受到“以直代曲”“無限逼近”的數學思想，了解中國古代數學家的成就，進行數學史的素質教育。學生對教師提出的課前任務線上討論。教師對討論過程進行指導。對表現較好的同學，在藍墨云班課中給予分值獎勵。課前準備階段的學習和師生互動，打破時空限制，既增加了課堂容量，又提高了學習效率。

（二）課堂實施

在課堂實施這一環節中，教師通過兩個引例來完成定積分的概念教學，重點解決求曲邊梯形的面積。按課前回顧、情景引入、分組合作、動畫演示、歸納總結、展示交流、課堂小結這七個環節進行展開。

1.課前回顧

教師先進行課前回顧，在較短的時間內讓學生回憶已經自學過的內容。學生代表上臺介紹數學家劉徽，教師對學生的表述中不準確的部分給予糾正，并給出割圓術的準確解說。這一環節的設置，可以鍛煉學生的數學語言表達和概括能力，也讓學生較快地融入課堂氛圍中。

2.情景引入

在以現實中圓的煙囪是由直邊的磚砌成作為情景引入，讓學生體會局部以直代曲的思想，也是課前觀看“割圓術”方法的現實體會。教師進一步提問：“生活中，有許多不規則的圖形，比如湖泊、土地等（圖1）。我們使用專業的測量儀器繪測出某個湖泊的地貌圖，該如何計算它的占地面積呢？”學生提出可以采用數方格的辦法，問題最終歸結為求曲邊梯形的面積。

探究2：能否直接對整條曲邊進行“以直代曲”呢？為什么？

探究3：怎樣分割？分成怎樣的形狀？分割成多少個？

探究4：對每個小曲邊梯形如何“以直代曲”？（近似代替）

探究5：如何從面積的近似值求出曲邊梯形的面積？ （取極限）

在與各小組交流中發現，學生普遍能發現直接對整條曲邊進行“以直代曲”，得到的曲邊梯形面積誤差太大。但小曲邊梯形如何“以直代曲”？各小組給出不同的方案。有的用三角形替換梯形，有的用小矩形面積近似代替小曲邊梯形。教師在肯定學生的方案的同時，對比方案的合理性。

4.動畫演示

對比以上的方案，學生確定以小矩形替代小曲邊梯形，求出曲邊梯形面積的近似值。但如何求出曲邊梯形面積的精確值呢？這是學生比較難理解的。針對學生這一疑點，教師現場用幾何畫板展示曲邊梯形的分割，顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積。當分割越細時，面積的誤差越小，自然考慮到取極限而達到面積的準確值。學生體會局部以直代曲，由量變到質變的“極限思想”，完成教學難點的突破。

5.歸納總結

通過討論、觀看動畫，師生共同歸納出求一般曲邊梯形面積的步驟和方法。引導學生用數學的式子表示這幾個步驟。教師在黑板給出精確的數學表達式。突出強調結果是“乘積和式，取極限”。再引導學生通過類比方法，研究變速直線運動下汽車行駛的路程問題。通過這兩個案例，拋開問題的實際背景，建立數學模型，進行共性的歸納，水到渠成形成定積分概念。

6.展示交流

在學生深度理解了定積分的概念后，教師布置課堂作業，學生在課堂進行展示交流。展示交流是為了分享，也讓學生通過展示、講解使知識和技能得到進一步內化與提高。在交流中，教師也能及時了解學生對概念的掌握情況，對各小組進行指導性評價。在掌握了定積分概念的基礎上，還可以用數學軟件mathmatics計算復雜的定積分，這對學生今后解決專業學習中遇到復雜問題的計算很有幫助。

7.課堂小結

課堂小結是教師再一次幫助學生梳理本次課程的知識點以及重難點，引導學生積極進行課外學習。

（三）課后提升

課堂知識完成后，教師布置課后任務，引導學生再次進行概念的學習和應用，學生課后得到進一步提升。學生提交作業，教師進行評價。在藍墨云中導出班級的匯總數據進行分析。對總分較低或者學有余力的學生進行個別輔導。

課后任務1：求直線x=0，x=2，y=0與曲線y=x2所圍成的曲邊梯形的面積。

課后任務2： 課后探究：梯形法，求曲邊梯形的面積。

課后任務3： 研究性課題：利用所學知識，計算學校塑膠操場的面積。

四、教學效果

第一，教學設計中實現課堂的翻轉教學。使線上和線下學習相結合，課前和課后學習相結合。

第二，微課視頻、動畫、數學軟件的使用幫助學生直觀化地擺脫了數學課堂無趣的教學模式，提高學生的學習興趣。

在傳統教學中，單純知識講授，學生感覺數學學習枯燥，抽象難懂，學習比較困難，難以掌握數學概念和方法，容易對數學學習失去興趣。翻轉課堂的合理融入使得數學課堂變得有趣，內容形象，學生學習興趣提高。信息化教學已成為現代教育發展必然趨勢[2]，教學效果較好。但翻轉課堂需要教師具備較高的業務水平，對教師提出極大的挑戰。

參考文獻：

[1]劉招.翻轉課堂在“數學分析”課堂教學中的研究[J].求知導刊，2017（11）：78-79.

[2]王雅萍.高職數學信息化教學探索——以定積分的概念為例[J].安徽電子信息職業技術學院學報，2017（5）：41-43.

（責任編輯：林麗華）