滲透數學文化　培育理性思維

林秀娟

《課標（2017）》中指出：數學文化應融入數學課程內容.教師要注重結合相應的教學內容，將數學文化滲透到課堂中，引導學生把握數學內容的本質及思想方法.教師要不惜時、不惜力讓學生經歷知識的發生、發展過程，揭示問題的本質，啟發學生思考，進而培育學生的科學精神、創新意識和提高數學的人文價值，落實立德樹人的根本任務.

2019年11月28日是我校市級開放周，我選的課題是數系的擴充和復數的概念，但當我站在學生角度看這節課心里產生了疑惑：為什么要引入虛數單位i？i2=-1是怎么來的？復數有什么用？帶著這些疑惑，我去查閱數學資料，終于撥開云霧，理清來龍去脈.

1.教學過程

1.1創設情境，引入課題

教師：數學研究是從生活、生產實踐中產生和發展起來的.遠古時期，人們在捕魚、采集果實等勞動中，由于計數的需要產生了自然數，自然數的全體構成自然數集N.在我們學習數學過程中課本有這樣一句話：數怎么不夠用了？數系擴充的發展歷程是什么呢？

生：自然數系→整數系→有理數系→實數系

師：這節課我們要學習數系的擴充和復數的概念（板書課題）.

師：數系的每一次擴充都與實際需求密切相關，每次擴充的主要原因是什么呢？（已布置全班同學課前查閱資料）

生：從自然數系到整數系的擴充中引入了負數和零.因為在記賬時有余有虧，在計算糧倉存米時有正有負.

生：我國數學家劉徽首先給出了正負數的定義和有關運算法則，他說：“今兩算得失相反，要令正負以名之.”

師：說的太好了！

生：從整數到有理數的擴充中引入并使用了分數，是由于測量和均分的需要.

師：對.

生：為了解決像x2=2這樣的方程沒有有理數解，以及像形邊長為1的正方形的對角線的度量等問題，人們引入了無理數，從而把有理數系擴充到了實數系.

師：回答的太棒了！

設計意圖：布置學生課前自主查閱從自然數系擴充到實數系的資料.注重知識的系統與遷移，為學生學習復數鋪設路徑.

1.2問題引領，逐步探究

教師：1545年，意大利學者卡爾丹在其所著的《重要的藝術》中列出了一道令人困惑的問題，問題是“將10分成兩部分，使兩者的乘積等于40.這兩部分分別是多少？”[1]

生：解：設這兩部分分別為x，y則有

即無解.

師：卡爾丹求得根為和，卡爾丹成了數學史上第一個寫下負數平方根的人.

教師：還是在《重要的藝術》中，卡爾丹也向世人公開了形如一元三次方程的其中一個求根公式：.但在運用這個公式時也遇到了負數開平方的問題.

設計意圖：通過設置歷史經典問題，開啟本節課探索的出發點和動力，引導學生正視在求解一元二次方程的根中負數開平方的根的存在，形成認知沖突.

師：同時期的數學家邦貝利注意到了三次方程里出現的負數的平方根問題.他解出三次方程x3+15x+4的根分別為，那么代入卡爾丹公式會是什么情形呢？代入公式有，它是前面涉及的三個實數根中的哪一個呢？

生：都不是.是不是公式錯了？

師：邦貝利也是這樣懷疑的，他反復檢查公式，發現公式的每一步都是正確的.問這個公式可以繼續化簡嗎？帶著這些疑惑，邦貝利發現既然與只相差一個符號，那么它們的三次方根是什么關系呢？

生：也只相差一個符號.

師：他用待定系數法令

，由此解出a=2，b=1，故解決了三次方程不可約的情況，也說明負數是可以開平方的.

師：直到17世紀，當時的很多數學家還認為負數是沒有平方根的，笛卡爾也認為它是虛幻的，創立了虛數“imaginary”和實數相對.

師：1777年歐拉首次引用虛數“imaginary”的首字母i定義，也就是i2=-1.把這個新數i添加到實數集中去，得到一個新數集，那么方程在新數集中就有解了.回到和這兩個根可以記作什么了呢？

生：i和i.

設計意圖：虛數單位i的產生先有卡爾丹等人發現三次方程的解中負數平方根的存在，后有邦貝利等人對負數平方根的思考和解釋.不僅讓學生掌握i2=-1，而且讓學生在知識教學過程中，學會學習，學會提出問題和解決問題.

教師：在新數集中要怎么進行運算呢？回顧把有理數系擴充到實數系后，在實數系中規定的加法運算、乘法運算與原來在有理數系中規定的加法運算、乘法運算是否協調一致？

生：原有的一些基本關系和運算在新數集里仍然適用.

師：依照這種思想，把實數a與新引入的數i相加，結果記作a+i，把實數b與i相乘的結果記作bi，把實數a與實數b與i相乘的結果相加，結果記作a+bi.

教師：把剛才所寫出來的數都包含在內了嗎？

學生：包含了..

師：很好！這些數都由兩個部分復合而成，一部分是實數，另一部分是實數與i的乘積，所以我們可以給它取一個名字---復數.

師：我們把集合中的數，即形如的數叫做復數，其中i叫做虛數單位.全體復數所成的集合C叫做復數集.

師：實數表示中也是有單位的，這個單位是？

生：1.

師：學習向量，也是有單位向量.同樣為了引入虛數，也需要引入虛數單位.

師：從16世紀卡爾丹和邦貝利開始研究虛數，到19世紀隨著科學和技術的進步，復數理論已經不斷擴大而發展成龐大的一門學科.它不但與向量、平面解析幾何、三角函數等都有密切聯系，而且在力學、電學及其它學科中都有廣泛應用，推動各個領域的進步和發展.

1.3例題講解、鞏固練習

師：既然復數有這么多用處，接下來讓我們更進一步學習復數.

師：復數通常用字母z表示，這一表示形式叫做復數的代數形式，對于復數，a，b分別叫做復數z的實部和虛部.

（板書：復數定義與表示）

例1寫出復數的實部和虛部.

（請學生回答）

師：這些數中有兩個數是大家非常熟悉的，是哪兩個？

生：.

師：這些虛數中也有兩個非常特殊，是？

生：.

師：請大家思考下復數可以分為哪幾類呢？

生：第一類虛部b=0，此時它是實數.

第二類虛部b≠0，叫做虛數.這里又分為實部a=0且b≠0，叫做純虛數.

師：很好！

師生共同總結：復數可以分類如下：

顯然：實數集R是復數集C的真子集.

設計意圖：引導學生分析例題中的關鍵信息，揭示復數分類，從而深化對復數概念的理解.

例2實數m取什么值時，復數是（1）實數;（2）虛數;（3）純虛數;（4）z=0.

設計意圖：讓學生在解決問題的過程中鞏固復數有關概念，教會學生如何分析題意，提升數學思維能力.

師：受到這道例題啟發.對于復數你認為在什么情況下相等？

學生11：

例3判斷下列命題的真假：

（1）若a=0，則為純虛數.

（2）若為純虛數，則a=0.

結論：a=0是為純虛數的條件呢？

1.4歸納小結，延伸課堂

教師：也許有同學會問，復數系夠用了嗎？還要不要對數系再擴充呢？

師：目前的確有一些數學家正在研究這個問題，比如，有人提出了建立超復數系的想法.隨著學習與研究的深入，也許哪一天你們也會發現數學矛盾，那么受這節課的啟發，只要遵循數系擴充的基本原則，相信到那時候你們自己也能試著對數系進行擴充.

教師：這節課你有什么收獲？你還有什么疑惑？

眾生：略.

2滲透數學文化培育理性思維

教師教學中要關注數學文化，研究數學文化，張奠宙教授曾經提出：“數學文化必須走進課堂.”數學史是數學概念，思想的起源與發展的歷史，是數學文化的一部分，數學文化又是數學學科的一個有機組成部分.本節課教學中教師要引導學生關注數系擴充的數學文化，讓學生在歷史問題的引領下，積極思考，培養發現問題、提出問題的能力.

章建躍先生認為：“從數學知識發生、發展過程的合理性、學生思維過程的合理性上加強思考，這是落實數學學科核心素養的關鍵點.”[2]課堂教學是培養數學思維的重要方式，數學文化可以幫助學生更好的理解數學內容、思想的本質.課堂上選取合適的問題并進行合理的設計，不僅有利于夯實學生的基礎知識和基本技能，更能通過數學文化的滲透，提升學生的問題解決能力和思維能力。

數學課堂源于數學文化而高于數學文化，本節課讓學生領會為什么要引入虛數單位i？數學家們如何對數系進行擴充？的概念建構過程，進而問學生復數系夠用了嗎？還要不要再擴充？再啟迪學生只要遵循數系擴充的基本原則，有一天他們也可以試著對數系進行擴充的課堂教學不僅可以培養學生遷移能力，培育學生用數學思維分析世界，用數學的語言表達世界能力，還可以提高學生的數學文化素養.

參考文獻

[1]王奇.數系的擴充和復數的概念教學設計[J].中學數學教學參考，2018（8）：20-22.

[2]章建躍.把數學教好是落實核心素養的關鍵[J].中小學數學（高中版），2016（5）：65-65.