反證法在不等式證明方法中的應(yīng)用

摘要：證明不等式一直是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點和熱點問題之一，本文簡單地介紹了不等式的相關(guān)性質(zhì)，對反證法做了簡單的介紹，詳細地分析了反證法在不等式證明方法中的應(yīng)用.不等式在數(shù)學(xué)領(lǐng)域占有十分重要的位置，滲透到數(shù)學(xué)的各個層面.

關(guān)鍵詞：不等式;反證法;證明方法

一、不等式的發(fā)展歷史

在小學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，不等式一直扮演著非常重要的角色，且不等式的證明一直是重點和難點問題之一.相比于等式，不等式的存在則更加廣泛，所以人們很早就意識到不等式的存在，但是真正的理論發(fā)展是在17世紀以后，從此不等式逐漸成為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的一部分.

不等式最早的時候只是一些零亂孤立的公式，并不是一套系統(tǒng)的科學(xué)理論，但一切在1934年發(fā)生了變化，由劍橋大學(xué)出版的Inequalities標志著數(shù)學(xué)不等式理論及其研究正式粉墨登場，自此不等式成為了一門新興的數(shù)學(xué)學(xué)科，形成了一套比較系統(tǒng)、完善的科學(xué).

歷史上，中國數(shù)學(xué)家取得了卓越輝煌的成績，如華羅庚、林東坡等.近年來，也涌現(xiàn)出了很多數(shù)學(xué)教育工作者，他們也在不等式的發(fā)展前途上，起了推波助瀾的作用，他們開展了一系列創(chuàng)新性的工程，而且也取得了驕人的成績，他們將不等式的新發(fā)現(xiàn)推向世界各地.

二、不等式的基本性質(zhì)

不等式的基本性質(zhì)1 不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變.

一般地，如果，那么或者.

不等式的基本性質(zhì)2 不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變;不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變.

一般地，如果，并且，那么;如果，并且，那么.

例1 利用不等式的性質(zhì)求不等式的解集？

不等式的基本性質(zhì)是通過類比等式的基本性質(zhì)探索得出的，唯一不同點就是兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變.在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，把握好不等式的性質(zhì)，才能更好的將不等式學(xué)好，才能在考試中更游刃有余.

三、反證法

反證法：先假設(shè)證明的結(jié)論是錯的，然后通過嚴密的邏輯推理得出矛盾，否定假設(shè)，從而確定結(jié)論的正確性.反證法在數(shù)學(xué)中的適用性很強，當題目很難從正面證明時，就需要反證法.

總結(jié)：反證法主體思路：提出假設(shè)（否定命題）證明矛盾（矛盾可以是：① 與已知條件相互矛盾;② 與原題假設(shè)相互矛盾;③ 與公式定理事實等相互矛盾）得到肯定.當題目從正面不易解決時便使用反證法.當題目中有“都”，“至少（多）”，“唯一”等詞時多使用反證法.

四、結(jié)束語

在利用反證法證明不等式時應(yīng)該注意以下幾點：（1）應(yīng)該去否定結(jié)論，即假設(shè)結(jié)論的反面成立，當結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時，必須把所有可能的結(jié)論一一列出來.（2）把結(jié)論的對立面當作條件，然后根據(jù)這一條件去推理證明.（3）推出的矛盾呈現(xiàn)多種可能性，有時會與已知條件沖突，有時與實際情況相悖.

在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，不等式占據(jù)了很重要的一大部分，把不等式學(xué)好了，就能樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，增強學(xué)習(xí)的興趣.尤其是用反證法在證明不等式時起著非常重要的作用.對于一些較為復(fù)雜的不等式的證明題，有時采用反證法會使得問題變得相對簡單很多，在具體的學(xué)習(xí)實踐中我們應(yīng)該熟練掌握反證法，當問題來臨時我們可以迅速反應(yīng)過來，從容不迫地把不等式問題解決.

通過這么多年的學(xué)習(xí)，我們深深的感覺到不等式的廣泛性、重要性、和困難性.不等式貫穿于數(shù)學(xué)的各個角落，所以說要學(xué)好數(shù)學(xué)必須在不等式上打下不錯的基礎(chǔ).本文主要研究了用反證法來證明不等式.事實上，只用一種方法便能解決一道題目是不現(xiàn)實的，需要各種方法共同合作，這就要求我們可以掌握好每一種方法.關(guān)鍵是要學(xué)會舉一反三，把方法融會貫通，這樣將來面對更加困難的題目時才不會犯難.

參考文獻：

[1] G.H.Hardy，J.E.Littlewood，G.Plya，Inequalities[M]，English：Cambridge University Press，1934.

[2] 匡繼昌，常用不等式[M]，湖南：湖南教育出版社出版.1989，6.

[3] 魏貴民，微積分（上）[M]，北京：高等教育出版社，2004.

作者簡介：梅蒙蒙;男（1989-7-20）;安徽亳州;漢族;碩士;中學(xué)二級教師;研究方向：數(shù)學(xué)

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