淺談超幾何分布與二項分布的區別與聯系的教學

王家強

眾所周知，辨別超幾何分布與二項分布對很多初學者來講是個難點，是概率這部分教學的一個重點和難點。而入門是關鍵，我們老師如何突破這個教學難點呢？我個人認為，選擇一個典例進行教學非常重要，因而能否選擇到一個典例關系到教學成功失敗。下面談談自己關于這個問題的教學上一些做法，如何選例，如何引導學生思考與探究，努力鍛造高效課堂。

一、 課本從來就是一個寶藏——從一道課本問題探究說起

人教版《選修2-3》的第二章的第2.2節習題的B組題中第3題：

某批n件產品的次品率為 ，現從中任意地依次抽出3件進行檢驗，問：

（1） 當 時，分別以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率各是多少？

（2） 根據（1），你對超幾何分布與二項分布的關系有何認識？

過去對這道題目總是避開不敢講，因為數據比較大，運算量大，感覺很“沒有意思、浪費時間”，但不做不知道，我做完了這題之后發現這是“教材提供的最經典的習題”，利用它進行教學可以幫助學生更進一步理解超幾何分布與二項分布的關系，因此，決定采用這個題目作為典例，在多媒體的支持下進行深入性教學。

解析：（1）在又放回的方式抽取中，每次都是從這n件產品中抽取，從而每次抽到的次品數 服從二項分布，即 ～ ，恰好抽到1件次品數的概率為

這一步讓學生獨立完成。第二問，小組合作，借助計算器進行運算解題。

在無放回的方式抽取中，抽到的次品數 是隨機變量， 服從超幾何分布， 的分布與產品的總數n有關，所以需要分三種情況分別計算：

第一小組：① 時，產品的總數為500件，其中次品數的件數為 ，合格品的件數為490.從500件產品中抽取3件，其中恰好1件次品的概率為

第二小組：② 時，產品的總數為 件，其中次品數的件數為 ，合格品的件數為 .從 件產品中抽取3件，其中恰好1件次品的概率為 .

第三小組③ 時，產品的總數為 件，其中次品數的件數為 ，合格品的件數為 .從 件產品中抽取 件，其中恰好1件次品的概率為 。

二、合作交流，形成結論

師：請同學們思考，通過以上三種情況計算，你們發現什么結論？

生：在上述的運算過程中，我們發現當產品的總數越來越大時，超幾何分布的概率 的值越來越接近二項分布的概率

師：對！根據（1）的結果可以看出，用有放回的方式抽取，抽到的次品數 服從二項分布;用無放回的方式抽取抽到的次品數 服從超幾何分布。在這里，兩種分布的差別是“有放回”與“無放回”的差別，只要將概率模型中的“有放回”改為“無放回”，或“無放回”改為“有放回”，就可以實現兩種分布的轉化。所以“有放回”與“無放回”是兩種分布轉化的關鍵。

在人教版2-3中，超幾何分布模型是這樣建立的：若有N件產品，其中M件是次品，無放回地任意抽取n件，則其中恰好抽到的次品數是 是服從超幾何分布;若將超幾何分布概率模型中的“無放回地任意抽取n件”改為“有放回地任意抽取n件”，則它變為“二項分布”。

在上述的運算過程中，我們發現當產品的總數越來越大時，超幾何分布的概率 的值越來越接近二項分布的概率 。當產品的總數很大時，超幾何分布近似為二項分布。這也可以這樣理解：

當產品數很大而抽取的產品較少時，每次抽出幾件產品對數量巨大的樣本影響甚微幾乎認為不變，故次品率近似不變，因而每次抽取可以近似看出抽樣的結果是相互獨立的，抽出的產品數近似服從二項分布。

三、應用結論，解決問題

例1、（2010年廣東理科高考數學卷）某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況，隨即抽取該流水線上40件產品作為樣本算出他們的重量（單位：克）重量的分組區間為（490，495），（495，500），。。。（510，515），由此得到樣本的頻率分布直方圖，

如圖4所示。

（1） 根據頻率分布直方圖，求重量超過505克的產品總量。

（2） 在上述抽取的40件產品中任取2件，505克的產品數量，求Y的分布列。

（3） 從流水線上任取5件產品，求恰有2件產品合格的重量超過505克的概率。

分析：對于第三個問題我們很多同學存在著困惑：

從該流水線上任取5件產品，抽到的產品重量超過505克的產品數 究竟是服從超級分布還是二項分布？

現在結合前面的結論我來分析：從該流水線上的40件產品作為樣本稱出它們的重量，重量超過505克的產品數量為12，利用樣本估計總體：該流水線上產品的重量超過505克的概率為0.3，每次抽取得結果是相互獨立的，所以從該流水線上任取5件產品，抽到的產品重量超過505克的產品數 是服從二項分布。

歸納：一般來說，有放回抽樣與無放回抽樣計算的概率是不同的，特別是抽取對象數目不大時更是如此;但在被抽取得對象數目非常大時，有放回與無放回抽樣所計算的概率相差不大，人們在實際工作中常利用這點，把抽取對象數量很大時的無放回抽樣（比如破壞性的炮彈試驗發射，產品壽命試驗等）當做有放回來處理。

四、結論拓展，升華思維

有趣的是：有N件產品，其中M件是次品，有放回地任意抽取n件，則其中恰好抽到的次品數是 是服從二項分布，即 ～ ，其中 ，易得有N件產品，其中M件是次品，無放回地任意抽取n件，則其中恰好抽到的次品數是 是服從超幾何分布，且 ，即這兩種分布的數學期望是相等的。那么，它們的方差也相等嗎？

因為二項分布的方差 ，超幾何分布的方差 ，故一般情況下，它們的方差不相等。但是，可以發現在產品數很大（ ）時， 。

這說明：在產品數很大的情況下，超幾何分布的方差近似等于二項分布的方差。

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