數列單元復習的教學探究

唐文波

數列是高中數學的重要內容之一，每年的高考中所涉及的考題分值約為15或17分，題型含一道選擇（或填空）題及一道解答題。難度一般較易或中等，也有作為壓軸題出現的情況。數列考點眾多。新課標作如下陳述，數列考查：（1）數列的概念和簡單表示法：①了解數列的概念和幾種簡單的表示法（列表、圖像、通項公式）;②了解數列是自變量為正整數的一類函數;（2）等差、等比數列：①理解等差、等比數列的概念;②掌握等差、等比數列的通項公式與前n項和公式;③能在具體問題情境中，識別數列的等差或等比關系，并能用有關知識解決相應問題;④了解等差數列與一次函數、等比數列與指數函數的關系。仔細分析，基本題型是：①求解數列通項公式;②數列前n項和公式;③求等差、等比數列的基本量;④等差、等比數列特殊性質的考查;⑤數列函數性質的考查。解決數列問題的方法駁雜，這些方法都是基本數學思想的現實體現：函數方程思想、轉化與化歸思想、一般到特殊的思想、數形結合思想、分類討論思想。其中尤以函數方程思想的考查為重。在新高考背景下，數列知識是構造創新性命題、不確定性命題的重要內容。因此，基礎性、靈活性、可組合性越來越成為高考中數列命題的特點。

基于此，我們按照“研讀課程標準” “解讀高考題目，分析考查內容” “劃分單元”的思路，完成了數列單元復習教學的規劃設計。見下圖①

下面，我們詳談各單元教學的具體實施過程。

一、基礎考點的過關（以數學知識系統為主線組織的主題類單元）——目的：準確識記基礎知識，掌握基本方法，提高解題能力。教學重點：典型例習題的學習，借題鋪“點”，題后及時反思，利用思維導圖法完善知識系統。實施教學時，需要注意兩個方向：1.例習題的選擇：題目應體現考點知識間的邏輯關聯，遞進出現。題目普及基本解法，也兼顧特殊解法技巧的推介。2.引導學生完成數列基本知識的思維導圖的繪制：關鍵詞的確定、注意導圖分支的邏輯遞進、留白（方便補充信息）的安排。應該認識到思維導圖能以直觀形象的方式表征知識，有效呈現知識的關聯，體現教師思維過程，引導學生進行思維訓練，幫助其從了解、模仿、自主引用到開放性運用，反映學生認知的基本過程。3.突出數列是特殊函數，引導學生用函數的思想研究數列問題。（見圖②）

二、高考原題（或變式）的研究（以數學思想方法為主線組織的方法類單元）——目的：分析高考命題規律，明確重要考點，做好基礎題型方法的總結，熟練掌握題型解決技能，完成解題思維導圖的繪制。教學重點：運用高考原題引導學生掌握基礎題型的通解通法，具備較強的解題能力。安排學生演練變式題，勤總結促反思。反思的內容要全面深刻，含知識系統的自我完善，掌握通解通法的時候，關注特殊的解題方法技巧，拓展思維廣度及深度時，加深對數學思想方法的理解。此單元的重點在解題教學，要引導學生觀察題目條件，學會選擇合適的解題方法，掌握通解方法中的關鍵點，突破難點。對于學生在解題過程中出現的問題，要及時呈現、矯正、反思。（見圖③）

解題教學時，建議引入思維導圖幫助解題。下面是運用思維導圖解決數列問題的一個范例：（見圖④）

思維導圖使思維直觀化，將題目信息全面展示，幫助學生根據問題需求，參照過往解題的經驗，積極檢索題目所涉及的知識，相關的基本解題方法，作出選擇、既組織自己的思想，也組織他人的思想，整合經驗，發散思維，解題時先類比模仿，再自主引用成功經驗，之后才能開放性地運用數學思想方法來更高效地解決數學問題。

三、新高考背景下的命題研究（以數學核心素養為主線組織素養類單元及以數學發展歷史為主線組織HPM類單元）——目的：針對新高考形勢下，命題規則穩中有變，題目形式變化，對數學史、數學知識在現實生活中的應用，跨學科整合都有越來越多的體現。研究命題的規律，既為應對高考提供知識準備、心理準備，也為以后的教學調整方向。教學重點：教師應用相應的典型題目對新高考要求進行解讀，并作相關資料的整理。分類、歸納、重組變式。（見圖⑤）

附題：HMP是History and Pedagogy of Mathematics的縮寫，源自1972年在英國Exeter舉行的第二屆國際數學大會上的一個研究組，專門研究數學史與數學教育之間關系的組織。HPM主要研究內容包括數學史與教學法、數學史與學生認知發展規律，基于數學史的教學設計、數學與其他學科的關聯，多元文化的教學等。

四、單元主題設計教學的實踐情況

1、與以往的復習相比，單元主題設計下的教學目標更明確，課堂設計前后一致，邏輯連貫。教學過程中，借助思維導圖，將教學任務、階段任務完成情況直觀呈現，師與生的教與學配合相宜，課堂時效得到提高。每堂課主題唯一，但完成主題任務的方式多樣，教師可根據學生的反饋，及時作出教學調整。一堂課，知識要求、能力要求在多樣化的教學活動中得到體現。

2、自2021級的高三復習開始，我對自己所帶的兩個歷史方向的班級進行了復習階段的單元主題設計教學實驗，并對實驗進行了數據分析。研究表明，實施單元主題設計教學后，學生的數學思維水平有所提高。幾次大型考試成績說明：相較學生的初始成績，實施單元主題教學后，學生的成績緩慢增長，間或有起伏，但總體趨好。與之相應的是，學生的課堂參與漸顯主動，能較好地圍繞課堂主題，配合老師的教學設計，積極思考，提出自己的見解，增強了歸納分析的能力。每堂課下來，學生的課堂總結都有亮點：通法的理解，特殊條件的多角度解讀等，體現了其學習能力在逐步提高，也顯示了單元復習教學的有效性。對教師而言，作好單元設計，需大量搜集、整理、消化優質學科資源，如：數學史料、學術文獻、精品課例、優選試題等。在此過程中，促進了教師的專業成長，拓寬了視野，也為其職業前景規劃提供了更多的思考方向。

3、反思：①單元教學主題設計，應注重學生體驗，培養思維能力。復習階段，用好學生以往的學習經驗，應適時增加數列問題的背景材料的閱讀（材料以數學史料為主）。幫助學生體驗數列問題與現實生活息息相關，從數列知識的發展中，探詢知識延展的脈絡，知來處，明去向，幫助學生從感性認知向數學理性思維發展。課堂反思的設計，要有目的性，如數列求和的方法有多種，要求學生反思的應是：不同求和方法的適用條件，求和方法使用時的關鍵點？這樣的反思才能促進學生深入思考。②重視教法設計，提升能力結構：運用思維導圖作教學設計布局，直觀明了，將自主學習、合作交流、變式訓練融入教學，引導學生深入把握學習內容，促進其閱讀、理解、分析、計算、推理、歸納、總結。③優化問題設計，培育思維品質：教師要加強對經典數列問題的分析，根據考題要求，立足考點，將經典問題進行解構重組，變式疊出，形變而意定。如數列問題的考查中強調函數思想的應用，就可從等差數列的通項與一次函數的解析式關系，等差數列前n項和與二次函數的解析式的關系上入手，編制層次遞進的題目，幫助學生把握關鍵，提升學生轉化化歸的思想。

總之，當前的高考復習，應立足于高中教學內容，聯系學生已有的知識背景，遵守新高考命題規則。復習時應加強教研組的團體協作，作好相關知識材料的收集、選讀、整理、編輯。新試題的背景材料要出新，可從古籍、現實生活、前瞻論題中選材。而高考考題萬變不離其宗，不可被題目的背景材料所惑，抓本質、抓重點、核心考點一直是那些基本內容，而數學思想方法的靈活運用才是關鍵。單元教學的設計中抓好問題設計，層層遞進，促進學生構建知識網絡，循環更新，在解題教學中體驗數學思想方法，形成解決問題的能力，完善學生素養。教師以發展的眼光關注教學策略與教學實施的關系。當然思維導圖在教與學中的引入，可幫助師生找到適合自己認知規律，又兼具個人特色的教（或學）的策略，實現師生教與學的雙向提升。

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